Les aires - Maths à Harry

Symétries centrales

I) SYMÉTRIE PAR RAPPORT À UNE DROITE (rappels) :

1) Construire le symétrique de la figure suivante par rapport à la
droite (d).



































2) Propriétés :

( Tous les points situés sur (d) sont leurs
.......................................... et ce sont les
.......................................... vérifiant ceci.
( La symétrie axiale conserve les ........................ , les
.................... , les aires et l'alignement.
( Le symétrique d'une droite est ..............................
( Le symétrique d'un segment est un ........................ de même
....................... .
( Le symétrique du milieu d'un segment est le ..................... du
segment ..........................
( Le symétrique d'un cercle de centre O et de rayon r est un
................ de centre O' et de même ................. , avec O'
.................. de O par la symétrie axiale considérée.




II) SYMÉTRIE PAR RAPPORT À UN POINT :

1) Vers une autre symétrie...

a) Construire le symétrique de la maison par rapport à la droite (d). On
note S cette nouvelle figure.

b) Construire S' le symétrique de la figure S par rapport à la
droite (d').

c) Nommez A', B' et C' les points de la figure S' occupant les mêmes
positions que les points A, B et C dans la maison initiale.

d) Tracez les segments [AA'], [BB'] et [CC']. Que représente le
point O pour ces trois segments ?



2) C'est le même exercice, mais...

Dans la figure ci-contre, la feuille a été malencontreusement
tachée. On ne peut donc pas tracer la figure S symétrique de la
maison par rapport à la droite (d), et on ne peut pas non plus
tracer le symétrique de la maison
par rapport à la droite (d').
Tracez tout de même la figure S' comme dans l'exercice précédent.



Conclusion : On dit que la figure S' est le symétrique de la
maison par rapport

...............................................................

3) Symétrique d'un point par une symétrie centrale :

a) Exercice : Placer 2 points O et M distincts. Construire à la règle
non graduée et au compas, le point M' tel que O soit le milieu de [MM'].
Que représente le point M' par rapport au point M ?





b) Définition 2 : Deux points M et M' sont symétriques par rapport à un
point O si O est le ..................................................
4) Dessiner les symétriques des figures suivantes par rapport à O :























5) ATTENTION À NE PAS CONFONDRE !!!!

Exercice : Tracer et colorier en vert le symétrique du triangle ABC
ci-dessous par rapport au point A.
Tracer et colorier en rouge le symétrique du
triangle ABC par rapport à la droite (d).










III) PROPRIÉTÉS DE LA SYMÉTRIE CENTRALE :

1) Exercice : Construire le symétrique de la figure ci-
dessous par rapport au point I :
2) Propriétés :

PROPRIÉTÉ 1 : La symétrie centrale conserve les ....................., les
........................,
les ........................... et l' ...............................

PROPRIÉTÉ 2 : Le symétrique d'un segment par une symétrie centrale est un
....................... de même ....................... et qui lui est
...........................
Le symétrique du milieu d'un segment est le ...................... du
segment ........................

PROPRIÉTÉ 3 : Le symétrique d'un cercle de centre O et de rayon r par la
symétrie centrale de centre I est un ..................... de centre O' et
de même ..................... , avec O' le ...............................
de O par rapport à I.

3) Construire les points A' et B' symétriques respectifs des points A
et B par
rapport à I, puis sans utiliser le point I, achever la construction du
symétrique de la figure par rapport à I :





















4) Certaines calculatrices affichent les chiffres de la manière
suivante :


Dessiner leurs symétriques par rapport au point O.
Quels sont ceux qui se transforment en le même chiffre ?
Quels sont ceux qui se transforment en un autre chiffre ?







5) A "main levée" et en n'utilisant aucun instrument de géométrie,
tracer dans chacun des cas suivants le symétrique de la figure ci-dessous
par rapport au point O.


























II) 1) Construire le symétrique de la figure par rapport à O. Coloriez-
le en rouge.
2) Construire le symétrique de la figure par rapport à A. Coloriez-
le en jaune.
3) Construire le symétrique de la figure par rapport à B. Coloriez-
le en vert.






















IV) AXES ET CENTRE DE SYMÉTRIE :

1) Axes de symétrie :

a) Construire le symétrique du sapin par rapport à (d) :

b) Définition : Une droite (d) est un axe de symétrie d'une figure lorsque
le symétrique de la figure par rapport à (d) est
....................................................
c) Tracer les éventuels axes de symétrie des figures ci-dessous :










2) Centre de symétrie :

a) Construire le symétrique de la figure par rapport à I :

b) Définition : Un point I est un centre de symétrie d'une figure lorsque
le symétrique de la figure par rapport à I est
....................................................

c) Déterminer les éventuels centres de symétrie des figures suivantes :









3) Pour chaque figure ci-dessous, placer ses axes et centre de
symétrie éventuels :




















|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 | |h | | | | | | | | | |g | | | | | | | | | |f | |
| | | | | | | |e | | | | | | | | | |d | | | | | | | | | |c | | | | | | | |
| |b | | | | | | | | | |a | | | | | | | | | |V) Un peu plus loin :

1) Quelles cases supplémentaires faut-il colorier pour que cet
échiquier ait un centre de symétrie ?

2) Paul possède un réveil à affichage
digital, dont les chiffres sont représentés de la façon suivante :

D'autre part, l'affichage est composé de 4 chiffres, séparés de deux
points, ce qui donne par exemple :

Aujourd'hui, en partant de chez lui, Paul a remarqué que l'heure affichée
(en fait, la figure constituée par l'affichage du réveil) avait un centre
de symétrie. Il sortit, profita du beau soleil pour se promener, et revint
chez lui très exactement 3 heures et 30 minutes plus tard... Surprise !
L'heure affichée au réveil avait bien sûr changé (il était plus tard de 3 h
30 min), mais elle avait encore un centre de symétrie !
A quelle heure Paul est-il parti de chez lui, et quand est-il revenu ?

3) Tracez F' le symétrique de F par rapport à O, puis F" le
symétrique de F' par rapport à P. Supposons maintenant qu'on pose la même
question avec la figure G. Une tache empêche hélas actuellement de tracer
correctement la figure G'. Mais pourriez-vous tout de même tracer la figure
G" sans tracer la figure G' ?

























4) Pourriez vous trouver une figure ou une forme ayant à la fois un
centre et un nombre impair et non infini d'axes de symétrie ?


5) Pourriez vous trouver une figure ou une forme ayant deux centres de
symétrie et deux seulement ?



-----------------------






































G

F

P

O

I

(d)

































































B

A

O

O

O

O



I

1 cm

B

O

A

4 cm

30°

C

2 cm

I



O

(d)

C

B

A

O

(d)

O

C

B

A

(d')

(d)























(d')




O

(d)