1. series - Thierry Karsenti

RASOANAIVO René Yves, Ph.D. RASOANAIVO René Yves, Ph. D. I . INTRODUCTION
1. TITRE : 2. PRE REQUIS 3. TEMPS 4. MATERIELS DIDACTIQUES Micro ordinateur avec connexion Internet, Microsoft office, Matériels
multimédia
Pour les activités 2. , 3. et 4. Logiciels : Microsoft Excel 2000 ; Maxima 5 . JUSTIFICATION Les mathématiques sont considérées comme des outils pour les sciences
physiques. Ce module Physique Mathématique 1 contient des éléments
mathématiques utilisés dans l'enseignement de la physique. Ces éléments
permettent à un(e) apprenant(e), non seulement, de mieux appréhender les
concepts de la physique, de leur donner un sens mais aussi de mettre en
relation des grandeurs physiques entre elles.
Beaucoup de domaines de la physique tels que la Mécanique, la physique
quantique l'optique, la thermodynamique utilisent les éléments
mathématiques comme : la dérivation, l'intégration, la résolution d'un
système d'équations linéaires, le calcul différentiel, les méthodes
numériques....développés dans ce module. Une bonne maitrise de ces outils
mathématiques est nécessaire pour une meilleure explication de certaines
lois de la physique.
II . CONTENU 6 . RESUME Le module traite des éléments mathématiques indispensables à la
compréhension des cours de physique, à savoir l'étude des fonctions
réelles, la dérivation et l'intégration d'une fonction à une et à plusieurs
variables réelles, le développement d'une fonction, quelques éléments de
calculs numériques et, finalement, la résolution d'un système d'équations
linéaires.
Des activités d'apprentissage de niveaux de difficultés différents y
sont développées, avec des évaluations formatives. Par ailleurs, des
ouvrages en lignes ou des liens utiles permettront aux apprenant(e)s
d'étudier en détails certains points. Finalement, les apprenant(e)s auront
aussi l'occasion d'utiliser des logiciels tels que le « Microsoft Excel
2000 » et « Maxima » .
Les grandes lignes sont :
. Analyse : Limite et continuité d'une fonction, dérivée, détermination
des extrema ; Intégration (Riemann, Impropre, Indéfinie)
. Séries : Série infinie, tests de convergence, développements de Taylor
et de MacLaurin
. Calcul Différentiel : Dérivée partielle, dérivée d'une fonction
implicite, différentiel total et exact
. Intégration : Intégration sur un contour ouvert et fermé, Intégral
multiple.
. Méthodes Numériques : La fonction gamma, évaluation numérique d'une
somme finie et infinie, évaluation numérique d'une intégrale : règle
de trapèze et règle de Simpson
. Algèbre linéaire : Calculs matriciels, déterminant, résolution d'un
système d'équations linéaires
Représentation graphique :
7. Objectifs généraux Au terme du module l'apprenant(e) doit être capable de : . comprendre. les notions de dérivée partielle
. comprendre les notions de dérivée totale
. comprendre le calcul des intégrales simples
. comprendre le calcul des intégrales doubles ou triples
. comprendre les calculs numériques sur des sommes finies
. comprendre les calculs numériques sur des sommes infinies
. connaître les opérations matricielles
. Chercher les solutions un système d'équations linéaires 8. Objectifs spécifiques |Activités |Objectifs spécifiques |
|d'apprentissage | |
| |Rappeler les conditions de dérivabilité et de |
| |continuité d'une fonction |
|1. Eléments d' Analyse|Calculer l'intégrale d'une fonction à une variable |
|et Séries |réelle |
| |Rappeler le développement en séries d'une fonction |
| |au voisinage d'un point |
| |Rappeler le différentiel total d'une fonction à deux|
| |variables réelles |
|2. Différentiation et |Calculer la dérivée partielle d'une fonction à deux |
|Intégration |variables réelles |
| |Calculer la valeur d'une intégrale curviligne le |
| |long d'une courbe fermée et non fermée |
| |Calculer la valeur d'une intégrale double sur une |
| |région bien déterminée |
| |Rappeler les principes fondamentaux des calculs |
| |numériques |
|3. Méthodes Numériques|Calculer numériquement une somme finie |
| |Calculer numériquement une somme infinie |
| |Calculer numériquement la valeur d'une intégrale |
| |définie |
| |Rappeler les opérations matricielles |
|4. Algèbre linéaire |Calculer le déterminant d'une matrice carrée |
| |Déterminer l'inverse d'une matrice carrée |
| |Déterminer les solutions d'un système d'équations |
| |linéaires et non homogènes | [pic]
III. ACTIVITES D'ENSEIGNEMENT ET D'APPRENTISSAGE 9. Evaluation prédictive : Eléments d'analyse
Justification :
Cette activité permet à un(e) apprenant(e) de se jauger par rapport au
niveau requis pour entamer le module et, donc, d'identifier les éléments
mathématiques qu'il ou elle doit revoir. Les dix sept questions formulées
ci-après touchent essentiellement trois domaines d'analyse, à savoir la
dérivée, la primitive, la continuité, la limite et, finalement, les extrema
d'une fonction à une variable réelle. Elles sont conçues pour évaluer les
prérequis des apprenant(e)s.
En outre, ces prérequis constituent des outils indispensables pour qu'un
enseignant(e) puisse aider les apprenants à s'impliquer totalement dans
les activités d'apprentissage élaborées dans ce module. D'où,
l'enseignant(e) gagnera du temps et l'apprenant(e) sera ainsi motivé(e). Questions : 1. La dérivée de la fonction f(x) = 3x2 - 2x + 1 s'écrit : a. ? 3x - 2 ; b. ? 6x - 2 ; a. ? 3x + 2 2. La dérivée de la fonction f (x) = 1/ (x + 1) s'écrit : a. ? 1/ ( x + 1)2 ; b. ? - 1/ ( x + 1)2 ; c. ? x /
( x + 1)2 3. La dérivée de la fonction f(x) = 1/ ( x2 - 2x + 1 ) s'écrit : a. ? 2 / ( x - 1)2 ; b. ? -2 x / ( x - 1)3 ; c. ? 2/
( x - 1)5 4. La dérivée de la fonction f(x) = tan ( x ) s'écrit f ' ( x ) = 1 + tan2
( x ) a. ? Vrai ; b. ? Faux 5. La primitive de la fonction f(x) = 3x3 + 2x2 - x + 1 s'écrit : a. ? 9 x 4 + 6 x3 - 2 x 2 + x + c ; b. ? (3/4) x 4 + (2/3) x3
- (1/2) x 2 + x + c 6. La primitive de la fonction f ( x ) = 1/ x s'écrit : a. ? - 1/ x 2 + c ; b. ? ln ( x ) + c ; c. ? ln
(x + c) 7. La primitive de la fonction ln ( x) s'écrit F ( x ) = x ln (x) - x + c a. ? Vrai ; b. ? Faux 8. La primitive f(x) = 3 cos( 2 x ) s'écrit F (x) = 3 sin ( 2 x ) + c a. ? Vrai ; b. ? Faux
9. La limite de la fonction f (x ) = 2 x 3 - 3x + 1 quand x tend vers 1 est
égale à : a. ? 1 ; b. ? 0 ; c. ? - 1 10. La limite de la fonction f (x ) = cos (x)/ x quand x tend vers zéro est
égale à a. ? 0 ; b. ? 1 ; c. ? ? 11. La limite de la fonction f (x ) = sin (x)/ x quand x tend vers zéro est
égale à a. ? 0 ; b. ? 1 ; c. ? ? 12. La limite de la f (x ) = ex / x quand x tend vers zéro est égale : a. ? 0 ; b. ? 1 ; c. ? ? 13. La limite de la fonction f (x ) = tan ( x ) quand x tend vers (?/2) + 0
est égale à + ? a. ? Vrai ; b. ? Faux 14. La fonction f ( x ) = 2 x2 + 1 admet un maximum au point x = 0 a. ? Vrai ; b. ? Faux 15. La fonction f ( x ) = x3 + x admet elle des maxima et des minima ? a. ? Oui ; b. ? Non 16. Combien de minima la fonction f ( x ) = sin (x) admet-elle dans
l'intervalle
[ 0, 3 ? ] ? a. ? 1 ; b. ? 2 ; c. ? 3
Réponses Clés :
La dérivée de la fonction f(x) = 3x2 - 2x + 1
La dérivée de f (x) = xn s'écrit [pic] Si on applique cette formule on doit obtenir : f '( x ) = 6x - 2
La bonne réponse est b. Si vous avez coché les cases a. et c, vous avez certainement oublié la
formule de la dérivée
1. La dérivée de la fonction f ( x ) = 1/ (x + 1) :
La formule à utiliser est :
Si f(x) = [pic] , alors [pic]
En particulier, si u = 1 et v = x+1 , alors [pic]
La réponse exacte est donc b.
3. La dérivée de la fonction f(x) = 1/ ( x2 - 2x + 1 ) : Notons que la fonction peut aussi s'écrire : [pic]
Donc sa dérivée est : [pic]
La réponse correcte est b.
Si vous avez raté cette question, vous devrez vous exercer sur les
dérivées 4. La dérivée de la fonction f(x) = tan(x) : On applique toujours la formule donnée dans la question 2. Le résultat
exact est [pic]
La réponse correcte est b. 5. La primitive de la fonction f(x) = 3x3 + 2x2 -