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Equations différentielles d'ordre n à coefficients constants. D. Théorèmes généraux. 1. Problème de Cauchy, théorème de Cauchy-Lipschitz. 2. Démonstrations.



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Equations différentielles

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A. Généralités.

1. Equations différentielles d'ordre 1.
2. Systèmes différentiels d'ordre 1.
3. Equations et systèmes d'ordre n.
4. Problèmes.


B. Equations différentielles linéaires.

1. Equations scalaires d'ordre 1.
2. Théorème de Cauchy linéaire.
3. Systèmes différentiels d'ordre 1.
4. Equations différentielles linéaires d'ordre 2.


C. Equations et systèmes linéaires à coefficients constants.

1. Systèmes différentiels d'ordre 1 à coefficients constants.
2. Systèmes différentiels d'ordre 1 homogènes dans le plan.
3. Equations différentielles d'ordre n à coefficients constants.


D. Théorèmes généraux.

1. Problème de Cauchy, théorème de Cauchy-Lipschitz.
2. Démonstrations.
3. Premiers exemples.
4. Exemples d'études qualitatives.
5. Etude d'un système différentiel : le modèle prédateurs-proies.
6. Systèmes conservatifs ; le pendule simple.
7. L'équation différentielle y' = y2 - x. (§ inachevé)


E. Equations différentielles élémentaires.

1. Equations aux différentielles totales.
2. Equations à variables séparées.
3. Equations homogènes.
4. Equations incomplètes.
5. Equations de Bernoulli et de Riccati.
6. Equations de Lagrange et de Clairaut.


F. Applications géométriques des équations différentielles.

1. Equation différentielle d'une famille de courbes.
2. Trajectoires orthogonales et isogonales.

Pierre-Jean Hormière


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« Le physicien devra prendre scrupule qu'il
est le bras droit d'un souverain très temporaire,
obtus et probablement criminel. »

René Char, Le souhait et le constat


« Une science est dite utile si son
développement tend à accentuer les inégalités
dans la distribution des richesses, ou bien
favorise plus directement la destruction de la
vie humaine. »

Godfrey Harold Hardy (1915)


« Les mathématiques font partie de la
physique. La physique est une science
expérimentale, une des sciences naturelles. Les
mathéma-tiques, ce sont la partie de la physique
où les expériences ne coûtent pas cher. »

Vladimir I. Arnold


Introduction

Dans son récent Cours d'analyse paru chez Springer, Roger Godement ne
traite pas des équations différentielles. Il est vrai qu'il s'adresse aux
lecteurs « que les mathématiques intéressent en elles-mêmes ou comme
langage des sciences, et non en tant que moyen de parvenir ou que langage
de technologies contestables », et qu'il ne se conforme pas aux programmes
imposés par les com-missions ministérielles et les « administrateurs d'un
pensionnat militaire grand standing, l'Ecole polytechnique ». Humble
répétiteur de taupe, je n'ai pas la même liberté d'action que cet esprit
libre et iconoclaste, cet imprécateur au c?ur fidèle, mais c'est peu dire
que je l'approuve lorsqu'il rappelle que la science n'est pas
politiquement neutre, et surtout pas les équations différentielles. Quant
à l'Ecole polytechnique, elle ne coupera ses liens avec le complexe
militaro-industriel qu'après l'extinction du système solaire...

Bien difficile de commencer ce chapitre sans citer deux passages
célèbres de Laplace :
« L'État présent du système de la nature est évidemment une suite de
ce qu'il était au moment précédent, et, si nous concevons une intelligence
qui, pour un instant donné, embrasse tous les rapports des êtres de cet
Univers, elle pourra déterminer pour un temps quelconque pris dans le
passé ou dans l'avenir la position respective, les mouvements, et
généralement les affections de tous ces êtres. » [1]
« Nous devons donc envisager l'état présent de l'Univers comme
l'effet de son état antérieur, et comme cause de celui qui va suivre. Une
intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont
la nature est animée et la situation respective des êtres qui la
composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données
à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus
grands corps de l'Univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait
incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses
yeux.» [2]

Bref, il était admis au 18ème siècle que les équations différentielles
avec conditions initiales avaient des solutions uniques : elles avaient
pour origine des problèmes physiques. Or monothéistes et mécanistes
s'entendaient sur un point : le monde est un, et le cours des choses ne
saurait hésiter à tout instant entre deux voies. Les Bernoulli, Riccati,
Euler, Clairaut, d'Alembert, Lagrange ont multiplié les méthodes de
résolution. Il revint à Cauchy, au début du 19ème siècle, de s'attaquer à
la démonstration de l'existence et l'unicité des solutions, autrement dit
de transformer en une question mathématique ce qui était auparavant une
certitude philosophique, ouvrant la voie aux « théorèmes de Cauchy » :
Cauchy-Lipschitz, Cauchy-Arzelà, Cauchy-Kovalevskaïa...









A. Généralités


1. Equations différentielles d'ordre 1.


1.1. Définitions.

Soient E un espace de Banach réel, I un intervalle de R. Si y est une
fonction dérivable de I dans E, sa dérivée y' sera considérée comme une
fonction de I dans E (en somme, on identifie E et L(R, E)).
Soient V une partie de R(E(E, et F : (t, [pic], [pic])(V ( F(t, [pic],
[pic])(E une fonction données.
Résoudre l'équation différentielle F(t, [pic], [pic]) = 0
(1)
c'est trouver un intervalle non trivial I de R et une fonction dérivable
t(I ( [pic](t)(E vérifiant :
i) ((t(I) (t, [pic](t), [pic](t))(V ii)
((t(I) F(t, [pic](t), [pic](t)) = 0
Dans de nombreux cas, l'équation (1) se présente sous forme, dite
normale : [pic]= f(t, [pic]) (2)
f : (t, [pic])(U ( f(t, [pic])(E étant une fonction définie sur une partie
U de R(E.
Résoudre l'équation (2), c'est trouver une fonction dérivable t(I (
[pic](t)(E vérifiant :
i) ((t(I) (t, [pic](t))(U ii)
((t(I) [pic](t) = f(t, [pic](t))

Remarquons déjà que la plupart des théorèmes sur les équations
différentielles supposent l'équation sous forme normale. Sous les
hypothèses du théorème des fonctions implicites, la forme (1) se ramène
localement) à la forme (2).


1.2. Interprétation géométrique des équations scalaires d'ordre 1.

Supposons E = R ; U est une partie de R2, f : (x, y)(U ( f(x, y)(R.
Résoudre l'équation différentielle y' = f(x, y) c'est trouver une
fonction x ( y(x) définie sur un intervalle non trivial I inclus dans la
projection de U sur Ox, et dont les tangentes ont une pente bien définie
en chaque point où elles passent.
Associons à tout point M(x, y)(U le vecteur [pic]= (1, f(x, y)). On
définit un champ de vecteurs sur U, ou encore un champ d'éléments de
contact M ( (M, R.[pic]). Un élément de contact est un couple formé d'un
point M et d'une droite vectorielle. Les solutions de y' = f(x, y) sont
les courbes qui, en chaque point M où elle passent, sont tangentes à
l'élément de contact (M, R.[pic]).
Appelons isoclines de y' = f(x, y) les courbes de niveau Ik : f(x, y) =
k tracées dans U ; ce sont aussi les lignes de niveau du champ de vecteurs
[pic]. L'isocline I0 est le lieu des points à tangente horizontale des
courbes intégrales. Elle sépare les régions I+ = {(x, y) ; f(x, y) ( 0} et
I( = {(x, y) ; f(x, y) ( 0} où les fonctions y(x) sont croissantes, resp.
décroissantes.
Si l'on trace le réseau des isoclines de l'équation, ou du moins un
réseau suffisamment dense d'isoclines, et en chaque point de ces isoclines
un vecteur lié (M, [pic]), on voit apparaître une sorte de limaille de
fer, dessinant des tourbillons, des chevelures, qui donne une idée
qualitative de la forme des courbes intégrales, courbes que l'on peut
presque tracer à main levée.

Exercice : Résoudre graphiquement les équations
y' = x + y , y' ( y + cos x = 0 , y' = 1 + |y| , y' = |y ( x| ,
y' = x2 + y2 , y' = x2 + y2 ( 1.
[Indication : on pourra utiliser les commandes dfieldplot du package
plots, et DEplot du package DEtools de Maple.]




1.3. Courbes intégrales.

Reprenons les équations différentielles scalaires F(x, y, y') = 0 (1)
ou y' = f(x, y) (2).
Si x ( y(x) est une solution de l'une ou l'autre de ces équations, l'arc
paramétré x ( (x, y(x)) est appelé courbe intégrale de l'équation. Des
considérations pratiques conduisent à généraliser cette définition, et à
appeler courbe intégrale de (1) ou (2) tout arc paramétré t ( (x(t), y(t))
vérifiant respectivement :
((t) F(x(t), y(t), [pic]) = 0 ou [pic] =
f(x(t), y(t)).
Ces dernières sont incluses dans l'ensemble des solutions de [pic] =
f(x(t), y(t)).[pic].
Les courbes intégrales stricto sensu x ( (x, y(x)) sont les courbes
cartésiennes dont le graphe est incl
....