fonction de demande - Free

G E A 1 Année 2008-2009
Première Année Michelle LAUTON
Eléments de Correction du Problème n°2
Exercice 1 Une ou un de vos camarades a été absent.e en cours. Vous voulez
lui expliquer comment faire un exercice (voir ci-dessous l'énoncé). Pouvez-
vous lui donner dans une lettre les définitions nécessaires et expliquer
comment résoudre le problème ? La résolution elle-même n'est pas demandée.
« Le prix de vente unitaire d'un certain objet s'exprime par l'expression :
P = 350 - m Q, avec m paramètre réel
On suppose que le coût de production et de commercialisation s'écrit :
C = - Q2 + 250 Q + 1100
i) A quelle(s) condition(s) la fonction C est-elle une fonction de coût
total ?
ii) Si le Bénéfice s'écrit : B = P Q - C, peut-il être un bénéfice au sens
usuel du terme ? « Le Plan de la lettre pourrait être :
- introduction expliquant que vous allez lui donner les définitions
nécessaires au fur et à mesure et la méthode pour résoudre chaque question
- question a) : rappeler qu'une fonction de coût total est positive et
croissante et qu'une quantité est toujours positive.
Puisque C s'exprime sous forme d'un trinôme en Q, l'étude de la positivité
de C se fait par application du théorème sur le signe du trinôme. Il faudra
donc chercher si le trinôme a des racines et pour cela calculer le
discriminant
L'étude de la croissance de C se fait à l'aide de la dérivée.
On en déduit donc un intervalle sur lequel C est bien une fonction de coût
- question b) : donner l'expression du Bénéfice
B = PQ - (- Q2 + 250 Q + 1100) = (350 - m Q) Q - (- Q2 + 250 Q + 1100)
B = (1 - m) Q2 + 100 Q - 1 100
Dire que B est un bénéfice au sens usuel du terme signifie que B doit être
positif.
Puisque B s'exprime sous forme d'un trinôme en Q, de paramètre P, l'étude
de la positivité de C se fait par application du théorème sur le signe du
trinôme. Il faudra donc chercher si le trinôme en Q a des racines et pour
cela calculer le discriminant qui comportera le paramètre P et discuter le
signe de ce discriminant selon les valeurs de P.
( = (100)2 - 4 (1 - m) (-1 100)
= - 4 400 m + 14 400 = 400 (-11 m + 36).
Il va falloir discuter le signe de ? et le nombre de racines selon les
valeurs de m .
Pour certaines valeurs de m, B sera positif pour toute valeur de Q comprise
entre certaines valeurs Q 1 et Q2, avec Q1 et Q2 désignant des quantités
donc positifs. Exercice 2 Soit g la fonction définie par g(x) = ex (x -1) + x2 .
i. Quel est le domaine de définition de g ?
En tant que fonction mathématique, cette fonction est définie sur IR.
ii. Calculer g'(x) ?
g'(x) = ex (x -1) + ex + 2 x = ex x + 2 x = x (ex + 2).
iii. Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles g(x) ( 1 ?
On peut étudier la fonction g.
g' s'annule pour x = 0, est positif pour x> 0 et négatif pour x < 0.
Donc g décroît jusqu'à x = 0, puis croît. Le minimum vaut g(0) = -1.
|x |-? | |0 | |
| | | | |? |
|g' | |- |0 |+ |
|g |+? | | | |
| | | | |+ ? |
| | | |-1 | | D'après le tableau, il existe une valeur de x négative telle que g(x) = 1
et une valeur de x positive telle que g(x) = 1.
Remarquons que g(1) = 1. Comme g est croissante pour x > 0, on aura g(x) ?
1 pour x ? 1.
g(-1) = e-1 (-1 -1) + 1 = 1 - 2 e-1 ? 0,26 < 1
g(-2) = e-2 (-2 -1) + 22 = 4 - 3 e-2 ? 3,59 > 1
Il existe donc une valeur x0 comprise entre -1 et -2 telle que g(x0) = 1.
Comme g est décroissante pour x < 0, g(x) ? 1 pour x ? x0. Exercice 3 Les fonctions définies ci-dessous représentent respectivement
des fonctions de demande pour f et d'offre pour g Q = f (P) = 4 ln (6 / P)
Q = g (P) = 4 ln (P - 1), P désigne le Prix en euros et Q la quantité en milliers d'unités.
i) A quelle(s) condition(s) les fonctions f et g représentent-elles
simultanément des fonctions d'offre et de demande ?
P et Q désignant des prix ou des quantités doivent être positifs.
Une fonction d'offre doit être positive et une fonction de demande
doit être décroissante et positive. Q = f (P) = 4 ln (6 / P) est définie pour 6/P > 0, donc pour P > 0.
4 ln (6 / P) > 0 si ln (6 / P) > 0
La fonction exponentielle étant croissante, les fonctions
exponentielle et logarithme étant réciproques l'une de l'autre, on
peut écrire
exp[ln(6/P)] > exp(0)
soit 6/P > 1
et P < 6.
Pour étudier la croissance de cette fonction, nous allons calculer
sa dérivée.
[pic]
Cette dérivée est négative pour P > 0.
La fonction définie par Q = f(P) est donc une fonction de demande
sur 0 < P < 6 Q = g (P) = 4 ln (P - 1)
Le logarithme n'est défini que pour des valeurs positives de la
variable ; il faut donc P - 1 > 0, soit P > 1.
Par ailleurs, 4 ln (P - 1) > 0, soit ln (P - 1) > 0.
Avec le même raisonnement que précédemment, il vient :
exp[ln (P - 1)] > exp(0)
P - 1 > 1 soit P > 2.
Les fonctions f et g représentent respectivement une fonction de
demande et une fonction d'offre sur ]2, 6[.
ii) Déterminer le prix d'équilibre, s'il existe.
Le prix d'équilibre, s'il existe, vérifie :
4 ln (6 / P) = 4 ln (P - 1)
Soit ln (6 / P) = ln (P - 1)
Ce qui, avec les mêmes raisonnements que précédemment, signifie :
exp[ ln (6 / P)] = exp[ ln (P - 1)]
soit 6/P = P - 1
soit encore 6 = P2 - P
ou P2 - P - 6 = 0
Il faut cherche si ce trinôme du second degré admet des racines.
Pour cela, calculons le discriminant :
? = (-1)2 - 4 * (-6) = 25.
Les racines sont donc [pic].
P1 est bien dans l'intervalle où les fonctions sont simultanément
définies. Donc P1 est le prix d'équilibre.
iii) Quel est le revenu total pour le prix d'équilibre ?
Pour le prix d'équilibre, la quantité est : Q1 = 4 ln 2.
Le revenu d'équilibre est donc R = P1 Q1 = 3 * 4 ln 2 = 12 ln 2
iv) Calculer l'élasticité de la demande autour d'un prix de 5 euros.
Interpréter.
L'élasticité ef s'exprime par : [pic]
D'où [pic]
Autour du prix de 5 euros, l'élasticité vaut donc [pic]? - 5,48.
Donc, si on augmente le prix de 1 % autour de 5 euros, la demande baisse de
5,48 %. Exercice 4
Selon son contrat, la rémunération d'un représentant comporte un fixe
mensuel égal au SMIC en vigueur à chercher, auquel s'ajoute une commission
sur le chiffre d'affaires des ventes réalisées chaque mois, calculée par
tranches:
* 2% jusqu'à 35 000 E
* 4% entre 35 000 E et 70 000 E
* 6% au-delà
Corrigé présenté avec un SMIC de 2006 : 1280,07 E
i).Exprimez le montant y de la rémunération mensuelle de ce représentant en
fonction du chiffre d'affaires x.
Réponse et justification Le salaire y du représentant s'exprime par :
[pic]Cherchons une expression simplifiée :
[pic]
ii) Faites une rapide représentation graphique
Réponse et justification [pic]
Ce graphique, effectué avec EXCEL représente les 3 portions de droites de
pentes différentes entre 0 et 75000. A la main, il suffit de prendre 2
points (les extrémités des deux premiers segments, et un point de la demi-
droite pour faire la représentation graphique) iii) Déterminez le chiffre d'affaires minimum pour que le salaire du
représentant dépasse 2 SMIC
Réponse et justification
Les valeurs maximales du salaire selon les deux premières tranches sont :
y = 1780,07 pour x= 25 000
y = 2780,07 pour x= 50 000
2 fois le SMIC est égal à 1280,07*2= 2560,14.
Le salaire du représentant dépassera deux fois le SMIC entre 25 000 et
50 000 de Chiffre d'Affaires.
Il faut donc résoudre :
780,07 + 0,04 x > 2 560,14
Soit 0,04 x > 1780,07
x > 1780,07/0,04 = 44 501,75
Exercice 5
Soit la fonction C qui à une quantité Q (exprimée en milliers d'unités)
d'un certain produit associe un coût (exprimé en kilo-euros) défini par : C(Q) = 160 + 5 Q - 3 Q2 + 2 Q3 i) A quelle(s) condition(s) la fonction C est-elle une fonction de coût
total ?
ii) Existe-t-il une (des) quantité(s) produite(s) pour laquelle
(lesquelles) le coût marginal est supérieur à 77 ?
iii) Pour un prix de vente constant p, le bénéfice s'écrit B = p Q - C(Q),
où Q est la quantité produite et vendue.
Existe-t-il une (des) valeur(s) du prix de vente p pour laquelle
(lesquelles) le bénéfice est maximum pour une quantité produite et vendue
égale à 2 000 unités ?
Un étudiant rédige ainsi la solution de l'exercice ci-dessous