PROBLÈMS-CORRIGÉ

LE CERCLE - Applications et problèmes - CORRIGÉ


1. Pour chacun des exercices suivants, tracer un cercle à l'aide d'une
boîte de conserve ou de tout autre objet ayant une base circulaire. Pour
chacun de ces cercles, déterminer avec précision où se trouve le centre
du cercle en utilisant à chaque fois une propriété différente du cercle,
un rapporteur et une règle. Identifier la propriété impliquée, et montrer
tout le travail en traçant les droites et/ou les segments nécessaires.
Écrire toutes les étapes.


a. Cercle #1


















b. Cercle #2





c. Cercle #3


















d. Parmi les trois propriétés utilisées, laquelle permettrait de
déterminer le centre avec le plus de précision? Laquelle serait la moins
précise? Pourquoi?

o La méthode la moins précise est celle de la tangente parce qu'il est
difficile de tracer exactement une droite qui ne coupe le cercle qu'en
un seul point.
o La méthode la plus précise serait celle de la médiatrice puisqu'il
faut mesurer des segments et des angles.



2. Utiliser la propriété qui donne le plus de précision pour répondre à
la question suivante. Déterminer, au dixième près, la longueur du rayon
du cercle auquel appartient l'arc de cercle suivant. Écrire les étapes.

Tracer deux cordes. Tracer les médiatrices de ces cordes.
Le rayon est formé par :
o d'une part, le point d'intersection des deux médiatrices;
o d'autre part, le point d'intersection d'une médiatrice avec l'arc de
cercle.

Le rayon mesure 3,1 cm







3. Nicole fait partie de l'équipe de biathlon. Afin de s'entrainer au tir
à la carabine, elle doit effectuer cinq tirs sur une cible AB, tous selon
des endroits différents. Elle effectue son premier tir d'un point P où
elle a tracé un X. En traçant quatre autres X sur le diagramme suivant,
identifie avec précision quatre autres endroits, à partir desquels Nicole
tire sur la cible avec exactement la même facilité que lors de son
premier tir.























Pour que Nicole tire sur la cible avec exactement la même facilité que
lors du premier tir, il faut qu'elle ait le même angle de visée. Sachant
que des angles inscrits sous-tendus par le même arc (et donc la même
corde) sont congrus, il s'agit de faire en sorte que la cible soit la
corde d'un cercle et que X soit le sommet d'un angle inscrit.


Il reste à construire le cercle ayant comme corde la cible, et de placer
ensuite quatre points sur le cercle.


On peut utiliser les propriétés de la médiatrice (comme dans la
question1. cercle #1) pour déterminer le centre du cercle. Voici les
étapes :
1. Tracer la médiatrice de la corde (cible) AB.
2. Une deuxième corde est nécessaire; tracer le segment BP ou P
représente le lieu ou Nicole effectue son premier tir.
3. Tracer la médiatrice de la corde BP.
4. Le centre du cercle, O, est le point d'intersection des deux
médiatrices.
5. Tracer le cercle de centre O et de rayon OP. Le cercle devrait passer
par A et B.
6. Placer quatre points sur le cercle. Tracer les angles ayant comme
sommets ces quatre points.

Il est possible de vérifier que les angles sont identiques en les
mesurant avec un rapporteur.
4. L'assiette

Une assiette ronde de diamètre égal à 20 cm est déposée sur une
étagère comme le montre le diagramme ci-joint. Déterminer la distance, au
dixième près, entre le coin de l'étagère et le bord le plus proche de
l'assiette.

O est le centre de l'assiette.
AO et BO sont des rayons perpendiculaires.
Donc le triangle OBC est rectangle.

OC = OD = ½ 20 = 10
OC = BC
OB2 = BC2 + OC2 = [pic]
OB2 = [pic]= 200 ( OB = 14,14
BD = 14,14 - 10 = 4,1 cm

5. Papa, c'est loin l'horizon ?

Le fils de Gilles est sur une plage de l'océan pacifique, juste au bord
de l'eau. La mer est calme et ses yeux sont à 1,65 m du sol. Le rayon de
la Terre est environ 6 380 km.


a) A quelle distance se trouve l'horizon au dixième de kilomètre près?


AB = 6 380 000 m
AC = 6 380 000 + 1,65 = 6 380001,65
BC est tangent au cercle; on cherche la longueur de BC
AC2 = AB2 + BC2
6 380 001,652 = 6 380 0002 + BC2
BC2 = 6 380 001,652 - 6 380 0002 = 21 054 003
BC = [pic] = 4 588,5 m = 4,6 km


b) Les yeux de Gilles sont à 1,80 m du sol, à quelle distance se
trouve maintenant l'horizon à une place décimale près?

Même figure que précédemment, mais cette fois-ci DC = 1,80
Donc AC = 6 380 001,80 m
En utilisant la même formule, on trouve que BC2 = 6 380 001,802
- 6 380 0002
BC2 = 22 968 003
BC = [pic] = 4 792,5 m = 4,8 km

c) Le fils de Gilles monte au troisième étage d'un hôtel qui se
trouve juste au bord de l'eau. Si ses yeux se trouvent maintenant à
11,65 m du sol, à quelle distance se trouve l'horizon au dixième de
kilomètre près?

Même problème que précédemment avec AC = 6 380 011,65
On trouve que BC = 12,2 km

6. Le satellite

Un satellite est en orbite autour de la Terre. Son rayon d'action
couvre la Terre du point A au point B comme le montre la figure suivante.
Si la distance qui le sépare du point A est de 3 200 km et que le rayon
de la Terre est de 6 380 km. Déterminer, au kilomètre près, la hauteur du
satellite (distance entre le satellite et un point sur la Terre
directement situé en dessous).

On cherche la distance DS. On connait BS, AB et AD. En utilisant le
théorème de Pythagore (Tangente perpendiculaire au rayon), on a :
AS2 = BS2 + AB2
AS2 = 3 2002 + 6 3802 = 50 944 400
AS = 7 137,5 km
Donc la hauteur du satellite est 7 137,5 - 6 380 = 757,5 km


7. Histoires de tuyaux

a. Julie travaille dans une entreprise qui fabrique des gros tuyaux en
plastique. Quelle longueur minimale de corde, au dixième de mètre près,
est nécessaire pour attacher deux tuyaux ensemble tel que le montre la
figure, si chacun des billots a un diamètre de 1,6 m?

Rayon = ½ 1,6 = 0,8
HF= CE = AB = 2 fois le rayon = diamètre = 1,6
La longueur de la corde est égale à deux demi-circonférences plus HF
+ CE.
Deux demi-circonférences égalent une circonférence = [pic] = 5,0 m
Longueur = 5,0 + 1,6 + 1,6 = 8,2 m



b. Diane, une collègue de Julie, pense qu'il est préférable d'attacher
les tuyaux ensemble par groupe de trois comme le montre la figure. Les
tuyaux ont toujours un diamètre de 1,6 m. Déterminer la longueur minimale
de corde qu'il faudrait pour attacher les tuyaux.

Déterminer la longueur de 3 arcs de cercle de 120° équivaut à
calculer la circonférence d'un seul cercle.
C = [pic] = 5,0 m
Les 3 distances à déterminer correspondent à 3 diamètres
Longueur = 5,0 + 3(1,6) = 9,8 m


8. Un collecteur d'eaux usées a un diamètre de 42 po. Un jour de pluie,
l'eau monte dans le tuyau et s'écoule sur une largeur de 39,6 po. Quelles
sont, au dixième de pouce près, les deux hauteurs (h) possibles de l'eau
dans le collecteur?

Rayon = 21
En traçant la médiatrice de la corde on obtient un triangle rectangle.
½ corde = 19,8
Si « d » est la distance de la corde jusqu'au centre du cercle, alors en
utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :
212 = 19,82 + d 2 ( d 2 = 441 - 392,04
d = 7,0


L'eau dans le collecteur peut être soit plus basse que le centre soit
plus haute que le centre. La hauteur de l'eau dans le collecteur est :
o 21 - 7 = 14 po
o 21 + 7 = 28 po ou 42 - 14 = 28 po




9. Démontrer, en écrivant une explication pour chaque étape, que les
angles du triangle BEF ont les mêmes mesures que les angles du triangle
CDF.

Peut-on dire la même chose concernant les angles des triangles BCF et
EDF? Pourquoi?


1. [pic] angles inscrits égaux
2. [pic] angles inscrits égaux
3. [pic]= 180° - [pic] somme des angles d'un triangle
4. [pic]= 180° - [pic] somme des angles d'un triangle
5. [pic]= [pic] substitution

Conclusion
Les angles du triangle BEF ont les mêmes mesures que les angles du
triangle CDF


Pour les mêmes raisons que précédemment, les angles des triangles BCF et
EDF ont les mêmes mesures.










Question découverte à travailler avec les élèves

10. Soit deux cercles concentriques (cercles qui ont le même centre). Si
une corde du plus grand cercle est tangente au plus petit cercle et
mesure 10 cm, quelle est l'aire de la surface comprise entre les deux
cercles (valeur exacte)?
(Bien qu'il ne soit pas possible de déterminer les valeurs des rayons
du grand et du petit cercle, on peut toujours trouver la réponse)

1. Tracer une médiatrice à la corde.
2. La moitié de la corde mesure 5.
3. Étiqueter « r » le rayon du petit cercle et « R », le rayon du grand
cercle.
4. Tracer les rayons de telle manière qu'ils forment avec le point de
tangence du petit cercle un triangle rectangle.
5. Avec le théorème de Pythagore, on peut écrire : R2 = 52 + r2 ou encore
que 25 = R2 - r2
6. Multiplier chaque côté de l'équation par ? : 25? = ?(R2 - r2) ou
encore 25? = ?R2 - ?r2
7. ?R2 - ?r2 correspond à l'aire comprise entre les deux cercles, donc
25?.

















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????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????




































































































































































39,6 po

d

D

C

B

Propriété utilisée :
#4 - La tangente

Étapes :
1. Placer deux poin