CHAPITRE 3 : LA DECOMPOSITION DES CHRONIQUES

Chapitre 3 : la décomposition des chroniques P.N. : {(yi, ti), i = 1, 2, ..., N} est une chronique de périodicité donnée. On s'intéresse à son comportement dans le temps.
Deux approches d'analyse de ce comportement peuvent être développées : 1. Explicative : Dérivée de la théorie de référence, elle utilise les modèles conceptuels
comme guides dans la quantification des liens et la critique des
résultats. ( économétrie. 2. Descriptive : Cette approche est basée sur la décomposition de la chronique en facteurs
explicatifs non nécessairement identifiés. ( analyse chronologique, time series analysis. C'est cette dernière approche qui va être introduite ici. SECTION 1 : LA décomposition d'une chronique A. Les "quatre" composantes i. Tendance (T) : allure de long-terme. < % croissance de la population, progrès technique, ... ii. Cycle (C) : composante conjoncturelle. iii. Saison (S) : cycle répétitif défini sur l'année ( climat, habitudes. iv. Aléa (A) : Dans le cas où l'aléa peut être identifié, il importe de corriger la
série brute, pour éviter des perturbations qui peuvent être expliquées
par une cause extérieure. Exemples : gel, grève, séisme, jours fériés, longueur différente des
mois, congés, etc, ... Mais souvent l'aléa est causé par de multiples variables difficilement
identifiables. B. L'interaction des composantes On suppose généralement que l'interaction entre les composantes peut être
représentée par : a. un modèle additif : yi = Ti + Ci + Si + Ai ou b. un modèle multiplicatif : yi = Ti * Ci * Si * Ai, plus fréquent que
le modèle additif. N.B. : les deux premières composantes sont souvent jointes pour former
la composante tendance - cycle (T, C) : yi = (T, C)i * Si * Ai C. Objectifs de la décomposition a. Décrire la contribution de chaque composante dans le comportement
temporel de la série. b. Eliminer une (ou plusieurs) composante(s) pour mieux discerner le
reste. c. Prévoir le comportement futur de la variable en fonction des
composantes systématiques principales de la série. SECTION 2 : LISSAGES Principe : Les méthodes de lissage visent à éliminer les composantes saisonnières et
aléatoires, pour faire apparaître le mouvement conjoncturel et tendanciel. De nombreuses méthodes ont été développées dont les deux principales sont
présentées ci-dessous : A. Lissage par moyenne échelonnée On réalise des groupements de points consécutifs (si possible d'effectifs
égaux et impairs) et on représente chaque groupe par la moyenne des points
qui le composent. On pratique ensuite une interpolation linéaire entre les moyennes ainsi
définies pour chaque date comprise entre les moyennes extrêmes. (Voir
exemple infra.) N.B. : La droite de Mayer Cas particulier quand le nuage de points est divisé en deux sous-groupes de
points consécutifs. On partage la série en 2 sous-groupes d'effectif égal (ou à une unité près
si nombre impair). Parfois, on élimine un certain nombre d'observation
centrales. On détermine ensuite [pic] et [pic], moyennes des observations [pic] et des
dates [pic] pour chacun des sous-groupes (i = 1, 2). Ces moyennes déterminent deux points A et B entre lesquels on ajuste une
droite dont les paramètres (a et b) de l'équation yi = a + b ti sont égaux
à : [pic] et [pic] (Voir exemple infra.)
B. Lissage par moyenne(s) mobile(s) La généralisation la plus courante de la précédente. Principe : On calcule des moyennes sur des groupes successifs de k (< n) valeurs de la
série. On commence par les k premières valeurs de la série. Puis, on omet la
première et on ajoute la k+1ème, puis on omet la première de ce nouveau
groupe et on ajoute la k+2ème... en glissant ainsi jusqu'à l'inclusion de
la dernière observation. Chaque moyenne est associée à une date :
- Si k est impair : pas de problème : la moyenne mobile se situera à
la date centrale ;
- Si k est pair : la moyenne mobile se situera entre les deux dates
centrales. La valeur de référence associée à une date sera la demi-
somme des moyennes mobiles encadrant cette date.
On note la moyenne mobile d'ordre k : MMk. (Voir exemple infra Tableau VI.3.) C. Un exemple : Tableau VI.1 : chiffre d'affaires (CA) trimestriel d'une entreprise (ME) |An. |Tr. |CA |t |An. |Tr. |CA |t |
|t |1 |51 |1 |t+2 |1 |83 |9 |
| |2 |111 |2 | |2 |175 |10 |
| |3 |123 |3 | |3 |174 |11 |
| |4 |59 |4 | |4 |88 |12 |
|t+1 |1 |78 |5 |t+3 |1 |95 |13 |
| |2 |162 |6 | |2 |185 |14 |
| |3 |146 |7 | |3 |197 |15 |
| |4 |54 |8 | |4 |75 |16 |
a. Méthode des moyennes échelonnées sur 4 termes : Donc avec 2,5, date de la première moyenne échelonnée, 6,5, date de la
deuxième moyenne échelonnée, etc., ... on établit les coordonnées des
quatre points centraux de chacun des 4 groupes d'observation du CA. A = (2,5 ; 86) C = (10,5 ; 130) B = (6,5 ; 110) D = (14,5 ; 138) Il est possible de réaliser une interpolation linéaire entre ces points.
Ainsi les équations des trois segments possibles s'établissent comme suit : AB : 6t + 71 6 = [pic] 71 = 86 - (6 * 2,5)
BC : 5t + 77,5
CD : 2t + 109 Il est alors possible de générer une série lissée yAD :
Tableau VI.2 : Moyennes échelonnées sur 4 termes (ME) |t |yt |yAD |
|1 |51 |/ |
|2 |111 |/ |
|3 |123 |89 |
|4 |59 |95 |
|5 |78 |101 |
|6 |162 |107 |
|7 |146 |112,5 |
|8 |54 |117,5 |
|9 |83 |122,5 |
|10 |175 |127,5 |
|11 |174 |131 |
|12 |88 |133 |
|13 |95 |135 |
|14 |185 |137 |
|15 |197 |/ |
|16 |75 |/ | b. Méthode des moyennes mobiles
Choix de k : l'ordre de la moyenne Cas simple : MM3 permet de ne pas perdre beaucoup d'observations mais garde
une grande variabilité. Cas plus complexe : k élevé, par exemple k = 12 ( série plus adoucie mais perte de 6 observations de part et
d'autre. Le choix du type de lissage dépend de l'objectif poursuivi :
Si on cherche à éliminer :- l'aléa : ( MM3 : - la saisonnalité et l'aléa : ( MM9 ; - le cycle, la saisonnalité et l'aléa : ( droite
de Mayer. (Voir graphique VI.1, page suivante.) 1ère MM3 datée 2, valeur [pic], 2ème MM3 datée 3, valeur [pic], etc... Calcul de la droite de Mayer : a) La chronique est divisée en deux sous-ensembles de 8 observations
chacun. b) La moyenne de chaque sous-ensemble est calculée, on obtient les deux
points extrêmes de la droite (4,5 ; 98) et (12,5 ; 134). c) Les paramètres de la droite d'interpolation entre ces points sont : b, l'intercept, = 77,75 et a, le coefficient angulaire, = 4,5. d) On obtient ensuite les différentes valeurs suivantes :
Tableau VI.3 : calcul de la MM4 (ME) |t | [pic] A titre d'exemple, calcul de la MM4 :
Tableau VI.4 : calcul de la MM4 (ME) |t |y |MM4 |MM4 |
| | | |ajustée |
|1 |51 |/ |/ |
|2 |111 |/ |/ |
|2,5 | |86 |/ |
|3 |123 | |89,375 |
|3,5 | |92,75 | |
|4 |59 | |99,125 |
|4,5 | |105,5 | |
|5 |78 | |108,375 |
|5,5 | |111,25 | |
|6 |162 | |110,625 |
|6,5 | |110 | |
|7 |146 | |110,625 |
|7,5 | |111,25 | |
|8 |54 | |112,875 |
|8,5 | |114,5 | |
|9 |83 | |118 |
|9,5 | |121,5 | |
|10 |175 | |125,75 |
|10,5 | |130 | |
|11 |174 | |131,5 |
|11,5 | |133 | |
|12 |88 | |134,25 |
|12,5 | |135,5 | |
|13 |95 | |138,375 |
|13,5 | |141,25 | |
|14 |185 | |139,625 |
|14,5 | |138 |/ |
|15 |197 |/ |/ |
|16 |75 |/ |/ |
Exercices récapitulatifs : lissages
1- L'indice trimestriel de valeur des ventes de fleurs (base 1997:1 = 100)
est représenté dans le tableau suivant pour la période 1996:1 - 2000:4 : |Tableau 1 : Indice trimestriel de la valeur des ventes de fleurs |
|(1997:1 = 100) |
|Trimestre|1996 |1997 |1998 |1999 |2000 |
|1 |101,56 |100,00 |103,45 |111,78 |123,46 |
|2 |94,29 |96,42 |102,74 |106,86 |121,78 |
|3 |96,38 |99,64 |100,89 |109,75 |115,18 |
|4 |98,22 |102,67 |108,13 |115,61 |128,89 | On vous demande de calculer les moyennes mobiles et échelonnées sur 5
termes de cette chronique. L'effet saisonnier a-t-il disparu ? Calculez une « droite de Mayer » en éliminant les 10 observations
centrales. Représentez graphiquement les moyennes mobiles et échelonnées ainsi
que la « droite de Mayer ». en les comparant à la chronique originale.
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