BTS2 - Corrigé du devoir du 3/12/2004

BTS Groupement C - Corrigé de juin 2002 Exercice 1 (11 points)
Partie A - Résolution d'une équation différentielle y"+2y'+y=x+4 (E)
1. Résoudre sur ( l'équation différentielle : y"+2y'+y=0.
L'équation caractéristique associée est : +2r+1=0
ou encore : =0.
On a donc une racine double r=-1
On en déduit que la soloution générale de l'équation y"+2y'+y=0 est
: \s\up 4(-x))).
2. Vérifier que la fonction g définie sur ( par g(x)=x+2 est une
solution particulière de (E).
On a : g'(x)=1 et g"(x)=0.
Donc : g"+2g'+g=0+2+(x+2)
Donc : g"+2g'+g=x+4.
Donc g est bien une solution particulière de (E).
On sait que la solution générale d'une équation différentielle
s'obtient en ajoutant une solution particulière et la solution
générale de l'équation sans second membre associée.
Donc la solution générale de (E) est : \s\up 4(-x)+x+2)).
3. Déterminer la solution particulière f qui vérifie les 2 conditions
f(0)=2 et f'(0)=0.
On a : f(x)=(Ax+B)\s\up 4(-x)+x+2
Donc : f'(x)=A\s\up 4(-x)+(Ax+B)\s\up 4(-x))+1
Donc : f'(x)=(-Ax+(A-B))\s\up 4(-x)+1.
Les 2 conditions se traduisent donc par : \s\up 4(0)+2=2;(A-B)\s\up
4(0)+1=0))
Ce qui donne : \s\up 4(0)=-1)) , soit .
La solution particulière cherchée est donc la fonction f définie sur
( par : \s\up 4(-x)+x+2)).
Partie B - Étude d'une fonction
1. Calcul des limites de f en +õ et en -õ.
On a : (-x)=+õ;\s\up 4(-x)=+õ) )) donc, par produit : \s\up 4(-
x))=+õ.
Par ailleurs : (x+2)=-õ.
Les règles de calcul sur la limite d'une somme ne permettent pas de
conclure directement.
Cependant, on peut écrire, pour tout réel x : f(x)=-x\s\up 4(-x)-
1)+2
or (-x)=+õ;\s\up 4(-x)-1=+õ) )) donc, \s\up 4(-x)-1))=+õ, donc
f(x)=+õ)).
On sait que \s\up 4(-x)=0;x+2=+õ) )) on en déduit, par addition
que : f(x)=+õ)).
2. Calcul de la dérivée de f.
On a : f'(x)=(-1)\s\up 4(-x)+(-x)\s\up 4(-x))+1.
Donc : \s\up 4(-x)+1)).
3. Calcul de f'(0) et signe de f'(x)
On a : f'(0)=-\s\up 4(0)+1=0. Donc f'(0)=0.
Donc, d'après le tableau de variation de la fonction f', on peut
dire que :
si x?, f'(x)Â0
si x?, alors f'(x)Ã0.
4. Tableau de variation de f.
D'après la question précédente, on peut dire que :
. f est décroissante sur l'intervalle ,
. f est croissante sur l'intervalle ,
. f admet un minimum pour x=0 et f(0)=2.
|x |-õ | |0 |2 |+õ |
|f'(x) | |- |0 |+ | |
|f(x) |+õ | |2 | |+õ |
Partie C - Étude graphique
1. Montrer que la droite D est asymptote à la courbe C.
On sait que \s\up 4(-x)=0.
Or, pour tout réel x, on a : f(x)-(x+2)=-\s\up 4(-x)
Donc : [f(x)-(x+2)]=0
La droite D d'équation y=x+2 est donc bien asymptote à C au
voisinage de +õ.
2. Construction de D et de C.
[pic]
3. Calcul d'aire
Pour tout réel xÃ0, on a f(x)Âx+2 car \s\up 4(-x)Â0.
Donc l'aire A du domaine hachuré sur le graphique précédent, est
donné par l'intégrale :
A= unités d'aire
Donc, puisque l'unité d'aire vaut 4 cm2 , ou 400 mm2:
A=400×\s\up 4(-x)dx) mm2 .
Posons \s\up 4(-x))). On peut écrire : \s\up 4(-x)))
Les fonctions u, v,u' et v' étant dérivables, on peut appliquer le
théorème d'intégration par parties :
On a : \s\up 4(-x)dx)=-\s\up 4(-x))\o\al(\s\do 8( 0);\s\up 10( 2))-
\s\up 4(-x)dx)
Donc : \s\up 4(-x)dx)=-\s\up 4(-x))\o\al(\s\do 8( 0);\s\up 10( 2))-
\s\up 4(-x))\o\al(\s\do 8( 0);\s\up 10( 2))
Donc : \s\up 4(-x)dx)=\s\up 4(-x))\o\al(\s\do 8( 2);\s\up 10( 0))
(on change de signe car on permute les 2 bornes 0 et 2)
Donc : \s\up 4(-x)dx)=1-\s\up 4(-2)
On en déduit que l'aire cherchée est, en mm2 : \s\up 4(-2))ó238
mm2)). Exercice 2 (9 points) Partie A
D'après l'énoncé, les rubans adhésifs commandés par le grossiste se
répartissent selon le tableau suivant :
| |Rubatop |ADZif |S.A.Col |Total |
|Ne satisfont |2,9%×27% |3,1%×33% |4,2%×40% |0,783%+1,023%+1,68|
|pasau critère |=0,783% |=1,023% |=1,68% |% |
| | | | |=3,486% |
|Satisfont au |27%-0,783% |33%-1,023% |40%-1,68% |100%-3,486% |
|critère |=26,217% |=31,977% |=38,32% |=96,514% |
|Total |27% |33% |40% |100% |
1. Montrer que la probabilité d'obtenir un ruban ne répondant pas au
critère est 0,035 à près.
D'après le tableau ci-dessus, cette probabilité est de 3,486%, soit
0,03486 ou encore 0,035 à près.
On pouvait aussi utiliser les probabilités conditionnelles :
Notons les événements :
. C : "le ruban choisi ne satisfait pas le critère ",
. R : "le ruban provient de chez Rubatop",
. A : "le ruban provient de chez ADZif",
. S : "le ruban provient de chez S.A. Col".
On a : p(C)=pR)×p(R)+pA)×p(A)+pS)×p(S)
Donc : p(C)=(0,029×0,27)+(0,031×0,33)+(0,042×0,40)
Donc : p(C)=0,03486=0,035 à près.
2. Quelle est la probabilité qu'un ruban provienne de chez ADZif
sachant qu'il ne répond pas au critère ?
On a : pC)=
Donc : C)=A);p(C)) )==0,292 à près)).
Partie B
1. Justifier que X suit une loi binomiale.
On choisit 500 rubans et on sait que ce choix est assimilable à un
tirage aléatoire avec remise.
Donc les 500 épreuves sont indépendantes.
Pour chaque épreuve consistant à choisir un ruban, il y a 2 issues :
. le ruban jaunit le papier (ne répond pas au critère ), avec une
probabilité de 0,008,
. le ruban ne jaunit pas le papier.
La variable X, qui compte le nombre de rubans qui jaunissent le
papier, suit donc la loi binomiale de paramètres n=500 et p=0,008 :
B.
2. Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces 500 rubans jaunisse
le papier ?
On a : p(XÃ1)=1-p(X=0)
Donc : p(XÃ1)=1-
Donc : près)).
Partie C
On veut construire un test unilatéral pour déterminer s'il y a bien 0,8%
des rubans qui ne satisfont pas le critère . On note f la fréquence des
rubans qui jaunissent le papier.
1. Quelles sont les hypothèses et ?
L'hypothèse est : ),
L'hypothèse alternative est : ).
2. La variable qui sert pour le test, F, suit, sous l'hypothèse , la
loi normale de moyenne 0,008 et d'écart type )ó0,004 :
N(0,008;0,004)
a) Calcul du seuil critique au risque de 5%.
Posons =. On sait que suit la loi normale centrée réduite N.
On a : p(F