Année académique 1999-2000

Année académique 1999-2000 Première Candidature
Option Economie
Ingénieur de gestion
Option Sciences Politiques et Communication
Probabilité : corrigé des exercices
Première séance
Examen juin 1999 : Question 3
La façon la plus simple de procéder est de construire un arbre :
Légende : R = « les études commencées sont réussies » ; E = « échec pour
les études entreprises ».
En bout de branches, le revenu moyen attendu à 35 ans (X) avec,
entre parenthèses, sa probabilité (jointe).
|x |Pr (X=x) |Pr (X=x) |Fonction de |
| | | |répartition |
| | | | |
|0 |(1-pi).(1-pg) |0,65.0,3 = 0,195 |0,195 |
|600 |(1-pi).pg.(1-pe) |0,65.0,7.0,58 = |0,4589 |
|800 |pi.(1-pe) |0,2639 |0,6619 |
|810 |(1-pi).pg.pe |0,35.0,58 = 0,203 |0,853 |
|1000 |pi.pe |0,65.0,7.0,42 = |1 |
| | |0,1911 | |
| | |0,35.0,42 = 0,147 | |
Examen juin 1999 : Question 1
Combien de codes sont possibles :
a) Si aucune restriction n'est mise sur l'alignement des fanions ? Il y a 8 fanions, tous distinguables entre eux, donc le nombre de
possibilités d'alignement de l'ensemble des 8 fanions est 8 ! = 40.320
possibilités.
b) Si les couleurs de base doivent rester groupées entre elles ? Il y a 5 fanions bleus tous distinguables entre eux que l'on peut
permuter et 3 fanions jaunes, également tous distinguables entre eux,
que l'on peut aussi permuter ; donc deux groupes de couleur d'objets.
Le nombre de possibilités d'alignement est donc de 5 ! possibilités
pour les fanions bleus, 3 ! pour les fanions jaunes, et il y a 2 !
possibilités de permuter les groupes. Donc, en tout on dispose de
2 !5 !3 ! = 1.440 possibilités d'alignement. c) Si les formes doivent rester groupées entre elles ? Il y a six fanions triangulaires tous distinguables entre eux et deux
fanions carrés également distinguables entre eux ; donc deux groupes
de forme. Par le même argument que supra, le nombre de possibilités
d'alignement est donc de 2 !6 !2 ! = 2.880 possibilités d'alignement.
d) Que devient la réponse donnée en a) si les symboles autocollants se
sont tous faits arracher par le vent ?
On dispose alors de 8 fanions répartis en trois groupes d'objets
indistiguables entre eux à l'intérieur de chaque groupe (fanions
triangulaires bleus, fanions triangulaires jaunes, fanions carrés
bleus). Le nombre de possibilités d'alignement, correspond donc au
nombre de permutations de 8 objets dont 3 sous-groupes sont composés
d'éléments indistiguables, soit [pic]possibilités (voir formule cours
page VIII 15bis) e) Que devient la réponse donnée en c) si les symboles autocollants se
sont tous faits arracher par le vent ?
En utilisant le même argument que supra, il existe [pic]possibilités
d'aligner les fanions triangulaires, et [pic] possibilité d'aligner
les fanions carrés bleus, ces deux groupes de formes peuvent être
permutés entre eux. Il existe donc 20.1.2 = 40 possibilités
d'alignement des fanions.
Examen juin 1999 : Question 2
a) Parmi les chanteuses pressenties, la diva C. Astafiore exige, si elle
est retenue, de partager la scène avec sa protégée L. Acallas qui se
trouve parmi les six autres chanteuses envisagées. P. Avaroti se
demande quel est le nombre de distributions possibles s'il s'oblige à
engager les deux divas. Vous calculez ce nombre. S'il s'oblige à engager les deux divas, P. Avarotti dispose déjà de 2
chanteuses sur les 3 dont il a besoin, il lui reste donc à choisir une
chanteuse parmi les cinq restantes (7 moins 2), donc il dispose de
[pic] = 5 possibilités de choix des chanteuses. Pour les chanteurs, il
lui en faut choisir 2 parmi 5, il dispose donc de [pic]= 10
possibilités de choix. En combinant les choix des chanteuses à ceux
pour les chanteurs, il dispose donc de 10.5 = 50 possibilités de
distribution. b) Un autre problème se pose à P. Avaroti : C. Astafiore retire son
exigence précédente (question a) mais refuse de se produire sur scène
si M. Ariano, un des chanteurs pressentis est retenu. Pour une fois le
rejet est réciproque, M. Ariano refuse également de se produire si C.
Astafiore est retenue. De combien de possibilités de distribution P.
Avaroti dispose-t-il ?(N.B. dans ce cas, évidemment, il ne s'oblige
pas à engager les deux divas de la question a)) Quand C est choisie, M ne peut être pris : 1. [pic].[pic]= 15.6 = 90
possibilités.
Quand M est choisi, C ne peut être choisie : 1. [pic].[pic]= 4.20 = 80
possibilités.
On peut également exclure à la fois M et C : [pic].[pic]= 20.6 = 120
possibilités.
Donc P aura en tout 90 + 80 + 120 = 290 possibilités de distribution. c) Les problèmes de distribution étant fort complexes, P. Avaroti
décide de s'en remettre au hasard. Il inscrit les noms des douze
chanteurs et chanteuses pressentis, chacun sur un bout de papier
identique aux autres, dépose ces billets dans une urne et tire au
hasard, après mélange, les noms des chanteurs. 1. Il tire les noms des cinq personnes nécessaires dans la
distribution, avec remise, les uns derrière les autres. Quelle est
la probabilité de tirer d'abord deux noms de chanteurs, ensuite
trois noms de chanteuses ?
(Formule de Laplace) [pic] 2. Quelle est la probabilité d'obtenir deux noms de chanteurs et trois
noms de chanteuses, si au lieu de tirer avec remise les cinq
billets les uns après les autres, P. Avaroti tire une poignée de
cinq billets ?
(Formule de Laplace) : [pic]
Exercices sur les probabilités élémentaires : exercice 2, page IX 22 Exercices sur les probabilités élémentaires : exercice 4, page IX 22
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1000 (pi.pe) 0 ((1-pi).(1-pg)) 600 ((1-pi).pg.(1-pe)) 810 ((1-pi).pg.pe) 800 (pi.(1-pe)) Eco E :1- pe E :1- pg E :1- pi R : pe E :1- pe R : pe R : pg R : pi Eco Grad Inf