Corrigé DM5 - Td corrigé

Corrigé DM5
Exercice 1 :
Dans cet exercice, on peut au choix utiliser le théorème sur les fractions
rationnelles ou factoriser par le terme de plus haut degré.
Exemple : [pic]
Par le théorème sur les fractions rationnelles :
[pic]
De même :
[pic]

Par factorisation :
Factorisation de f :
Pour tout [pic]
Etude de la limite en +[pic] :
[pic]
Par règles d'opérations, on en déduit alors :
[pic] et donc [pic]

Etude de la limite en[pic] :
[pic]
Par règles d'opérations, on en déduit alors :
[pic] et donc [pic]

En procédant de même pour les autres fonctions, on obtient
2) [pic], [pic]
3) [pic], [pic]
4) [pic], [pic]
5) [pic], [pic]
6) [pic], [pic]


Exercice 2 :
Pour tout [pic]
De même,
Pour tout [pic]
Par conséquent,
pour tout [pic]
Par identification des coefficients du trinôme, on obtient :
[pic] soit [pic]

Finalement,
Pour tout [pic]
Nous retiendrons cette forme pour la suite de l'exercice
2) Asymptotes
Recherche d'asymptotes verticales
La seule asymptote verticale possible est en x= -2 (seule valeur hors du
domaine de définition)
Or,
[pic] Par règles d'opérations [pic] et [pic]
[pic] Par règles d'opérations [pic] et [pic]
La droite d'équation x =- 2 est donc bien asymptote verticale à la courbe
représentative de f.

Recherche d'asymptotes horizontales ou obliques :

Etude en [pic]
[pic] Par règles d'opérations, on en déduit [pic] et [pic]
La droite d'équation y =2/3 est donc asymptote horizontale à la courbe
représentative de f en +[pic]
Etude en [pic]
[pic] Par règles d'opérations, on en déduit [pic] et [pic]
La droite d'équation y =2/3 est donc aussi asymptote horizontale à la
courbe représentative de f en -[pic]3) Pour tout [pic]
Par conséquent, f est dérivable comme somme et rapport de fonctions
dérivables et,
[pic]


[pic] -[pic] -2
+[pic]
|[pic] |+ | |
| | |+ |
|[pic] |- |- |
|[pic] | | |

Exercice 3
1) Dans chacun des cas on trouve une forme indéterminée de la forme « 0/0 »
Questions 2) et 3)
1) [pic] (factorisation d'un trinôme)
[pic]
Par conséquent,
[pic] et donc [pic]
On procède de même pour les autres limites

On obtient comme limites respectives : 3/2 ; ½, -4/5

Exercice 4
Il s'agit de reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction
1) [pic]
La fonction sinus étant dérivable en à, on obtient par définition du nombre
dérivé :
[pic]
2) [pic]
Il s'agit du taux d'accroissement entre 0 et 0+x, de la fonction g donnée
par [pic] dont la dérivée est [pic]
[pic]
3) En posant x=h+3
[pic]
On reconnaît le taux d'accroissement entre 3 et 3+h de la fonction [pic]
dont la dérivée est [pic]
Et donc
[pic]
4) De même
[pic]


Exercice 5 :
Attention, ce ne sont pas des fractions rationnelles !!! Il faut
factoriser par le terme dominant numérateur, dénominateur, puis simplifier
la fraction.
On obtient comme limites respective : 0, 0, 0, -[pic]

Exercice 6
1) Le premier barycentre est A, le deuxième est C (cela se démontre en
plaçant chaque barycentre par associativité)
2) L'ensemble ? est la médiatrice du segment [AC] (à démontrer)
3) Pour tout point M du plan, [pic].
(à démontrer en utilisant la relation de Chasles ainsi que la
configuration du carré)
4) ?' est le cercle de centre A et de rayon AC (à démontrer)
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