UNICURSALE (COURBE PLANE)

La projection stéréographique de pôle sud est la strophoïde d'équation : . Si l'on développe le cylindre .... A. FEDENKO : recueil d'exercices de géométrie différentielle, Mir (1979) : fourmille d'exemples, avec corrigé. P. SAMUEL : géométrie ...



un extrait du document





UNICURSALE (COURBE PLANE)
Unus (latin) : un ; cursus : course.
Synonyme : courbe rationnelle.
Paramétrisation cartésienne : [pic] où P, Q et R sont trois polynômes à
coefficients réels premiers entre eux dans leur ensemble.
Paramétrisation cartésienne homogène : [pic].

Une courbe unicursale est une courbe admettant une paramétrisation par des
fonctions rationnelles de R[X].
C'est une courbe algébrique de degré n égal au plus grand degré des
polynômes P, Q, R.
Une courbe algébrique est unicursale si et seulement si le nombre de ses
points singuliers, comptés avec leur multiplicité, est maximum, autrement
dit si son genre est nul.
Exemple : toute courbe algébrique de degré n ayant un point multiple
d'ordre n - 1 est unicursale ;
En particulier les coniques sont unicursales et correspondent au cas où les
polynômes P, Q, R sont de degré 2.
Pour les cubiques et quadriques, voir à cubique unicursale et à quadrique
unicursale.

L'expression "unicursale" vient de ce qu'on peut les tracer d'un seul coup
de crayon ; ceci n'est vraiment exact dans le plan affine que lorsque le
polynôme R n'a pas de racine réelle. Sinon, c'est dans le plan projectif,
qu'il faut se placer pour imaginer qu'on ne lève pas le crayon (pour tracer
une hyperbole ou une cubique mixte par exemple).
Par contraposée, ceci montre qu'une courbe qui possède plusieurs
composantes connexes dont l'une est une courbe fermée, n'est pas
unicursale. Exemple : la parabole divergente [pic]; la réciproque est
fausse : la parabole divergente [pic] qui est probablement la courbe non
unicursale dont l'équation cartésienne est la plus simple, se trace d'un
coup de crayon.

VAGUE
catastrophe

VARIÉTÉ (topologique, différentielle, algébrique)

VARSOVIE (CERCLE DE)

VERHULST (DIAGRAMME DE BIFURCATION DE)
Pierre-François Verhulst (1804-1849) :
puf

VERONESE (SURFACE DE)
Giuseppe Veronese (1854-1917) : mathématicien italien.

Berger 1 p. 123
Surface (i.e. variété de dimension 2) sans singularité plongée dans R5 et
homéomorphe au plan projectif réel.
Y en a-t-il dans R4?
[pic]


permet d'étudier toutes les coniques du plan ??? (hauchecorne)

VERSIERA
Diablesse en italien.
Autre nom de la cubique d'Agnesi. Ce nom aurait été donné par Agnesi elle-
même suite à une confusion avec l'appellation antérieure donnée par Grandi
: versoria qui signifie : amure (corde servant à virer de bord).
C'est la raison pour laquelle les Anglais appellent cette courbe : witch
(sorcière) of Agnesi.

VILLARCEAU (CERCLE DE)
Antoine Yvon Villarceau (1813-1883) : astronome et mathématicien français.
Section d'un tore par un plan qui lui est bitangent, et non perpendiculaire
à l'axe.
C'est l'une des loxodromies du tore.
solénoïde torique?
puf

VIS A FILET CARRÉ (SURFACE DE LA)
Autre nom de l'hélicoïde droit.

VIS A FILET TRIANGULAIRE (SURFACE DE LA)
Surface engendrée par le mouvement hélicoïdal d'une droite (D) autour d'un
axe, dans le cas où cette droite est sécante (mais ni orthogonale ni
parallèle) à l'axe.
Voir à hélicoïde réglé.

VIVIANI (FENÊTRE OU COURBE DE) (Roberval ; Viviani,1692)
Vincenzo Viviani (1622-1703) : mathématicien italien.

|Système d'équations cartésiennes : [pic]. |
|Quartique gauche unicursale. |
|Système d'équations sphériques : r = R, ? = ?. |
|Paramétrisation cartésienne : [pic] (où [pic]) ou : [pic] (avec 2a|
|= R, t = 2?) ; forme utilisée dans la suite. |
|Abscisse curviligne : [pic]. |
|Système d'équations cylindriques dans le repère (A |
|,[pic],[pic],[pic]) où A(a, 0, 0) : |
|[pic].La longueur totale est égale à la longueur d'une ellipse de |
|demi-axes R et R/2 (exprimée par une intégrale elliptique) ( |
|4,844 R. |
|Aire de la double fenêtre de Viviani découpée sur la sphère : 4(( |
|- 2)R2 ; |
|l'aire de la surface restante sur la sphère vaut donc 8 R2. |
|Volume commun à la boule et à l'intérieur du cylindre : [pic] ; |
|le volume restant vaut donc [pic]. |

La fenêtre de Viviani est l'intersection d'une sphère de rayon R et d'un
cylindre de révolution de diamètre R dont une génératrice passe par le
centre de la sphère (c'est un cas particulier d'hippopède).

Figure Viviani 1

On obtient donc une fenêtre de Viviani en plantant la pointe d'un compas
sur un cylindre et en traçant un "cercle" de même rayon que le diamètre du
cylindre.
Le système d'équations sphériques montre que la fenêtre de Viviani est un
cas particulier de clélie (voir à ce terme pour une construction mécanique)
et le système d'équations cylindriques montre que la fenêtre de Viviani est
un cas particulier de couronne sinusoïdale.
Les projections sur les plans xOy, xOz et yOz sont respectivement un
cercle, un arc de parabole et une lemniscate de Gerono, et plus
généralement, les projections sur des plans passant par Oz sont des
besaces, qui sont donc des vues de la fenêtre de Viviani.

Figure Viviani 2

La projection stéréographique de pôle sud est la strophoïde d'équation :
[pic].
Si l'on développe le cylindre sur lequel est tracée la courbe de Viviani,
on obtient une période de sinusoïde : [pic], avec [pic]. On obtient donc
facilement une fenêtre de Viviani en découpant dans du papier la figure
formée par deux arches de sinusoïde en vis-à-vis et en enroulant la feuille
pointe contre pointe.


WATT (COURBE DE)
James Watt (1736 - 1819) : ingénieur et mécanicien écossais (celui des
kilowatts...).
Autre nom : courbe à longue inflexion.

b:=1.5:c:=1:plot([[
> sqrt(b^2-(sin(t)+sqrt(c^2-cos(t)^2))^2),t,t=0..2*Pi],
[sqrt(b^2-(sin(t)-sqrt(c^2+cos(t)^2))^2),t,t=0..2*Pi]],
coords=polar,color=[blue,red],scaling=constrained);

Équation polaire : [pic],???????????

Lorsque a = c :[pic] ou [pic].

Sextique.


La courbe de watt est le lieu du milieu de la barre [PQ] d'un quadrilatère
articulé (APQB), A et B étant fixes et AP = BQ (c'est donc un cas
particulier de courbe du trois-barres) ; ici, A(0, a), B(0, -a), AP = BQ =
b, PQ =2c.
Lorsque la barre centrale PQ a même longueur que la barre fixe AB, on
obtient la réunion du cercle (O,b) et de....., laquelle est la lemniscate
de Bernoulli quand [pic].

Ce dispositif a été imaginé par Watt pour transformer un mouvement
circulaire en mouvement rectiligne approché, car lorsque b est grand devant
a et c, la courbe se confond sensiblement avec les deux tangentes
d'inflexion en O.??????

WEIERSTRASS (COURBE DE)
Karl Weierstrass (1815 - 1897) : mathématicien allemand.

ZAHRADNIK (CISSOÏDALE DE)
Voir à cissoïdale de Zahradnik.

BIBLIOGRAPHIE
I ouvrage général
D. WELLS : the penguin dictionary of curius and interesting geometry,
Penguin books, (1991).

II COURBES
F. GOMES TEXEIRA : traité des courbes spéciales remarquables planes et
gauches T.1, 2 et 3 (1909, réédité par Chelsea publishing company (USA) en
1971) : livre traduit de l'espagnol, très complet, avec toutes les
démonstrations.

H. BROCARD : notes de bibliographie des courbes géométriques, Bar Le Duc
(1897), photocopies par l'IREM de Jussieu : avant-projet manuscrit du
livre suivant, qui présente l'avantage d'être complet.

H. BROCARD et T. LEMOINE : courbes géométriques remarquables (courbes
spéciales) planes et gauches T. 1, 2 et 3 (1919, réédité par A. Blanchard
en 1967) : livres fournissant sans démonstration pour chaque courbe ou
famille de courbes une liste impressionnante de propriétés non triviales.
Le travail publié est incomplet, la présentation alphabétique allant de
"abaque" à "glissette", mais contient toutes les courbes dont la
dénomination commence par "courbe", ce qui est assez courant... (attention,
les courbes de Lissajous sont à chercher à F et non à C ; ce sont les
figures de Lissajous !)

R. C. YATES : curves and their properties, NCTM (USA) (1952, réédité
en1974) : magnifique petit livre en anglais, dans lequel nous avons pris de
nombreuses informations.

E.H. LOCKWOOD : a book of curves, Cambridge University Press (1967)

C. LEBOSSE C. HEMERY : géométrie, classe de mathématique, Fernand Nathan
(1963), réédité chez Albert Blanchard : magnifique livre de géométrie, dont
un bon tiers est consacré aux coniques.

J. DENNIS LAWRENCE : a catalog of special plane curves, Dover (1972) :
livre en anglais à usage plus scolaire (calcul des dérivées de x et y, du
rayon de courbure etc...) comportant quelques erreurs.

J. BRETTE : courbes mathématiques, revue du Palais de la Découverte (1976,
réédité 1995) : livre d'images, quelques propriétés étant indiquées au bas
de chaque figure.

J.C. CARREGA : théorie des corps, la règle et le compas, Hermann (1981) :
pour le chapitre concernant les constructions graphiques approchées
(quadratrices, duplicatrices, trisectrices).

M.-N. et R. VUILLOT : de points en courbes, histoire, construction,
utilisation pédagogique des courbes mathématiques célèbres, C.R.D.P de
Dijon (1987) : livre écrit et illustré à la main par des collégiens sous la
houlette de professeurs extrêmement bien documentés.

J. AYMES : ces problèmes qui font les mathématiques (la trisection de
l'angle), APMEP(1988).

La double page centrale de la revue Tangente (la playmath, éditée aussi en
tiré à part)

COXETER ???? redécouvrons....

Walker, R. J. Algebraic Curves. New York: Springer-Verlag, 1978.

http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math
=à .

MacTutor History of Mathematics Archive.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Curves.html
Site de l'université de saint Andrew. L
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