TD M7 : Changement de référentiel - PCSI-PSI AUX ULIS

TD M7 : Changement de référentiel




But du chapitre

. Préciser les modifications des vecteurs vitesse et accélération qui
accompagnent un changement de référentiel.
. Etudier le mouvement d'un point matériel dans un référentiel non
galiléen.




Plan prévisionnel du chapitre

I / Position du problème
1°) Exemples
2°) Formalisation du problème
3°) Mouvement de translation et mouvement de rotation
4°) Notion de point coincidant
5°) Définitions
II/ Composition des vitesses
1°) Loi de composition des vitesses
2°) Cas ou R' est en translation par rapport à R
3°) Cas où R' est en rotation autour d'un axe fixe de R
4°) Cas général
III/ Composition des accélérations
1°) Loi de composition des acccélérations
2°) Cas ou R' est en translation par rapport à R
3°) Cas où R' est en rotation autour d'un axe fixe de R
4°) Cas général
IV/ Relativité galiléenne
1°) Infinité de référentiels galiléens
2°) Recherche d'un référentiel galiléen
3°) Principe de relativité de Galilée
V/ Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen
1°) Position du problème
2°) Relation fondamentale de la dynamique - Forces d'inertie
3°) Théorème du moment cinétique
4°) Puissance et énergie en référentiel non-galiléen
VI/ Caractère non galiléen d'un référentiel terrestre


Savoirs et savoir-faire

Ce qu'il faut savoir :
. Les différents types de mouvement d'un référentiel par rapport à un
autre.
. Le vecteur rotation.
. Donner et démontrer la formule de composition des vitesses.
. Définir le point coïncidant. Interpréter la vitesse d'entraînement.
Donner un exemple.
. Donner la formule de composition des accélérations. Expliciter
l'accélération d'entraînement pour un référentiel en rotation autour
d'un axe fixe (en utilisant les coordonnées polaires).
. Donner le PFD en référentiel non galiléen. Expliciter chacun de ses
termes.
. Donner le TEC en référentiel non galiléen. Démontrer que la puissance
de la force de Coriolis est nulle
. Classer les référentiels d'utilisation courante en fonction de leur
caractère galiléen approché ;
. Définir le champ de pesanteur terrestre. Comparer l'ordre de grandeur
des différents termes qui interviennent.
. Expliquer qualitativement la déviation vers l'est d'une bille en chute
libre


Ce qu'il faut savoir faire :
. Identifier le mouvement d'un référentiel par rapport à un autre.
. Calculer une vitesse ou une accélération en utilisant les lois de
composition.
. Déterminer si un référentiel est galiléen.
. Etudier un mouvement ou un équilibre dans un référentiel non galiléen.




Erreurs à éviter/ conseils :

. Ne pas confondre les différentes vitesses et accélérations dans les
formules. En particulier la vitesse entrant dans le calcul de
l'accélération de Coriolis est la vitesse du point considéré dans le
référentiel « mobile ».
. Attention aux erreurs dues à une analyse insuffisante des différents
mouvements : commencer par bien décrire le mouvement de R' par rapport
à R puis examiner les informations connues sur le mouvement étudié
dans R'.
. Le poids incluse la force d'inertie d'entrainement due au mouvement de
la Terre mais non celle due au mouvement d'un autre référentiel mobile
(véhicule...).
. En général, l'accélération d'entrainement n'est pas la dérivée par
rapport au temps de la vitesse d'entrainement.
. L'expression de l'accélération d'entrainement n'est que rarement utile
sous sa forme générale : il faut savoir que c'est l'accélération du
point coïncidant et il suffit de la connaître dans les deux cas
simples étudiés précédemment : le référentiel R' est en translation
par rapport au référentiel R ou en rotation autour d'un axe fixe de R.
En revanche, il faut connaître l'expression générale de l'accélération
de Coriolis.




Applications du cours

Application 1 : Simbad le marin
Le bateau de Sindbad le marin est amarré dans le port de Bassora et oscille
verticalement sur l'eau sous l'effet des vagues, mais sans roulis ni
tangage, c'est-à-dire que le pont reste toujours parallèle au plan
horizontal (Oxy). Chaque point du bateau a un mouvement sinusoïdal de la
forme z(t) = Zm cos(?t) + cte. Sindbad, assimilé à un point matériel S,
marche sur le pont du bateau, selon l'axe (Ox), à la vitesse constante v
par rapport au référentiel R' lié au bateau. On note R le référentiel
terrestre.
1. Quelle est la nature du mouvement de R' par rapport à R ?
2. Déterminer la vitesse et l'accélération de Sindbad dans le référentiel
R.
3. En déduire sa trajectoire dans R.
Application 2 : Force d'inertie de Coriolis
1°) Une paire de gant de boxe est accroché au point 0' d'un rétroviseur. La
voiture possède une accélération constante [pic] par rapport à un point
fixe 0 de la route.
[pic]
Calculer la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel lié à la
voiture.
2°) Un train à grande vitesse (v = 240 km/h) de masse 380 t circule dans la
direction nord-sud en un lieu de latitude ? = 48°.





Expliciter la force d'inertie de Coriolis dans la base locale (O, [pic]lié
à la tour Eiffel.

Application 3 : Bilan des forces et des forces d'inertie dans un
référentiel non galiléen
Un pendule de masse m et de longueur t est accroché au point 0' d'un
rétroviseur. M Olanzo rentre dans sa voiture et accélère. Le point O'
possède alors une accélération constante [pic] par rapport à un point O
fixe sur la route.
[pic]
Faire la liste des forces et des forces d'inertie qui s'exercent sur la
masse m dans le référentiel R' lié à la voiture. Exprimer chacune de ces
forces dans la base ([pic].

Application 4 : Bilan des forces et des forces d'inertie dans un
référentiel non galiléen
Mme Irma tient un pendule constitué d'une bille de masse m accrochée à un
fil de longueur l. On notera g l'accélération de la pesanteur.






Faire la liste des forces et des forces d'inertie qui s'exercent sur le
point M dans le référentiel tournant R' lié à bille. Exprimer chacune de
ces forces dans la base ([pic].

Application 5 : Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel
non galiléen
Un pendule de masse m et de longueur t est accroché au point 0' d'un
rétroviseur. M.Olanzo rentre dans sa voiture et accélère. Le point O'
possède alors une accélération constante [pic] par rapport à un point O
fixe sur la route.
[pic]
Déterminer la position d'équilibre ?eq du pendule.

Application 6 : Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel
non galiléen
Mme Irma tient un pendule constitué d'une bille de masse m accrochée à un
fil de longueur l. On notera g l'accélération de la pesanteur.






Déterminer l'angle ? que fait le fil avec la verticale en fonction de la
vitesse angulaire de rotation de la bille [pic], supposée constante.

Application 7 : Toto en impesanteur
Le petit Toto se trouve dans un ascenseur de masse M, avec une balle de
masse m dans la main. Soudain les câbles de l'ascenseur se rompent et il
tombe alors en chute libre (par rapport au référentiel terrestre supposé
galiléen). Effrayé, Toto lâche alors la balle.
1°) On suppose tout d'abord que cette chute libre de l'ascenseur a lieu
sans frottements. Quelle
est son accélération ? Quel est alors le mouvement de la balle dans le
référentiel de l'ascenseur ?
2°) En réalité il y a forcément des frottements entre l'ascenseur et
l'extérieur. Comment se modifient alors les résultats précédents ?

Exercices

Exercice 1 : Mouvement d'un caillou sur un pneu
Madame Michu roule en voiture sur une route rectiligne, selon l'axe (Ox) et
vers les x croissants, à une vitesse v constante. On note R le référentiel
terrestre lié au repère Oxyz.
À un instant t = 0, elle roule sur un caillou M qui se trouvait au point O,
et ce caillou se coince alors dans le pneu de l'une des roues, de centre C
et de rayon extérieur a. On cherche à déterminer la trajectoire de M par
rapport à R. Pour cela, on introduit un second référentiel R' lié à la
voiture, donc au repère Cxyz.
[pic]
1°) La roue roulant sans glisser sur la route, de quelle distance dx avance
la voiture sur le sol
lorsque la roue tourne d'un angle d? ? En déduire la relation entre v et
[pic].
2°) Déterminer l'angle ?(t) entre la verticale descendante et [CM], en
prenant ?(0) = 0.
3°) Quel est le mouvement de R' par rapport à R ? Quel est le mouvement de
M dans R' ?
4°) Déterminer, avec les lois de composition, les vecteurs vitesse et
accélération de M dans R en
fonction du temps. On pourra utiliser comme intermédiaire la base
orthonormée [pic] telle que [pic].
5°) Déterminer les équations paramétriques x(t) et z(t) de la trajectoire
de M dans R. Représenter
cette trajectoire sur un schéma (cette courbe s'appelle une cycloïde).
6°) Après quelques tours de roue, le caillou se détache soudainement de la
roue : part-il vers
l'avant ou vers l'arrière (par rapport au sol) ?

Exercice 2 : Composition de deux mouvements circulaires
Un point A se déplace sur un cercle Cde rayon r, de centre 0 ; C est
vertical et tourne autour d'un de ses diamètres (Oz) à la vitesse angulaire
constante ?. Soit :
[pic]
? l'angle entre un plan vertical fixe (xOz) et le plan du cercle ;
R le référentiel fixe (0;x,y,z),
R' le référentiel (0 ; x', y', z') lié au cercle.
Tous les vecteurs seront exprimés dans la base [pic] liée au référentiel
tournant R', sauf indication contraire.


[pic]

1°) Exprimer le vecteur position [pic]. En déduire par le calcul direct les
vecteurs