Bac maths S 1997 - POLYNESIE - Descartes et les Mathématiques

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Bac S 1997 - POLYNÉSIE

Exercice commun : probabilités - obligatoire : complexes - spécialité :
géométrie - Problème : étude d'une fonction f, d'une de ses primitives et
d'une suite attachée à cette fonction (plus trois autres exercices).

Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
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BACCALAURÉAT GENERAL Session 1997
Epreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9

OBLIGATOIRE et SPECIALITE



L'utilisation d'une calculatrice est autorisée


Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.

Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4 (plus trois autres
exercices).

EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats

Les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes.
Tous les résultats de calcul des probabilités seront donnés sous forme
d'une fraction irréductible.

Une classe de terminale S d'un lycée compte 30 élèves dont 10 filles.

1. À chaque séance du cours de mathématiques le professeur interroge au
hasard trois élèves.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : " Exactement deux des trois élèves interrogés sont des garçons ",
(0,5 point)
B : " Les trois élèves interrogés sont de même sexe ", (0,5 point)
C : " Il y a au plus une fille parmi les trois élèves interrogés ".
(0,5 point)

2. Parmi les 19 internes de la classe, on compte 4 filles.
On choisit au hasard dans cette classe deux délégués de sexes différents.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
D : " Les deux délégués sont internes ", (0,5 point)
E : " Un seul des deux délégués est interne ". (0,5 point)

3. À la fin de chaque séance, le professeur désigne au hasard un élève qui
effacera le tableau. Un même élève peut être désigné plusieurs fois.

a) Déterminer la probabilité pn pour que le tableau soit effacé au moins
une fois par une fille à l'issue de n séances. (0,75 point)
b) Déterminer le nombre minimal de séances pour que pn > 0,9999. (0,75
point)
EXERCICE 2 (6 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité
Partie A
Soient, dans l'espace E, quatre points A, B, C et D distincts deux à deux.

1. Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le
barycentre du système {(A, 1), (B, - 1), (C, 1)}. (1 point)

2. On suppose que ABCD est un parallélogramme.
Déterminer l'ensemble (S) des points M de l'espace E tels que : [pic].
(1 point)

3. On suppose maintenant que ABCD est un rectangle.
Déterminer l'ensemble (?) des points M de l'espace E tels que
[pic].
(1 point)
Partie B

On considère dans l'espace E deux parallélogrammes ABCD et A'B'C'D' ainsi
que les milieux I, J, K et L de [AA'], [BB'], [CC'] et [DD']
respectivement.

1. Montrer que L est barycentre des points I, J et K affectés de
coefficients que l'on précisera. En déduire que IJKL est un
parallélogramme. (1 point)

2. Soient O, Q et P les centres respectifs des parallélogrammes IJKL, ABCD
et A'B'C'D'.
Montrer que O est le milieu de [PQ]. (1 point)


EXERCICE 2 (6 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal [pic] (unité
graphique : 1 cm).
Soient les nombres complexes [pic] et z0 = 6 + 6i d'image A0.
Pour tout n entier naturel non nul, on désigne par An le point d'affixe zn
définie par [pic].

Partie A
1. Exprimer z1 et a2 sous forme algébrique. (0,5 point)
Écrire z1 sous forme exponentielle et montrer que [pic]. (0,5 point)

2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et a2 ; en déduire l'expression de
z3 et z7 sous forme exponentielle. (1 point)

3. Placer les points A0, A1, A3 et A7 images respectives des complexes z0,
z1, z3 et z7.
(1 point)
Partie B
Pour tout n entier naturel, on pose [pic].

1. Montrer que, pour tout n de N, [pic]. (0,5 point)

2. En déduire que la suite [pic] est une suite géométrique dont on
précisera le premier terme et la raison. (1 point)

3. Déterminer la limite de la suite (rn) et interpréter géométriquement le
résultat obtenu. (0,5 point)

4. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que OAp < 10 - 3 et donner
alors une mesure de l'angle orienté [pic] (1 point)


PROBLÈME (10 points) commun à tous les candidats

Le but du problème est l'étude d'une fonction f, d'une de ses primitives et
d'une suite attachée à cette fonction. Le plan est muni d'un repère
orthogonal [pic] avec [pic]

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = [pic].
On note (C) sa courbe représentative.

1. Montrer que f est paire. Étudier ses variations sur [0 ; +? [ et
déterminer sa limite en + ?. Tracer sa courbe (C). (2 points)

2. Montrer que f établit une bijection de [0 ; +?[ sur ]0 ; 1].
On note y un réel quelconque de l'intervalle ]0 ; 1]. Exprimer en fonction
de y le seul réel positif x vérifiant f(x) = y. (1 point)

Partie B

Soit F la fonction définie sur R par [pic].
(On admettra que, pour tout réel x, [pic].

1. Calculer F'(x). En déduire que F est la primitive de f sur R qui
s'annule en 0.
(0,5 point)
2. a) Déterminer la limite de F en + ?.
b) Montrer que F est impaire.
c) En déduire la limite de F en- ?. (1,5 point)

3. Soit ? un réel strictement positif. On note A (?) l'aire en cm2 de la
partie du plan constituée des points M(x ; y) tels que ? < x < 2? et 0 < y
< f(x).
Exprimer A (?) en fonction de ? ; donner la valeur exacte de A (?) et
déterminer la limite de A (1) quand ? tend vers + ?. (1,5 point)

Partie C

On pose [pic]et, pour tout entier naturel n non nul, [pic].

1. Calculer u0. Calculer u3 à l'aide d'une intégration par parties.
(Remarquer que[pic]). (1,5 point)
2. Montrer que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 1], [pic].
En intégrant cette double inégalité sur [0 ; 1], montrer que la suite (un)
converge et déterminer sa limite. (1 point)




Exercice : Équation différentielle

1. Résoudre l'équation différentielle (E) : y'' - 5y' + 4y = 0.
(1 point) (Hors programme à partir de la session de 1999.)

2. Déterminer la solution particulière f de (E) dont la courbe
représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal [pic] admet pour
tangente au point d'abscisse 0 la droite d'équation y = - 2x + 1. (1,5
point)

3. On pose u(x) = 2ex - e4x.
Résoudre dans R l'inéquation u(x) > 0. (1,5 point)

4. On considère la partie de la courbe d'équation y = u(x) pour - 1 < x <
0. En la faisant tourner autour de l'axe des abscisses, on délimite un
solide dont le volume est mesuré en unités de volume par l'intégrale :
[pic] Calculer la valeur exacte de V. (1 point)
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité

On considère dans un plan (P) un triangle équilatéral ABC de côté a (a est
un réel strictement positif).

1. Construire le barycentre D du système {(A ; 2), (B ; - 2), (C ; - 1)}.

2. a) Déterminer [pic]en fonction de a. (0,5 point)
b) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que le triangle
BCD est rectangle en B. (1 point)

3. Calculer les distances CD, BD et AD en fonction de a. (0,75 point)

4. Pour tout point M du plan, on pose f(M) = 2 MA2 - 2 MB2 - MC2 et on
désigne par (F) l'ensemble des points M du plan tels que f(M) = 0.
a) Vérifier que C appartient à (F). (0,25 point)
b) Exprimer f(M) en fonction de la distance MD et de a. (0,5 point)
c) Déterminer et construire (F). (0,75 point)

5. Pour tout point M du plan, on pose [pic]
a) Déterminer l'ensemble (G) des points M du plan tels que g(M) = a2.
(0,5 point)
b) Soit I le point d'intersection autre que C des ensembles (F) et (G).
Montrer que le triangle CDI est équilatéral. (0,75 point)



EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct [pic], on
considère les points Mn d'affixes [pic] où n est un entier naturel.

1. Exprimer zn + 1 en fonction de zn, puis zn en fonction de z0 et n. (0,25
+ 0,25 point)
Donner z0, z1, z2, z3 et z4 sous forme algébrique et sous forme
trigonométrique.
(1 point)

2. Placer les points M0, M1, M2, M3 et M4 (unité graphique : 4 cm).
(0,5 point)

3. Déterminer la distance OMn en fonction de n. (0,5 point)

4. a) Montrer que l'on a [pic] pour tout n entier naturel. (0,5 point)
b) On pose [pic] (c'est-à-dire [pic]).
Déterminer Ln en fonction de n, puis la limite de Ln quand n tend vers
[pic]. (1 point)

5. Déterminer une mesure de l'angle [pic] en fonction de n. (0,5 point)
Pour quelles valeurs de n les points O, M0 et Mn sont-ils alignés ?
(0,5 point)
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