Asie 2015. Enseignement spécifique - Math France

Asie2015.En seignementspéci fique
EXERCICE3(6points)(c ommu nàtousl escandidats)
Pourtouten tiernatureln,ondéfinitlafonctionf
n
pour
toutréelxdel' intervalle[0,1]par:
f
n
(x)=x+e
n(x-1)
.
Onno teC
n
lare présentationgraphiquedelafonctionf
n
dansunrep èr eorthogonal.
Quelques-unesdescourbesC
n
sontreprése ntéesci-contre.
PartieA:général ité ssu rlesfonctionsf
n
1)Démontrerque,pourtoutenti ernatureln,
lafo nctionf
n
estcrois santeetpositivesur
l'intervalle[0,1].
2)MontrerquelescourbesC
n
onttoute sunpoint
communA,etprécisersescoordonnées.
3)Al'aidedesreprésentationsgraphiques,peut-on
conjecturerlecomportementdesco e
ffi
cients
directeursdestangentesenAauxc ourbes C
n
pourlesgr andesvale ursden?
Démontrercetteconjecture .

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