Suites

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I - Suites arithmétiques :

1° - Approche :

Une parfumerie a vendu 5 000 parfums en 2002. Le responsable prévoit
pour les années à venir une augmentation de 150 unités par an. Il établit
le tableau suivant pour les huit années à venir.



Année |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 | |
Nombre de parfums |
5 000 |
5 150 |
5 300 | | | | | | | |
Une telle suite est appelée
..............................................................., de premier
terme u1 = 5 000 et de ............................ r = 150 .Le second
terme, 5 150 est désigné par u2 ; u2 = u1 + r

2° - Définition :

On appelle suite arithmétique, une suite de nombre réels tels que
chacun d'eux, à partir du deuxième, est égal à la somme du précédent et
d'un nombre constant, appelé raison de la suite .


u n = u n-1 + r

3° - Exemples :

( Ecrire les quatre premiers termes de la suite arithmétique de premier
terme u1 = 11 et de raison r = 3 .


( Ecrire les six premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme
u1 = 7 et de
raison r = - 5 .



4° - Détermination du terme de rang n :

a - Définition :

Le terme de rang n est tel que : u n = u 1 + ( n - 1 ) r

b - Exemple :


Calculons le septième terme de la suite arithmétique de premier terme
u1 = 17 et de raison r = 2,5 .




5° - Somme des termes d'une suite arithmétique limitée :

S = [pic]x (u1 + un) [pic]

( Application :
. Calculer la somme des 25 premiers termes d'une suite arithmétique
de premier terme
u1 = 5 et de raison r = 7.
a. Calculons le 25ème terme :


b. La somme est :


. Quelle est la somme des 30 premiers nombres impairs ?





. Une entreprise produit 20 000 unités par an. La production augmente
de 1 550 unités par an.
a. Combien cette entreprise aura-t-elle produit en 5 ans ?


b. Quelle sera la production au bout de la 10ème année ?




II - Suites géométriques :

1° - Exemple :

Un capital de 5 000 E est placé au taux annuel de 6 %. Quel sera le
capital acquis au bout de la première année, de la deuxième année, de la
troisième ?

Capital acquis à la fin de la première année :


A la fin de la deuxième année :
A la fin de la troisième année :



Remarque :..................................................................
.............................................................................
......................

............................................................................
............................................................................
....................................

2° - Définition :
On appelle suite géométrique, toute suite de nombres, tel que
chacun de ses termes est obtenu en multipliant le précédent par un même
nombre appelé raison ( q ).

u n = u n-1 x q

3° - Exemples :

a - Calculer les 6 premiers termes de la suite géométrique de premier terme
10 et de raison 5.


b- Calculer les 4 premiers termes de la suite géométrique de premier terme
u1 = 1 et de raison q = [pic] .


4° - Détermination du terme de rang n :

a - Définition :
Le terme de rang n est tel que : u n = u 1 x q n - 1


b - Exemples :


( Calculer le 7ème terme d'une suite géométrique de premier terme u1 = 6
et de raison q = 3 .





( Calculer le 8ème terme d'une suite géométrique de premier terme u1 = 5
et de raison q = 2 .



5° - Somme de termes d'une suite géométrique :

a - Définition :
S = u 1 x [pic]

b - Application :

( Calculer la somme des dix termes consécutifs d'une suite géométrique
de premier terme u1 = 2 et de raison q = 3 .






Suites : Etudes de situations


Exercice 1 : Deux entreprises A et B ont chacune une production de 100 000
articles en 2005. L'entreprise A prévoit d'augmenter sa production de 12
000 articles par an. L'entreprise B prévoit d'augmenter sa production de 9%
par an.

(On affecte à l'année 2005 le numéro 1, à l'année 2006 le numéro 2, etc. On
désigne par a1, a2, a3,... les productions correspondantes à l'entreprise A
et par b1, b2, b3,...celles de l'entreprise B).

1° - Pour l'entreprise A :
a. Déterminer la nature de la suite, son premier terme et sa raison.
b. Exprimer an en fonction de n.
c. Calculer sa production pour l'année 2009.
2° - Pour l'entreprise B :
a. Déterminer la nature de la suite, son premier terme et sa raison.
b. Exprimer bn en fonction de n.
3° - Représenter graphiquement les productions an et bn sur un graphique,
jusqu'à n = 10.
4° - Au bout de combien d'années, la production de l'entreprise B aura-t-
elle dépassé celle de l'entreprise A ?

Exercice 2 : Le prix de vente d'un magazine d'esthétique est augmenté de 8%
chaque fin d'année.

1° - a- Sachant qu'à sa création son prix de vente P1 est égal à 14,5 E.
Déterminer le prix de vente P2 de la deuxième année.
b - En déduire le coefficient multiplicateur permettant de calculer
directement le prix de vente d'une année sur l'autre.
2° - Exprimer et calculer les prix de vente P3, P4 de cette brochure la
3ème année, la 4ème année (arrondir à 0,01 E près).
3° - Exprimer en fonction de P1, le prix de vente Pn de la brochure la
nième année.
Calculer pour n = 10 (arrondir à 0,01 près)

Exercice 3 : Une fabrique de parfums réalise une étude de marché concernant
ses produits : en 2000, la production P1 est de 5 000 parfums. Chaque année
la production doit augmenter de 4% de celle de l'année précédente.
1° - Calculer la production P2 prévue pour l'année 2001.

2° - P1 , P2 , P3 ,............, Pn forment une suite géométrique.
Déterminer la raison q de cette suite ; exprimer Pn en fonction de P1 de
q.

3° - Calculer la production totale T des six années de 2000 à 2005.


Exercice 4 : La production mensuelle de produits cosmétiques d'une
entreprise constitue une suite arithmétique. Le sixième mois, la production
atteint 18 000 produits (soit u6 = 18 000) et la production totale de
l'entreprise au cours de ces six mois est de 65 700 produits.
Calculer la production u1 du premier mois et la raison r de la suite.
Exercice 5 :
[pic]

Exercice 6 :

[pic]

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