à partir du mouvement d'un de ses satellites - Free

D6 - Comment la masse d'un astre peut-elle être calculée
à partir du mouvement d'un de ses satellites ?
Cette activité sur document vise à montrer comment, par application des
lois de Newton sur le mouvement et la gravitation, on peut déterminer la
masse d'un astre. Elle fait appel à la réflexion des élèves en les amenant
à construire, puis à résoudre, un problème mettant en ?uvre aussi bien des
capacités calculatoires et théoriques que des compétences relatives à la
mesure et à la détermination graphique d'une valeur. Pour cette raison, les
élèves travaillent en petits groupes de quatre sur des informations données
sur document. Durant cette activité, le professeur passe dans les groupes
afin d'aider les élèves à résoudre les problèmes au fur et à mesure qu'ils
se posent. Aucune donnée générale n'est fournie dans le texte, mais les
élèves disposent d'un tableau de données concernant le système solaire et
dans lequel ils pourront tout aussi bien puiser les données qui leur sont
nécessaires que trouver les valeurs qu'ils pourront comparer à leurs
résultats.
Le premier exercice, qui porte sur la détermination de la masse de la
Terre, vise essentiellement à poser le problème de la détermination de la
masse d'un astre à partir des lois de Newton, et donc à donner du sens aux
activités qui vont suivre et qui concernent la planète Jupiter et ses
satellites. De plus, l'application à la Lune de la deuxième loi de Newton
conduit les élèves à s'interroger sur la relation donnant l'accélération du
mouvement circulaire uniforme. Cette relation ([pic]) pourra être
introduite à cette occasion par le professeur.
Le résultat de ce calcul théorique sera ensuite transposé et réutilisé pour
déterminer la masse de Jupiter après qu'aura été résolu le problème de la
détermination des caractéristiques du mouvement de l'un de ses satellites
(ici Ganymède).
Calcul de la masse de la Terre La Lune tourne autour de la Terre sur une trajectoire sensiblement
circulaire. Montrer que, par application des lois de Newton, il est
possible de calculer la masse de la Terre, connaissant les valeurs
caractéristiques du mouvement de la Lune.
En prenant les données nécessaires dans le tableau des données relatives au
système solaire fourni, calculer la valeur de cette masse. À la fin de cette première partie, on indique aux élèves que cette méthode
de calcul peut être appliquée pour déterminer la masse de n'importe quel
astre ayant un satellite en orbite pratiquement circulaire, à condition de
connaître le rayon et la période de son mouvement. C'est le cas de Jupiter. Les satellites galiléens de Jupiter vus de la Terre
Galilée a découvert en 1610 quatre satellites de Jupiter : Io, Europe,
Ganymède et Callisto.
En première approximation, on peut considérer que ces satellites évoluent
sur des trajectoires circulaires. On pointe depuis la Terre une lunette astronomique centrée sur Jupiter et
on repère, à intervalles de temps réguliers, les positions successives d'un
de ces satellites. On reporte ces positions sur le document ci-contre.
À votre avis, quelle sera l'allure du document que l'on obtiendra ? (Tracez
une dizaine de points qui vous paraissent vraisemblables.) On peut s'attendre à ce que les élèves effectuent des prévisions du type de
celles que nous donnons ci-dessous.
On distribue alors aux élèves travaillant en petits groupes le document de
la page suivante et l'on pose les questions suivantes : Ce document représente une série de photographies des satellites de Jupiter
prises depuis la Terre à des dates successives indiquées sous chacune
d'elles. Sur ces photographies, la position du satellite Ganymède est
repérée par une flèche. Ces photographies sont-elles en accord avec vos prévisions ? Quel
renseignement vous fournissent-elles sur le mouvement des satellites de
Jupiter ? Détermination du rayon de l'orbite et de la période de Ganymède À l'époque où ces photographies ont été prises, la distance séparant les
centres de la Terre et de Jupiter valait environ 4,46 u.a. Montrez que,
moyennant une hypothèse simplificatrice, il est possible de déduire du
mouvement apparent de ce satellite le rayon R de son orbite et la période T
de son mouvement autour de Jupiter.
Montrez que ces photographies permettent de calculer le rayon de l'orbite
de Ganymède ainsi que sa période de révolution autour de Jupiter. On
s'interrogera en particulier sur le choix de la méthode la plus précise. Il s'agit ici d'amener les élèves à concevoir que, vu de la Terre, le
mouvement d'un satellite de Jupiter dans le référentiel centré sur Jupiter,
est rectiligne, alternatif et périodique de période T et d'amplitude
pratiquement égale à R compte tenu de la faible valeur du diamètre apparent
de l'orbite du satellite vue depuis la Terre.
[pic]
La compréhension de ce mouvement apparent est essentielle pour pouvoir
ensuite tirer profit des informations que contient le document complet et
qui permettent de déterminer la masse de Jupiter.
Document de travail L'échelle donnée en haut, à gauche est une échelle de diamètre apparent (4'
est l'angle sous lequel les deux points A et B sont vus depuis la Terre). Les élèves sont amenés à construire la courbe des abscisses apparentes des
positions successives de Ganymède en fonction du temps. On détermine alors
graphiquement sur la courbe la demi-période ainsi que l'amplitude du
mouvement apparent à partir de laquelle on calcule le rayon R de la
trajectoire. Nous donnons ci-dessous les éléments de ces déterminations. [pic] On constate que la demi-période est d'environ [pic] soit une période [pic].
L'amplitude apparente est 27 mm soit un rayon apparent de 5,4' et donc un
rayon de l'orbite de Ganymède [pic].
Détermination de la masse de Jupiter
Au moyen des résultats précédents, calculez maintenant la masse de Jupiter.
Le calcul donne : [pic]
Données concernant le système solaire | |Masse | |Rayon | | |
|Astre |relative à|Rayon de |moyen de |Période de|Période de |
| |celle de |l'astre |l'orbite |rotation |révolution |
| |la Terre |(en 106 |(en u.a.) |(en 103s) |(en 106 s) |
| | |m) | | | |
|Mercure |0,0548 |2,57 |0,389 |5,05x103 |7,60 |
|Vénus |0.807 |6,31 |0,724 |21,0x103 |19,4 |
|Terre |1,00 |6,38 |1,000 |86,1 |31,6 |
|Mars |0,107 |3,43 |1,524 |88,5 |59,4 |
|Jupiter |319 |71,8 |5,200 |35,4 |374 |
|Saturne |94,8 |60,3 |9,510 |36,0 |930 |
|Uranus |14,7 |26,7 |19,18 |38,8 |2,66x103 |
|Neptune |17,2 |24,8 |30,08 |56,9 |5,20 x103 |
|Pluton |0,100 |3 |39,4 |551 |7,82 x103 |
|Lune |0,0123 |1,74 |2,57 10-3|2,36 |2,36 x103 |
|Soleil |331 |695 |--- |2,14 |--- |
([pic])
Compétences scientifiques mises en ?uvre . Trier des informations ; extraire des informations pertinentes d'un
tableau de valeurs
. Construire une courbe à partir d'un ensemble de mesures et savoir
l'exploiter
. Utiliser un graphique pour déterminer une nouvelle grandeur
. Discuter la pertinence, la cohérence ou la logique d'une argumentation
scientifique
. Utiliser les modèles et les lois pour prévoir des propriétés relatives à
une situation donnée
. Utiliser des unités cohérentes
. Exprimer un résultat avec un nombre de chiffres significatifs compatible
avec les conditions de l'expérience
. Analyser des résultats expérimentaux, les confronter à des résultats
théoriques. Bibliographie
SANDRÉ, B. , « Détermination de la masse de Jupiter », Bulletin de l'Union
des physiciens, n° 732, vol. 85, mars 1991. ----------------------- A B Le ciel et Jupiter vus dans la lunette