Activité : les lois de Kepler.

Terminale S Chapitre 11 |Activité : les lois de Kepler. | | I. Un peu d'histoire ... [pic]
En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du
mouvement des planètes autour du Soleil, sans les expliquer. Elles ont été
découvertes par Johannes Kepler à partir des observations et mesures de la
position des planètes faites par Tycho Brahé, mesures qui étaient très
précises pour l'époque.
Copernic avait soutenu en 1543 que les planètes tournaient autour du
Soleil, mais il les laissait sur les trajectoires circulaires du vieux
système de Ptolémée hérité de l'antiquité grecque.
Les deux premières lois de Kepler furent publiées en 1609 et la troisième
en 1618. Les orbites elliptiques, telles qu'énoncées dans ses deux
premières lois, permettent d'expliquer la complexité du mouvement apparent
des planètes dans le ciel sans recourir aux épicycliques du modèle
ptoléméen.
II. Les lois de Kepler.
1. Première Loi = Loi des orbites Les planètes décrivent autour du Soleil des orbites en forme d'ellipses. Le
soleil ne se trouve pas au centre de l'ellipse, mais sur un point appelé
foyer. C'est quoi une ellipse ?
[pic]
Paramètres :
O : centre
F et F' : foyers tel que OF = OF' = c avec c : distance du centre au foyer
a : longueur du demi grand axe
b : longueur du demi petit axe
AC : grand axe AC = 2.a BD : petit axe
e : excentricité e = c/a
Pour tout point M de l'ellipse MF+MF'=2a
Pour une ellipse l'excentricité est comprise entre 0 et 1 ; si e est petit,
on a presque un cercle.
Exercice 1:
Calculer l'excentricité de la Terre sachant que la distance Terre-Soleil
varie entre 142,1 et 152,1 millions de kilomètres.
Peut-on assimiler le mouvement de la Terre à un cercle ? [pic] 2. Seconde Loi = Loi des aires Si S est le Soleil et M une position quelconque d'une planète, l'aire
balayée par le segment [SM] entre deux positions C et D est égale à l'aire
balayée par ce segment entre deux positions E et F si la durée qui sépare
les positions C et D est égale à la durée qui sépare les positions E et F. La vitesse d'une planète devient donc plus grande lorsque la planète se
rapproche du soleil. Elle est maximale au voisinage du rayon le plus court
(périhélie), et minimale au voisinage du rayon le plus grand (aphélie).
3. Troisième Loi = Loi des périodes Soient T la période sidérale d'un objet (temps entre deux passages
successifs devant une étoile lointaine) et a le demi-grand axe de la
trajectoire de la planète : [pic]avec k constant. De cette troisième loi, on déduit qu'il existe un facteur constant entre la
force exercée et la masse de la planète considérée, qui est la constante de
gravitation universelle, ou constante gravitationnelle. Exercice 2
Voici un tableau que Kepler aurait pu faire pour consigner les résultats
des observations de Tycho Brahé et de ses calculs.
Pour les planètes du système solaire :
|planète |a : demi |T période |T période de|T2/a3 |T2/a3 |
| |grand axe |de |révolution |en |en s2.m-3 |
| |en 103 km |révolution |en 106 s |jour2.km-3 | |
| | |en jour | | | |
|Mercure |57910 |87,97 |7,57984708 |3,98482.10-|2,95842.10-|
| | | | |11 |19 |
|Vénus |108200 |224,7 |19,3610508 |3,98588.10-|2,95921.10-|
| | | | |11 |19 |
|Terre |149600 |365,26 |31,47226264 |3,98483.10-|2,95843.10-|
| | | | |11 |19 |
|Mars |227940 |686,98 |59,19294472 |3,98498.10-|2,95855.10-|
| | | | |11 |19 |
|Jupiter |778330 |4332,71 |373,3236244 |3,98133.10-|2,95583.10-|
| | | | |11 |19 | Pour les satellites de Jupiter observés par Galilée :
|satellit|a : demi |T période |T période de|T2/a3 |T2/a3 |
|e |grand axe |de |révolution |en |en s2.m-3 |
| |en 103 km |révolution |en 106 s |jour2.km-3 | |
| | |en jour | | | |
|Io |422 |1,77 |0,15251028 |4,16878.10-|3,095.10-16|
| | | | |8 | |
|Europe |671 |3,55 |0,3058822 |4,17147.10-|3,097.10-16|
| | | | |8 | |
|Ganymède|1070 |7,15 |0,6160726 |4,17312.10-|3,09822.10-|
| | | | |8 |16 |
|Callisto|1883 |16,69 |1,43807716 |4,17217.10-|3,09751.10-|
| | | | |8 |16 |
1. De quoi dépend le rapport T²/a3 ?
2. Montrer que la valeur du rapport est égale à 4.[pic]/ (G.m) où G est
la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
et la masse de l'astre attracteur.
pour le Soleil :MS = 2,00.1030 kg
pour Jupiter :MJ = 1,91.1027 kg Les lois de Kepler s'appliquent aussi bien aux satellites naturels qu'aux
satellites artificiels d'un astre. Pour quelques satellites de la Terre :
|satellite |a : demi grand|T période de |T période de|T2/a3 |
| |axe |révolution |révolution |en s2.m-3 |
| |en 103 km | |en s | |
|Lune |384 |27,32 jours |2,35.106 |9,78632.10-|
| | | | |14 |
|Hipparcos |24,546 |10h37min 57s |38277 |9,9068.10-1|
| | | | |4 |
|NOAA 15 |7,19 |1h41min09s |6069 |9,90941.10-|
| | | | |14 |
|GPS BII-01 |26,5625 |11h58min08s |43088 |9,90617.10-|
| | | | |14 |
|Globalstar |7,79 |1h54min4s |6844 |9,90849.10-|
|MO48 | | | |14 |
3. En utilisant la constante trouvée pour les satellites artificiels
(quatre dernières lignes du tableau), déterminer la masse de la Terre.