td traitement du signal - High-Tech

High-Tech Année 2009-2010
3ÈME ANNÉE TD1
THÉORIE DU SIGNAL
Exercice 1
Représenter graphiquement ces signaux de base : échelon d'Heaviside,
impulsion de Dirac, fonction Signe.
Utiliser ces signaux de base pour générer les signaux suivants :
- fonction Rampe r(t).
- fonction Rectangulaire (symétrique de largeur T et d'amplitude A) :
RectT(t)
- fonction Triangulaire (symétrique de largeur T et d'amplitude A) :
TriT(t)
- fonction Peigne de Dirac (de période T) : ?T(t) Exercice 2
Calculer les intégrales suivantes : où ?(t) désigne l'impulsion de Dirac, u(t) l'échelon d'Heaviside et r(t) la
fonction rampe. Exercice 3
Déterminer les transformées de Laplace ainsi que les bandes de convergence
des fonctions suivantes :
((t) ((t-a) u(t) t u(t) (1/2)t u (t) u(t) cos((t) u(t)
sin((t) u(t) e-atcos((t)
u(t) e-atsin((t) e-a|t|cos((t) (avec a>0) Exercice 4
1. Soit y(t) = f(t) ( g(t)
a) Sur quels intervalles de temps la valeur de y(t) sera-t-elle différente
de zéro ?
b) A quel(s) instant(s) y(t) atteindra-t-elle son maximum ? 2. Evaluer y(t) = f(t) ( g(t) et en donner l'allure dans le cas ci-dessous.
Exercice 5
Soient les 2 fonctions x(t) et y(t) telles que :
t e-t pour t ( 0 1 pour t ( 0
x(t) = y(t) =
0 ailleurs 0 ailleurs Calculer c(t) = x(t) ( y(t). Quelle est sa durée ? Exercice 6
Soient 2 signaux causaux
x(t) = u(t) f(t) et y(t) = u(t) g(t) a- Ecrire la convolution z(t) = x(t) ( y(t) en fonction de f(t) et g(t)
b- On suppose que X(p) = 1/(p+a) et Y(p) = 1/(p+b) , l'axe imaginaire
appartient à la BC.
Z(p) = TL(z(t)) ?
c- Calculer z(t) par 2 méthodes :
-inversion de Z(p)
-convolution x(t) ( y(t)
Exercice 7 Soit le signal x(t) de forme trapézoïdale suivant : Calculer X(f) à l'aide de la transformée de Fourier de . Retrouver le résultat précédent à l'aide du calcul du produit de
convolution : rectT1(t)(rectT2(t) En déduire la TF du signal triT(t) = [1 - |t|/T] rect2T(t).
Exercice 8 Soit le signal x(t) = e-a|t| avec a>0. Calculer directement sa TF X(f).
Retrouver le résultat précédent à l'aide du produit de convolution u(t) e-
at ( u(-t) eat. Exercice 9
Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes, en utilisant
les propriétés vues en cours :
1. x(t) = e-t [u(t+1) - u(t-2)]
2. x(t) = sin (2?t) + cos (t + ?/4)
3. x(t) = sin (t/2) / (t/2) ( sinc (t/2)
Exercice 10 Même question pour :
Exercice 11
Supposons X(f), la transformée de Fourier du signal x(t) ci-dessous,
connue. Calculer Y(f) et Z(f), les transformées de Fourier de y(t) et z(t),
en fonction de X(f) mais sans calculer X(f).
Exercice 12
Soit X(f), la transformée de Fourier du signal x(t) ci-dessous. Faire les
calculs suivants sans calculer explicitement X(f). 1. Trouver X(0).
2. Calculer
3. Calculer
4. Calculer Exercice 13
A partir des TF des signaux suivants f(t) et g(t), en déduire la TF de
h(t).
Exercice 14
Donner la TF de f(t) = e-(?t2) et de g(t) = sinc (2?f0t) avec sinc(x) =
sinx/x.
Que deviennent ces résultats si f(t) et g(t) sont tronquées sur un horizon
d'observation ]-T1,T1[
-----------------------
?/a t x(t) = -?/a 2?/a -2?/a (( (( 5. ( u(t+3) r(t-4) dt (( (( 1 sin at at t ?/a 2?/a -?/a -2?/a 1 sin at at x(t) '( )² +T0 -T0 1 x(t) t x(t) ?????????????????????????????????????????+T0/2 -T0/2 1 t 4. ( u(t+3)² u(t-4) dt (( (( 3. ( (t-?)² ?(?) d? 4 7 2. ( cos(3t) ?(t-5) dt 4 9 1. ( cos(3t) ?(t-2) dt t 0 1 2 3 4 f(t) g(t) 4 3 2 1 0 t f(t) 4 3 2 1 0 t 1 g(t) 4 3 2 1 0 t ½ 1 1 0 t x(t) t 2 - 1 1 2 0 y(t) 1 2 4 1 2 z(t) - 1 0 1 2 3 t t x(t) 1 (( (( ( X(f) df (( (( ( X(f) e2?jfdf (( (( ( |X(f)|² df dx(t) dt a -a b -b 1 t x (t) f (t) +1 -1 1 t +1 -1 1 g(t) t +1 -1 2 h (t) t