TD de Théorie des jeux M1 - lameta

TD de Théorie des jeux M1
Thème 1 : Représentation formelle des jeux
P.J. Cottalorda, M. Heugues
Exercice 1 : Deux pays (A et B) considèrent l'état des relations politiques entre eux.
Ils doivent choisir entre un état de guerre (G) et un état de paix (P). Si
les deux choisissent la guerre alors chacun aura un gain de 2 points. Si un
seul déclare la guerre alors il obtient 6 points et son voisin obtient 0
point. S'ils choisissent tous les deux de préserver la paix, chacun obtient
un gain de 4 points.
1- Donnez l'ensemble des joueurs et l'ensemble des stratégies de chaque
joueur.
2- Représentez le jeu sous forme stratégique.
3- Représentez le jeu sous forme développée. Exercice 2 : Papier-Ciseaux-Caillou Il s'agit d'un jeu entre deux enfants, Marie et Paul. Les deux choisissent
simultanément un objet parmi les trois suivants : papier (P), ciseaux (Ci)
et caillou (Ca). Selon ces choix, soit un des enfants gagne le jeu, soit il
n'y a pas de gagnant (quand ils choisissent le même objet). Caillou gagne
contre ciseaux, ciseaux gagne contre papier et papier gagne contre caillou. Le montant des gains est défini de la façon suivante : l'enfant qui gagne
obtient 2 points tandis que celui qui perd obtient 0 point. En cas
d'égalité, chacun des deux enfants obtient 1 point.
1- Décrivez l'ensemble des joueurs et l'ensemble des stratégies de chaque
joueur.
2- Ecrivez le jeu simultané sous forme stratégique
3- Ecrivez le jeu simultané sous forme développée
4- Ecrivez le jeu simultané sous forme développée si Paul triche et
observe le choix de Marie avant de jouer.
5- Ecrivez le jeu simultané sous forme extensive si Paul observe le choix
de Marie que si elle choisit caillou. Execrice 3 : Enchères Une unité d'un bien est mise aux enchères. Il y a n acheteurs potentiels et
l'acheteur i a une valuation (c'est-à-dire la valeur qu'il pense que le
bien a) vi ? 0 pour ce bien. La procédure d'enchère est la suivante :
chaque acheteur soumet une offre écrite sous pli scellé. Les plis sont
transmis à un commissaire priseur. L'acheteur ayant soumis l'offre la plus
haute remporte le bien et paye un prix égal à la seconde plus haute offre.
En cas de gagnants ex-aequo, on tire au sort celui qui remporte le bien. Modéliser cette situation sous forme d'un jeu en précisant les ensembles
de stratégies et les fonctions de paiement.
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Thème 2 : Stratégies dominantes, dominance itérative, récurrence amont et
stratégies prudentes P.J. Cottalorda, M. Heugues Exercice 1 : On considère la matrice des gains d'un jeu simultané à deux joueurs
suivante :
| | | |2 | |
| | |R1 |R2 |R3 |
| |L1 |(0,0) |(1,2) |(2,1) |
|1 |L2 |(2,3) |(4,5) |(3,1) |
| |L3 |(1,1) |(2,3) |(1,2) | L1, L2 et L3 correspondent aux stratégies du joueur 1 et R1, R2 et R3 à
celles du joueur 2. 1- Existe-il un équilibre en stratégie dominante ?
2- Si les paiements associés à (L3, R2) sont (4, 3), y a-t-il un
équilibre en stratégie dominante ?
3- Si les paiements associés aux stratégies (L3, R3) deviennent (7,2) et
ceux associés aux stratégies (L3, R1) sont (1, 4), y a-t-il un
équilibre en stratégie dominante ? Le jeu est-il solvable par
dominance itérative et dans ce cas quel est l'équilibre ? Pour chacune des questions, vous expliquerez votre raisonnement de manière
détaillée.
Exercice 2 : Enchères On reprend l'énoncé de l'exercice 3 (thème 1). Montrez qu'offrir sa propre
valuation v est une stratégie faiblement dominante. Exercice 3 : On considère le jeu simultané à deux joueurs suivant : | | | |2 | |
| | |R1 |R2 |R3 |
| |L1 |(3,-3) |(2,-2) |(7,-7) |
|1 |L2 |(-4,4) |(1,-1) |(9,-9) |
| |L3 |(1,-1) |(0,0) |(-3,3) | 1- Quelle est la particularité de ce jeu ? Utilisez cette propriété pour
simplifier la matrice des paiements.
2- Calculez les stratégies prudentes pour chacun des joueurs.
3- Ce jeu a-t-il une 'valeur' ? Exercice 4 : On considère l'arbre du jeu suivant :
[pic] 1- Déterminez le(s) équilibre(s) de ce jeu en utilisant le concept de
récurrence amont.
2- Dessinez la matrice des paiements correspondant à ce jeu (forme
stratégique) et calculez l'équilibre en dominance itérative. Conclure. TD de Théorie des jeux M1 Thème 3 : Equilibre de Nash, stratégies mixtes et stratégies corrélées. P.J. Cottalorda, M. Heugues Exercice 1 : Soit le jeu sous forme stratégique suivant :
| | |B |
| | |g |d |
|A |g |(1,1) |(1,1) |
| |d |(-1,-1) |(2,0) |
1- Quels sont les équilibres de Nash en stratégies pures de ce jeu ?
2- Existe-t-il des équilibres de Nash en stratégies mixtes ? Exercice 2 : La fureur de vivre Deux conducteurs A et B dirigent leur voiture l'une contre l'autre dans une
rue trop étroite pour qu'elles puissent se croiser sans provoquer
d'accident. Si un conducteur ralentit, tandis que l'autre garde la même
vitesse, le premier conducteur perd la face : il obtient alors une utilité
de 0 et son adversaire obtient 4. Si les deux ralentissent en même temps
alors le jeu se termine par une égalité et les deux conducteurs obtiennent
une utilité de 2. Si aucun ne ralentit alors l'accident arrive et chacun
obtient une utilité de -2. 1- Précisez l'ensemble des joueurs et l'ensemble des stratégies de chaque
joueur.
2- Donnez la forme stratégique du jeu.
3- Déterminez les équilibres de Nash en stratégies pures du jeu.
4- Déterminez les équilibres de Nash en stratégies mixtes après avoir
préciser les fonctions de meilleure réponse des joueurs. Exercice 3 : Considérez le jeu sous forme stratégique suivant : | | |B |
| | |1 |2 |
|A |I |(k, l) |(e, f) |
| |II |(g, h) |(c, d) | Déterminer les conditions sur les paramètres c, d, e, f, g, h, k et l pour
que :
1- le résultat (I, 1) résulte de l'élimination des stratégies strictement
dominées ;
2- le résultat (I, 1) soit un équilibre de Nash ;
3- le résultat (I, 1) soit un optimum de Pareto ;
4- le résultat (I, 1) ne soit pas Paréto-comparable avec (II, 2).
Exercice 4 : On considère le jeu suivant : | | |2 |
| | |R1 |R2 |
|1 |L1 |(4,4) |(1,5) |
| |L2 |(5,1) |(0,0) |
1- Calculer les équilibres de Nash du jeu en stratégies pures et en
stratégies mixtes.
2- Que se passe-t-il si les deux joueurs décident de s'entendre pour
baser leur décision sur la réalisation d'un événement aléatoire E
(observable par les deux joueurs) extérieur au jeu ?
On fait l'hypothèse que cet évènement survient avec une chance sur
deux et que les joueurs décident de jouer (L2, R1) si l'événement se
produit et (L1, R2) sinon.
3- On considère maintenant 3 événements aléatoires mutuellement exclusifs
E1, E2 et E3 qui surviennent avec la même probabilité. Le joueur 1
peut savoir si E1 s'est réalisé et le joueur 2 peut seulement savoir
si E2 s'est réalisé ou non. Que se passe-t-il si les joueurs décident
d'adopter les stratégies suivantes :
- le joueur 1 joue L1 s'il n'observe pas E1 (L2 sinon)
- le joueur 2 joue R1 s'il n'observe pas E2 (R2 sinon). Pourquoi l'issue du jeu qui émerge suite à cette procédure est-il
appelé un équilibre « corrélé » ? Exercice 5 : Calculer les équilibres en stratégies pures et mixtes des jeux suivants : |(5,4) |(3,3) |
|(3,3) |(7,8) | |(2,-2) |(1,-1) |
|(3,-3) |(4,-4) | |(1,0) |(1,2) |
|(1,1) |(0,0) | TD de Théorie des jeux M1
Thème 4 : Jeux répétés P.J. Cottalorda, M. Heugues Exercice 1 : Soit le marché d'un bien homogène produit par deux firmes. La demande
inverse de marché est donné par P = 100 - Q et les fonctions de coût des
deux firmes sont Ci(qi) = 2qi avec i= 1,2. 1- Déterminez l'équilibre de cette industrie si chaque firme choisit son
niveau de production au début de la période sans communication ave son
concurrent.
2- Même question si les firmes coopèrent de manière à maximiser le profit
joint (considérer le cas où les firmes partagent de manière égalitaire
les quantités et le profit du cartel).
3- Quel sera l'équilibre de ce marché s'il n'a lieu que 10 fois, avec
chaque firme actualisant ses revenus avec le facteur d'actualisation
commun ?.
4- Quel sera l'équilibre du marché si le marché peut continuer sas fin,
sachant que si une firme dévie de sa stratégie de coopération son
concurrent jouera non coopératif jusqu' à la fin des temps. Sous
quelles conditions la solution coopérative peut-elle émerger comme un
équilibre ?
5- Même question s'il faut à la firme seulement une période pour
convaincre son concurrent qu'elle ne déviera plus de la stratégie
coopérative ?
Exercice 2: Supposez que ces deux firmes se font concurrence en prix (duopole de
Bertrand). La demande de marché est donnée par D(p) = A - p et les
fonctions de coût des deux firmes Ci(qi) = ciqi avec i = 1,2, ci = c < A.
Selon les prix fixés au début de chaque période, la demande est partagée
entre les deux firmes selon la règle de Bertrand :