QUELQUES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE - Capes interne

QUELQUES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE Dans les deux premiers exercices sont proposés des démonstrations de
géométrie pur de résultats classiques Droite d'Euler
On considère un triangle ABC, montrer l'alignement de l'orthocentre H, du
centre de gravité G et du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC.
On pourra considérer le point D diamétralement opposé au point B, et B' le
milieu de [AC].
Symétrique de l'orthocentre
On considère un triangle ABC. Soit O le centre du cercle ( circonscrit à
ABC et H son orthocentre.
On se propose de démontrer que les symétriques du point H par rapport aux
côtés du triangle sont sur (.
1) Le point D étant diamétralement opposé à A sur le cercle (, réaliser une
figure.
2) Montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, ainsi que les
droites (BD) et (CH).
3) Quelle est la nature du quadrilatère BHCD ? En déduire que [BC] et [HD]
ont même milieu.
4) Soit H' le symétrique de H par rapport à (BC). Montrer que le triangle
HH'D est rectangle en H'.
5) En déduire que H' est un point du cercle (.
6) Justifier alors que le résultat énoncé plus haut est démontré.
Droite et cercle d'Euler, ... par les vecteurs
Soit un triangle ABC non rectangle,
O le centre et r le rayon de son cercle circonscrit C,
A', B' et C' les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB].
1) On considère le point H défini par [pic]
a) Montrer que [pic]
b) En déduire que (AH) (BC) et (BH) (CA).
Que représente alors le point H ?
2) On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH].
Montrer que les segments [OH], [IA'], [JB'] et [KC'] ont le même milieu (.
3) Montrer que :
[pic]
En déduire que les points I, J et K sont éléments du cercle C ' de centre (
et de rayon r.
4) Montrer que :
[pic]
En déduire que les points A', B' et C' sont éléments du cercle C'.
5) On désigne par A1, B1 et C1 les pieds sur (BC), (CA) et (AB) des
hauteurs du triangle ABC.
Montrer que les points A1, B1 et C1 sont éléments du cercle C '.
6) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que les points O, G
et H sont alignés.
7) Les résultats précédents sont-ils vérifiés lorsque le triangle ABC est
rectangle ? Faire par exemple une figure avec le triangle ABC rectangle en
A.
Que dire des points O, G, H et ( lorsque le triangle est équilatéral ? Le cercle C ' est appelé cercle d'Euler du triangle ABC.
Lorsque le triangle ABC n'est pas équilatéral, la droite (OH) est appelée
droite d'Euler du triangle ABC. Droite d'Euler et transformation
Soit ABC un triangle. On appelle A' le milieu de [BC], B' le milieu de [AC]
et C' le milieu de [AB].
Par quelle homothétie passe-t-on du triangle ABC au triangle A'B'C' ?
En déduire l'alignement des trois points O, G et H (notations de l'exercice
1) Quelques configurations
Théorème de Ménéalaüs
Soit ABC un triangle non aplati et ( une droite qui coupe respectivement
(BC), (CA) et (AB) en P, Q, R distinct des sommets.
Utiliser la parallèle à ( en B pour établir la relation de Ménélaüs :
[pic].
Démontrer la réciproque. Théorème de Céva
Si ABC est un triangle non aplati, et si P, Q, S sont des points
respectivement situés sur (BC), (CA) et (AB), en dehors des sommets, alors
les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si et
seulement si on a :
[pic] Utilisation simple des transformations
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré et JA = AB = BI.
Démontrer que JOI est un triangle rectangle isocèle.
[pic] ABCD est un carré. CBF et ABE sont des triangles équilatéraux disposés
comme l'indique la figure ci-dessous.
Montrer que les points D, E et F sont alignés.
[pic]
ABC est un triangle quelconque. Sur le côté [AB], extérieurement à ce
côté, on construit un triangle équilatéral ABM. Sur le côté [AC],
extérieurement à ce côté, on construit un triangle équilatéral ACN.
Montrer que MC = BN et [pic] ABC est un triangle équilatéral direct de centre O. On construit,
extérieurement à celui-ci, les trois carrés ABIJ, AKLC et BCMN de centres
respectifs D, E et F.
On considère la rotation (O de centre O et d'angle .
1) Quelles sont les images de C et A par (O ?
2) Quelle est l'image de la droite (CK) ?
3) Montrer que (O(E) = D.
4) En déduire la nature du triangle DEF. Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle équilatéral, et les points P,
Q et R sont tels que :
AP = BQ = CR.
On veut montrer que le triangle PQR est équilatéral.
Soit O le centre du triangle ABC. On considère la rotation (O de centre O
et d'angle .
1) Quelles sont les images des points A, B et C par cette rotation ?
2) En déduire l'image du point P par cette rotation.
3) En déduire le résultat annoncé.
4) Résoudre l'exercice en utilisant des triangles isométriques. Angles inscrits
Soit O le centre d'un cercle passant par deux points A et B. M est un
point du cercle, distinct de A et de B. M' est le point diamètralement
opposé à M.
1) En considérant les angles orientés du triangle MAO, établir la suite
d'égalités :
[pic]
2) Évaluer de manière analogue : [pic].
3) En déduire que [pic].
4) A-t-on [pic].
Justifier la réponse.
[pic] Triangles semblables
Des relations métriques dans le triangles rectangle
ABC est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A.
1) Démontrer que les trois triangles ABC, HBA et HAC sont de même forme.
2) En déduire HA2 = HB HC.
3) Démontrer que AB2 = BH BC et AC2 = CH CB.
Retrouver alors le célèbre théorème de Pythagore.
4) Démontrer que AB AC = BC HA.
Le pied de la bissectrice
ABC est un triangle inscrit dans un cercle (. La bissectrice de l'angle
[pic] coupe le segment [BC] en I et le cercle ( en A'.
1) a) Démontrer que les triangles AA'B et ACI sont de même forme.
b) En déduire les égalités :
AB AC = AI AA' (1)
[pic] (2)
2) a) Démontrer que AA'C et ABI sont de même forme.
b) En déduire que [pic] (3)
c) En utilisant les égalités (2) et (3), démontrer que [pic]. Théorème de Ptolémée
Dans l'Almageste, Ptolémée démontre le théorème suivant :
Si un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle, alors la
somme des produits des côtés opposés est égale au produit des
diagonales.
Ce qui avec les notations de la figure ci-dessous revient à affirmer que :
AB × CD + BC × DA = AC × BD.
[pic]
Indication : on considère le point I de [AC] tel que on ait [pic].
Considérer successivement deux triangles semblables. Soit R le rayon du cercle circonscrit et S l'aire d'un triangle ABC avec
BC = a, AC = b et AB = c.
1) Montrer que le produit des longueurs de deux côtés du triangle est égal
au produit du diamètre du cercle circonscrit par la longueur de la hauteur
issue du sommet commun aux deux côtés.
2) a) Montrer que l'on a [pic] et [pic].
b) Montrer que ABC est rectangle en A si et seulement si [pic]. 3) La formule de Héron
a) Montrer que [pic] et [pic] où p désigne le demi-périmètre du triangle.
En déduire la valeur de [pic] en fonction de p, a, b et c.
b) Démontrer la formule de Héron :
[pic].
c) Application :on considère deux triangles dont les côtés mesurent 16 cm,
17 cm et 18 cm pour l'un et 19 cm, 31 cm et 49 cm pour l'autre.
Quel est celui qui a l'aire la plus grande ? La formule de Brahmagupta
On considère un quadrilatère convexe ABCD inscrit dans un cercle. On note
a, b, c et d les longueurs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
[pic]
1) Établir la relation :
[pic]
2) Soit S l'aire du quadrilatère ABCD.
Montrer que S = [pic]où l'on a posé 2p = a + b + c + d.
3) La formule précédente permet d'obtenir l'aire d'un quadrilatère
inscriptible en fonction de ses côtés. Est-il raisonnable d'espérer une
formule générale (c'est-à-dire une formule exprimant l'aire d'un
quadrilatère quelconque en fonction de ses côtés). ( est un cercle de centre O, de rayon R. M est un point extérieur au
cercle. Une droite passant par M coupe le cercle C en deux points distincts
A et B.
[pic]
On considère une autre droite passant par M coupant le cercle ( en deux
points C et D.
1) a) Montrer que MA MB = MC MD.
b) Montrer que MA MB = OM2 - R2.
2) Que se passe-t-il si la deuxième droite passant par M est tangente au
cercle en un point T ? Prouver ce résultat.
3) Les résultats de la première question sont-ils encore vrais si M est à
l'intérieur du cercle ? Le justifier. 1) Montrer que les diagonales d'un pentagone régulier ont toutes la même
longueur.
[pic]
2) Montrer que le rapport de la diagonale au côté d'un pentagone régulier
est égal à [pic] On considère un parallélogramme ABCD. À l'intérieur de ce parallélogramme,
on place un point P, qui se projette orthogonalement en E sur [AB], F sur
[BC], G sur [CD] et H sur [AD]. On appelle R le point d'intersection de
(EH) et (FG) (on suppose donc qu'il existe). Quel est le lieu de R lorsque
le point P décrit l'intérieur du parallélogramme ? Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en A et M un point
variable du segment [BC]. P est le point du segment [AB] et de la
perpendiculaire en M à la droite (AB). Q est le point du segment [AC] et de
la perpendiculaire en M à la droite (AC). On veut connaître la ou les positions du point M sur le segment [BC] pour
lesquelles la distance PQ est minimale. On suppose que AB = 8 cm et AC = 6
cm. Triangle orthique
Les bissectrices du triangle orthique.
Soit ABC un triangle acutangle, H son orthocentre, P, Q et R les pieds des
hauteurs. Le but de l'exercice est de démontrer que les hauteurs du
triangle ABC sont les bissectrices du triangle PQR.
[pic]
Pour cela, tracer les cercles de diamètre [BH] et [HC]