Loi normale - Les mathématiques dans l'académie de Caen

Introduction à l'Econométrie et aux Techniques des Sondages ... et d'Inférence Statistique avec des applications ; des exercices corrigés pour chaque ... de la statistique mathématique et de l'inférence statistique, tant en théorie qu'en pratique.



un extrait du document




Activité 1 :

Margaux choisit un réel de l'intervalle [0 ; 10].
Elle ne choisit pas forcément un entier, elle peut choisir 5 10-3 , ou
2(.

Compléter les phrases suivantes :

1. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 5 est ...


2. La probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle [2 ; 4] est
...

3. La probabilité que ce nombre soit plus grand que 7 est égale à la
probabilité que ce nombre soit ...

4. Sachant que ce nombre est plus grand que 4, la probabilité qu'il
soit plus grand que 5 est ...

5. Margaux a choisi le nombre . La probabilité que quelqu'un trouve
ce nombre est ...

Activité 2 :
Une étude statistique porte sur le temps de bon fonctionnement, en
milliers d'heures, d'un composant électronique.
On a étudié un échantillon de 5000 de ces composants.
Les résultats sont donnés dans les tableaux ci-dessous :
|Durée de |[0 ; |[10 ; |[20 ; |[30 ; |
|vie |10[ |20[ |30[ |40[ |
|Fréquence |0,001 |0,0005 |0 ,000 |0,0005 |



Tracer l'histogramme des fréquences dans le repère ci-dessous.
L'aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à la fréquence.
Deux petits carreaux correspondent à 1%.


[pic]


1. On note T la variable aléatoire donnant le temps de bon fonctionnement
d'un de ces composants pris au hasard.
Dans chaque cas, hachurer l'aire correspondante de la couleur indiquée
et compléter :


En bleu : P(T [20 ; 30[ ) = ... En rouge : P(T [45 ; 60[
) = ...


En noir : P( 85 T ) = ... En vert : P( T > 15 ) =
...


2. Sur les deux graphiques précédents, tracer à la règle, une ligne
brisée passant par le milieu de chacun des segments située « en haut »
de chaque rectangle.
Cette courbe est le polygone des fréquences.


3. Si on fait une enquête de plus en plus précise, on réduit l'amplitude
de chaque classe et on augmente le nombre de rectangles. La ligne
brisée « se lisse » et on voit alors apparaître une courbe
représentant une fonction f appelée densité de probabilité de la loi
de T.


[pic]


a. Que vaut l'aire totale sous la courbe ?


b. Hachurer sur le graphique l'aire de la partie du plan
correspondant à P(20 T < 32,5).

c. Exprimer cette probabilité à l'aide d'une intégrale.

d. Soit t un réel positif. A quelle probabilité correspond
[pic] ?



4. La fonction f représentée ci-dessus est définie sur [0 ; + [ par f
(x) = 0,04308 e-0,04308x.


a. Déterminer une primitive F de f sur [0 ; +[.


b. Calculer la probabilité qu'un de ces composants ait une durée
de vie inférieure à 60 000 heures.

c. Quelle est la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure
à 60 000 heures ?






Hachurer l'aire correspondante sur le graphique et exprimer
cette probabilité à l'aide d'une intégrale.
VARIABLES ALEATOIRES CONTINUES

Introduction :
Les variables aléatoires étudiées précédemment ne prenaient qu'un nombre
fini de valeurs.
La loi de probabilité de ces variables aléatoires étaient données soit à
l'aide d'un tableau, soit à l'aide d'une formule générale (cas de la loi
binomiale).

La durée de vie d'un composant électronique, le diamètre, la longueur ou
le poids d'une pièce usinée sont des variables aléatoires continues,
elles prennent leurs valeurs dans un intervalle de .
Dans ces conditions, il n'est plus possible de définir la loi de
probabilité de X en dressant le tableau des probabilités de chacun des
événements « X = xi » car il y en a une infinité.
Une autre approche est alors nécessaire : on s'intéresse aux événements du
type « X prend ses valeurs dans l'intervalle J » que l'on note abusivement
« X J ».


I Loi de probabilité à densité

Définition : On appelle densité de probabilité sur un intervalle I,
toute fonction f continue et
positive sur I telle que l'intégrale de f sur I soit égale à 1.

Exemple 1 : La fonction f définie sur [1 ; 3] par f (x) = x - est
une densité de probabilité.
En effet :










Définition : f désigne une densité de probabilité définie sur un
intervalle I.
Dire qu'une variable aléatoire continue X suit la loi de densité
f signifie que pour tout intervalle [a ; b] de I, P(X [a ; b])
= [pic]






















Propriétés : Pour tous réels a et b de l'intervalle I :


. P(X = a) = 0 en effet : P(X = a) = [pic] =
0.


. P(X a) = P(X < a) et P(X a) = P(X > a)


. P(X > a) = 1 - P(X a)


. P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a)


Exemple 2 : X est la variable aléatoire de densité f définie sur [1 ; 3]
par f (x) = x - .





P(2 X 2,5) =




















Définition : L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue
X, de densité f sur


l'intervalle I = [a ; b] est le réel défini par E(X) = [pic]





Exemple 3 : X est la variable aléatoire de densité f définie sur [1 ;
3] par f (x) = x - .


E(X) =

















Exercice 1 : La production quotidienne X d'un produit en tonnes est une
variable aléatoire continue qui prend ses valeurs dans
l'intervalle [0 ; 10] avec la densité de probabilité f définie
par f (x) = 0,006(10x - x²).





1. Vérifier que f est une densité de probabilité.


































2. Calculer la probabilité des événements suivants : A :
« X 7 » et B : « X > 6 »





























3. Calculer l'espérance mathématique et interpréter ce
résultat.




















II Loi uniforme sur [a ; b]





La loi uniforme sur l'intervalle [a ; b] modélise le choix, au hasard,
d'un nombre dans cet intervalle.





Définition : Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur
l'intervalle I = [a ; b] lorsque sa densité de probabilité
f est la fonction constante définie sur [a ; b] par f (t)
= .





Remarque : f est une densité de probabilité car




















Propriété : Pour tout intervalle J = [c ; d] inclus dans I =
[a ; b] : P(X [c ; d]) = .


On retiendra que : P(X J) =








Preuve : P(X [c ; d]) =











Remarque : Si J et K sont deux intervalles de même longueur inclus
dans [a ; b] alors


P(X J) = P(X K) d'où le nom de loi uniforme.








Propriété : L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X
qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b] est E(X)
=





Preuve : E(X) =








Exemple 4 : X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme
sur l'intervalle [0 ; 10].





P(X 3) =








P(X > 6) =








P(2 X 7) =


























Exercice 2 : A partir de 7h00, un bus passe toutes les quinze
minutes à l'arrêt A.


Un usager se présente en A entre 7h et 7h 30. On fait
l'hypothèse que la durée X (en min) entre 7h00 et l'heure
de son arrivée en A est une variable aléatoire uniformément
répartie sur l'intervalle [0 ; 30].


Calculer la probabilité de l'événement E « cet usager
attend moins de 5 minutes ».
































Exercice 3 : Dans un parc national, un guide propose
quotidiennement l'observation d'un troupeau de chamois
venant s'abreuver dans un lac, au coucher du soleil.


Le temps d'attente T du groupe, en heure, avant l'arrivée
des animaux suit une loi uniforme sur [0 ; 1].





1. Calculer la probabilité que le groupe attende moins de
10 minutes.














2. Calculer la probabilité que le groupe attende plus d'une
demie heure.













3. Calculer P(0,2 < T 0,4).














4. Calculer P(T = 0,6).














5. Calculer P(T < 0,3)














Exercice 4 : On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [5 ;
30].


Sachant que ce nombre est inférieur à 18, quelle est la
probabilité qu'il soit


supérieur à 12 ?























III Loi exponentielle








Définition : Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle
de paramètre (, avec ( > 0, lorsque sa densité de
probabilité f est la fonction définie sur [0 ; +[ par f
(t) = (e-(t.





Remarque : f est une densité de probabilité car























Propriété : Pour tous réels a et b tels que 0 a b on a :





. P(X a) = 1 - e-(a


. «P(X > a) = e-(a.


. P(a X b) = e-(a- e-(b.





Preuve :


. P(X a) = [pic]= [pic]= -e-(a + 1 = 1 - e-(a


. « X > a » est l'événement contraire de « X a » donc P(X > a) =
1 - (1 - e-(a ) = e-(a.


. P(a X b) = [pic] =[pic]= -e-(b + e-(a = e-(a- e-(b.








Remarque : La durée de vie d'un appareil est dite sans vieillissement
(on parle aussi de processus sans mémoire), lorsque la probabilité
qu'il fonctionne encore pendant une durée h (au moins) ne dépend que
de h et pas de la durée t de son fonctionnement passé.


C'est le cas de nombreux composants électroniques (qu'il ait 2 jours
ou 5ans, un composant électronique a la même probabilité de
fonctionner encore 127 heures) ou de la désintégration d'un noyau
radioactif (qu'il ait 20 ou 3 000 ans, un noyau radioactif non
désintégré à la même probabilité de se désintégrer dans les deux
prochaines années).





Propriété :


Une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle est sans
vieillissement.





Preuve : PX t (X t + h) = t et X t + h); P(X t))) = t + h);
P(X t))) = = e-(h = P(
....