Classe - Collège Melkart

Collège MELKART
Louaïzé
Été 2012 Mathématiques 2nde
Vers la Première S
Il est vivement conseillé aux élèves des classes de 2nde de profiter de
leurs temps pendant les vacances, pour renforcer leurs acquisitions et
consolider leurs compétences. Les exercices qui suivent constituent une révision globale du programme de
mathématiques et préparent bien les élèves à entamer dans de bonnes
conditions la classe de Première S, qui est reconnue pour être la base de
la formation scientifique. Ils sont divisés en cinq parties : travaux
numériques et algébriques ; fonctions ; statistiques et probabilités ;
géométrie analytique dans le plan ; géométrie vectorielle et dans l'espace. Il est souhaitable que ces cinq parties soient travaillées en parallèle ! Bonnes vacances à tous !
Première Partie : TRAVAUX NUMERIQUES ET ALGEBRIQUES
1. Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
a) Pour tout couple de réels non nuls, l'inverse d'un produit est le
produit des inverses.
b) Pour tout couple de réels, le double d'un produit est le produit
des doubles.
c) Pour tout couple de réels, le carré d'un produit est le produit des
carrés.
d) Pour tout couple de réels, le carré d'une somme est la somme des
carrés.
2. Simplifier : ( A = [pic] ( B = [pic]
( C = [pic] ; ( D = [pic] ; ( E = [pic] 3. Soit x = [pic] et y = [pic]. Simplifier x et y.
Calculer[pic]. Classer ces nombres dans l'ordre croissant. 4. Comparer deux nombres revient à étudier le signe de leur différence.
a) Comparer [pic]R*+. En déduire la comparaison, sans calcul, de
[pic] .
b) Comparer x + 1 et 3 - x -1 pour x>0.
c) Comparer [pic] pour x > 0 et y > 0.
d) Deux réels a et b sont tels que a 0 14. a) On pose A(x) = x² - 8x. Factoriser A(x). Résoudre dans R : (
A(x) = 0 ; ( A(x) > 0 ; ( A(x) < 0 .
b) Quel est l'ensemble des réels x pour lesquels les réels suivants
existent :
[pic]
c) Pour x [pic] R - {0 ; 8} , simplifier :[pic]
15. a) Comment choisir la mesure du côté d'un carré si, en l'augmentant
de 5, on obtient un autre carré dont l'aire
vaut quatre fois celle du carré initial ?
b) ABCD est un carré de côté x ; on augmente AB de 8 et AD de 5; on
obtient un rectangle dont l'aire surpasse celle du carré initial de
183. Calculer x.
c) ABCD est un carré de côté x ; MNPQ est un trapèze de bases 5 et 11, et
de hauteur x. Comment choisir x (strictement positif) pour que:
aire(ABCD) = aire(MNPQ)?
16. Un nombre palindrome est un nombre entier naturel que l'on peut lire
indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. Par
exemple, le nombre 22. Existe-t-il des nombres palindromes premiers à
deux chiffres ? 17. a) Sachant qu'un entier impair s'écrit de la forme 2n+1, avec n(N, ou
de la forme 2n-1, avec n(N*, exprimer en fonction de n, trois entiers
impairs consécutifs.
b) Montrer que la somme de trois entiers impairs consécutifs n'est pas
un nombre premier. 18. On donne S = [pic].
Calculer : [pic]. En déduire la valeur de S.
19. a) Calculer pour tout naturel n supérieur ou égal à 2 : A = [pic].
b) Calculer : B = [pic], puis Xn = [pic]. 20. Valérie et Maria doivent parcourir chacune 30 km. Valérie met 3 heures
de plus que Maria. Si Valérie double sa vitesse, elle mettra 2
heures de moins que Maria. Déterminer la vitesse de Valérie. 21. a) Quatre réels x, y, z et t sont tels que x < y < z < t ; de plus y
surpasse x de 1 ; z est la somme des deux réels
qui le précèdent ; t de même. Exprimer y, z et t en fonction
de x.
- Déterminer ces quatre réels lorsque leur somme est égale à
165.
- Déterminer ces quatre réels lorsque la somme des deux premiers
est égale au produit des deux autres. b) On dispose d'une somme de 205 F, constituée de x pièces de 10 F, y
pièces de 5 F et z pièces de 2 F.
Il y a en tout 85 pièces. Démontrer que 8x + 3y = 35. Quelle est
la valeur maximale de x ? Convient-elle ?
Déterminer le nombre de pièces de chaque catégorie. 22. Dans un musée on enregistre, dans une journée à tarif normal, une
recette de 865 E pour 140 entrées adultes et 55 entrées enfants. Le
lendemain, journée à tarif réduit, les prix d'entrée baissent de 25% pour
les adultes et de 50% pour les enfants. On enregistre alors une recette
de 705 E pour 180 entrées adultes et 20 entrées enfants. Quels sont les
prix d'entrée à tarif normal pour les adultes et pour les enfants ? 23. Tutti - Frutti : Dix citrons coûtent autant que huit oranges, seize
oranges autant que douze pamplemousses, quatre pamplemousses autant qu'un
melon et six melons autant que quarante-huit bananes.
Pour le prix de cinq citrons, combien aurait-on de bananes ? 24. Dialogue au XIXe siècle :
" Non, Monsieur, ma fille est trop jeune pour vous, vous avez trois
fois son âge.
- Mais, si au lieu du triple, j'avais le double seulement ?
- Alors j'accepterais.
- Eh bien, j'attendrai. "
Le monsieur en question mourut à 63 ans, juste un an avant d'épouser
cette personne.
Quel âge avait donc la fille au moment du dialogue ?
Deuxième Partie : FONCTIONS 1. Soit f la fonction définie par sa courbe représentative ci-dessous.
|Donner le domaine de définition de f.| |
| |[pic] |
|Donner les images par la fonction f | |
|des réels -1 ; 0 et 5. | |
|Donner les antécédents de 2 par la | |
|fonction f. | |
|Dresser le tableau de variation de f.| |
| | |
|Encadrer au mieux f(x), lorsque - 1 ?| |
|x ? 7 | |
|Résoudre graphiquement : | |
|f(x) = 0 ; | |
|f(x) < 0 ; | |
|f(x) ? 3 ; | |
|0 ? f(x) ? 2. | |
2. Soit f et g les fonctions définies par [pic] et [pic].
On note Cf et Cg leurs courbes représentatives respectives.
a) Déterminer les images par f et g des nombres suivants : - 1 ; [pic] ;
5 et [pic].
b) Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou
fausse :
. La courbe Cf passe par le point (- 2 ; - 7) ;
. L'image de 0 par g est 1 ;
. [pic] est un antécédent de 0 par f.
. Les courbes Cf et Cg se coupent aux points d'abscisses 0 et 3. 3. Dans chacun des cas suivants, il est demandé de donner l'expression de
f(x), d'en déduire les variations de f puis de tracer sa représentation
graphique :
a) f est linéaire et f(- 3) = - 4.
b) f est affine, f(0) = 6 et f(5) = 1.
c) f est linéaire et sa représentation graphique passe par le point E(- 3
; 5).
d) La courbe représentant f est la droite (HK) avec H(1; 8) et K(- 1; -
2).
e) f est affine et sa courbe représentative coupe l'axe d