aire d'un triangle - Devoir.tn

Angles particuliers 1

utilisation de la calculatrice 1
d'après Caen juin 1992 2
aire d'un triangle 2
aire d'un parallélogramme 2
aire et périmètre d'un trapèze 3
deux triangles rectangles 4
VOILIER 5
l'échelle 5
PENTAGONE 6




Angles particuliers

.Compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes sous la forme
[pic]ou sous la forme d'une fraction. Pour réaliser les calculs, on
utilisera les propriétés d'un triangle équilatéral ABC de hauteur AH, puis
d'un triangle DEF rectangle isocèle en D. Pour contrôler plus facilement
les résultats sur la figure on pourra choisir AB=EF=1dm.
|Angle |30° |45° |60° |
|sinus | | | |
|cosinus | | | |
|tangente| | | |


utilisation de la calculatrice


III A la calculatrice, indiquer une valeur arrondie à 0,01 près de sin38°
Déterminer à 0,01° près l'angle dont le cosinus est 0,48;
CORRIGE
III sin38°0,62 0,48cos61,31°



Le triangle ABC a pour hauteur AH; [pic].
Déterminer simplement à la calculatrice une valeur approchée arrondie à
0,01° près des angles [pic]et [pic] (Expliquer).

[pic]



Le triangle ABC a pour hauteur AH; [pic].
Déterminer simplement à la calculatrice une valeur approchée arrondie à
0,01° près des angles [pic]et [pic] (Expliquer).
[pic]
CORRIGE
Le triangle ABH est rectangle en H, par définition:

tan[pic]=[pic]
[pic]46 ,40°
sin[pic]=[pic]
[pic]36,87°



[pic]
IV ABC est un triangle de hauteur AH, le point H est sur le segment [BC].
[pic].
Déterminer simplement à la calculatrice une valeur approchée arrondie à
0,01° près des angles [pic]et [pic] (Expliquer).
CORRIGE
IV Le triangle ACH est rectangle en H, par définition:

tan[pic]=[pic]
[pic]36,87°

sin[pic]=[pic]
[pic]67,38°

d'après Caen juin 1992


[pic]
III
On désire connaître l'aire d'un triangle ABC
L'angle [pic] a pour mesure 42°. AB=9 cm et AC=14,5 cm.

1° Dessiner le triangle ABC
Soit H le pied de la hauteur issue du sommet B.
Déterminer BH (On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à [pic]
près).

2° Calculer l'aire du triangle en [pic] puis en donner une valeur approchée
à 1[pic]près.
CORRIGE
III
1° Le triangle ABH est rectangle en H, par définition:
[pic]
[pic]
[pic]
(à [pic]=0,001 près signifie que l'on arrondit BH au troisième chiffre
après la virgule)
2°
[pic]

aire d'un triangle

Construire le triangle ABC tel que : [pic]. Tracer la hauteur BH de ce
triangle.
Calculer la longueur BH et l'aire du triangle ABC.

aire d'un parallélogramme

repris en 4°

VI
[pic]
1° Construire le parallélogramme ABCD tel que: [pic][pic]
2° Tracer la hauteur AH perpendiculaire au côté DC, calculer la longueur AH
et l'aire du parallélogramme ABCD (Indiquer la valeur exacte puis une
valeur approchée à 0,01 près).
CORRIGE
1° Faire d'abord un croquis légendé du parallélogramme.
2° Le triangle AHD est rectangle en H
[pic]
[pic]

aire et périmètre d'un trapèze


ABCD est un trapèze rectangle, le côté AB est perpendiculaire aux bases BC
et AD.
[pic], [pic], [pic], le point H est le pied de la perpendiculaire abaissée
de C sur la droite (BD).

1° Construire la figure.

2° Calculer AD, BD, BH puis BC.
Donner une valeur exacte du périmètre de ABCD, puis une valeur approchée à
[pic] près.

3° Calculer l'aire du trapèze rectangle ABCD, puis donner une valeur
approchée à [pic]près.


CORRIGE
2° ABD est rectangle en A :
[pic]

[pic]donc le triangle ABD est un demi triangle équilatéral :
[pic]

[pic]donc le triangle BCD est isocèle en C, sa hauteur (CH) est également
médiane donc H est le milieu de [BD] :
[pic]

[pic]est droit, donc les angles [pic]et[pic]sont adjacents
complémentaires :
[pic]

Le triangle BCH est rectangle en H :
[pic]

Périmètre de ABCD :
[pic]
3° Aire du trapèze rectangle ABCD :
[pic]



Le triangle ABC est rectangle en B.
Le segment [BH] est la hauteur du triangle issue de A, le point H est sur
le côté AC.
[pic]
1) Démontrer que [pic].
2) Exprimer [pic] en utilisant les longueurs des côtés du triangle ABH.
Exprimer [pic] en utilisant les longueurs des côtés du triangle CBH.
3) Démontrer que [pic].
CORRIGE
1) Dans le triangle rectangle en B ABC, les angles aigus [pic] et [pic]sont
complémentaires.
De même (triangle rectangle en H ABH) [pic] et [pic]sont complémentaires.
Donc [pic] et [pic] sont complémentaires du même angle [pic], donc [pic].
2)
[pic][pic]
3) [pic] donc
[pic]
[pic].


deux triangles rectangles


Utiliser les connaissances de troisième (sinus, cosinus, tangente) de
préférence, utiliser les valeurs exactes.

On indiquera pour les longueurs et aires demandées, la valeur exacte puis
une valeur approchée à 0,01 près (unités le cm et le [pic]).
1°
Dessiner le triangle ABC rectangle en B tel que [pic] et [pic].
Calculer AB et CB et l'aire du triangle ABC.
2°
Sur la même figure, de l'autre côté de la droite AC par rapport au point B,
dessiner le triangle ACD rectangle en A et tel que [pic].
Calculer CD et AD et l'aire du triangle ACD.
3°
Donner une valeur approchée à 0,01 près du périmètre du polygone ABCD et de
l'aire de la figure.

CORRIGE
Indiquer le raisonnement, écrire les relations en lettres, puis remplacer
par les valeurs connues et indiquer la valeur exacte du résultat (où figure
cos, sin ou tan). Eviter d'utiliser une valeur approchée pour calculer une
autre valeur.
1° Le triangle ABC est rectangle en B donc:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] aire ABC24,26 [pic]
2° Le triangle ACD est rectangle en A donc:
[pic]
[pic]
[pic]
3°périmètre ABCD
[pic]
[pic]


VOILIER


[pic]
Du point A on voit le rocher R et le voilier V perpendiculairement à la
côte AB.
Du point B, tel que [pic], l'angle [pic] mesure 67° et l'angle [pic]mesure
6°.

1° Calculer AR à 0,1m près.

2° Calculer AV puis la distance RV du voilier au rocher.

CORRIGE
1° Le triangle RAB est rectangle en A: [pic]
[pic]
AR=100tan42°235,6m

2° [pic]
[pic]
AV=100tan73°

RV=AV-AR=
=100tan73°-100tan67°91,5m

l'échelle


[pic]
Une échelle SA de 4 m de longueur est appuyée sur un mur vertical. Le pied
de cette échelle se trouve à la distance [pic]du mur.
1° Calculer une valeur approchée à 0,01° près de l'angle [pic] que fait
l'échelle avec le sol.
Calculer la hauteur AM atteinte.
2° Sans déplacer le pied S de l'échelle, on redresse cette échelle d'un
angle [pic] et on la rallonge pour qu'elle s'appuie en B sur le mur.
Calculer une valeur approchée à 0,1 m près de la hauteur MB atteinte.
Calculer une valeur approchée de la longueur SB de cette échelle rallongée.
CORRIGE
1°
Le mur est vertical et le sol est horizontal, donc le triangle ASM est
rectangle en M.
[pic]
D'après l'énoncé de Pythagore:
[pic]
2°
[pic]
[pic][pic]

PENTAGONE


Exercice 2:
Dans un cercle de contre O et de rayon 10 cm, tracer cinq rayons formant
des angles de 72°. Joindre les 5 points A, B, C, D et E sur le cercle, on
obtient le pentagone régulier ABCDE.
La figure est constituée de 5 triangles isocèles:
OA = OB = OC = OD = OE
AB = BC = CD = DE = EA
On veut calculer le périmètre de ce pentagone.
On donne : OA = 10cm et [pic] = 72°

1. Dessiner la bissectrice de [pic] Qui coupe [AB] en H.
Quelle est la mesure de l'angle [pic]?
Pourquoi?

2. (on donnera la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième le plus
proche des résultats demandés):
a) Prouver que H est le milieu du côté [AB] et que le triangle OHA est
rectangle en H.

b) Calculer AH, AB et le périmètre du triangle OAB.

c) Calculer le périmètre p du polygone ABCDE.
d) Calculer l'aire du triangle OAB puis l'aire du pentagone ABCDE.

CORRIGE
1 Dessin de la bissectrice.
La bissectrice d'un angle divise cet angle en deux angles égaux donc:
A[pic]H = [pic].
2
a) (/1) OA = OB = 10cm: le triangle AOB est donc isocèle en O, la
bissectrice OH issue du sommet principal O est également médiane et hauteur
du triangle AOB; donc H est le milieu de [AB] et OHA est rectangle en H.
b) (/3) OHA est rectangle en H donc:
[pic]
AH = OA sin A[pic]H
AH = 10sin36° 5,9cm.

H est le milieu de [AB] donc:
AB = 2AH = 20sin36° 11,8cm
Le périmètre de OAB est:
OA+OB+AB=10+10+20sin36°
=20+20sin36° 31,8cm
c) (/1) p = 5AB = 100sin36° 58,8cm
d) (/3) OHA est rectangle en H donc
OH = OA cos A[pic]H
OH = 10cos36°
Aire de OAB:
[pic]
Aire ABCDE = 5aire OAB
= 5100sin36°cos36°
=500cos36°sin36° 237,8cm2.
Remarque: Attention le triangle BCD n'est pas rectangle!
cosB[pic]D=[pic][pic]