Correction - Math93

TD - Trigonométrie type Brevet

Exercice 1 : (Lyon 96)
1) Construire un triangle IJK tel que :
JK = 8 cm ; IJ = 4,8 cm ; KI = 6,4 cm.
2) Démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle.
3) Calculer la mesure en degrés de l'angle [pic].
Donner la valeur arrondie au degré le plus proche.

Correction :
1) [JK] est le plus grand côté.
JK² = 8² = 64
IJ² + IK² = 4,8² + 6,4² = 23,04 + 40,96 = 64
Donc JK² = IJ² + IK² et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le
triangle IJK est rectangle en I.
2) Comme on connaît les 3 longueurs, les 3 formules de trigonométrie
peuvent être utilisées. Choisissons par exemple la tangente.
Dans le triangle IJK rectangle en K :
[pic]


Exercice 2 : (Rennes 99)

1. Paul veut installer chez lui un panier de basket. Il doit le fixer à
3,05 m du sol. L'échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long.
À quelle distance du pied du mur doit-il placer l'échelle pour que son
sommet soit juste au niveau du panier ? (Donner une valeur approchée au cm
près.)
2. Calculer l'angle formé par l'échelle et le sol. (Donner une valeur
approchée au degré près.)

Correction :
1) Dans le triangle ABC rectangle en B, on a, d'après le théorème de
Pythagore :
AC² = AB² + BC²
3,2² = 3,05² + BC²
BC² = 3,2² - 3,05² = 0,9375
[pic]
Il doit placer l'échelle à 0,97 m du mur environ.

2) Dans le triangle ABC rectangle en B :
L'angle formé par l'échelle et le sol est l'angle [pic]
[pic]

Exercice 3 : (Antilles 96)
Soit ABC un triangle isocèle de base [BC], [AH] la hauteur issue du sommet
A.
On a : BC = 8 cm et AH = 7 cm.
1) Puisque ABC est isocèle en A, la hauteur issue de A est aussi la
médiatrice de [BC]. Il suffit donc de construire un segment [BC] de 8 cm,
de placer H le milieu de [BC] Puis on trace un segment de 7 cm passant
par H et perpendiculaire à (BC) pour obtenir le point A.
2) Puisque ABC est isocèle en A, la hauteur issue de A est aussi médiane
donc H est le milieu de [BC] et BH=BC\2=4
Dans le triangle ABH rectangle en H
[pic]
3) On utilise la touche "inverse tangente" de la calculatrice en mode degré
:
[pic]

Exercice 4 : (Afrique1 95) (3 points)
La figure ci-contre représente un triangle SET isocèle en E, et la hauteur
[SH] issue de S. On ne demande pas de refaire la figure.
On sait que les segments [ES] et [ET] mesurent 12 cm et que l'aire du
triangle SET est 42 cm2.
[pic]
1) Démontrer que la mesure h du segment [SH] est égale à 7 cm.
2) Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur EH.
3) Calculer la mesure arrondie au degré près de l'angle [pic].

Correction
1) A(SET) ( (base ( hauteur) : 2
( (ET ( h) : 2
Or A(SET) ( 42 donc on a l'égalité suivante : 42 ( (12 ( h) : 2

12 ( h ( 42 ( 2
h
( 84 : 12
h
( 7 cm
2) Le triangle SHE est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore
on a :
ES² ( EH² + HS²
12² ( EH² + h²
144 ( EH² + 49
EH² ( 144 - 49
EH² ( 95
[pic]
3) Dans le triangle EHS rectangle en H
[pic]


Exercice 5 : (Grenoble 97)
L'unité de longueur est le centimètre ; l'unité d'aire est le centimètre
carré.
On considère la figure ci-contre :
( le triangle ABC est rectangle en A ;
( AB = 3,6 ;
( BC = 6.
[pic]
1) Calculer la mesure de l'angle [pic](on donnera l'arrondi au degré).
2) Calculer AC.
3) Calculer l'aire du triangle ABC.
4) Soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).
Exprimer l'aire du triangle ABC en fonction de AH.
5) En déduire AH.

Correction :
1) Dans le triangle ABC rectangle en A :
[pic]
2) On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A
:
BC² = AB² + AC²
6² = 3,6² + AC²
AC² = 6² - 3,6² = 23,04
[pic]
3) Puisque ABC est rectangle en A :
Aire (ABC) = (AB ( AC) : 2 = 8,64 cm²
4) Aire (ABC) = (BC ( AH) : 2 = (6 ( AH):2 = 3 ( AH
5) 3 ( AH = 8,64
D'où AH = 8,64 : 3 = 2,88 cm






Exercice6 : (Poitiers 97)
1)
2) Dans le triangle ACD rectangle en D.
[pic]


3)la sécante (AC) détermine 2 angles alternes-internes [pic]
Comme (AB) et (CD) sont parallèles (côtés opposés d'un rectangle)
alors[pic]
4) E est sur la médiatrice de [AC] donc EA=EC et le triangle ACE est
isocèle en E.
5)
[pic]
car les angles à la base du triangle isocèle ACE sont égaux.
[pic]

Exercice 7 : (Dijon 97)
L'unité de longueur est le centimètre.
[pic]
On pose ED = x.
1) a) E est entre C et D donc 0(x(90
b) CE=90 - x
2) Dans le triangle BED rectangle en D :
[pic]
3) Dans le triangle NEC rectangle en C :
[pic]
4) a)
[pic]
b)
[pic]








Exercice : Trigonométrie et angle inscrit :
1. Construire un cercle de centre O et de rayon 3cm.
Placer sur ce cercle trois points A, B, C de telle façon
que BC = 4 cm et [pic].
Construire le point F diamétralement opposé au point B
sur ce cercle.
2. Démontrer que le triangle BFC est un triangle rectangle.
3. Calculer le sinus de l'angle [pic] et en déduire la
mesure de cet angle arrondie à un degré près.
4. Déterminer, au degré près, les mesures des angles du triangle BOC.








Corrigé :
[pic]
|1) |Figure ci-dessus. |
|2) |Un des côtés du triangle est un diamètre du cercle. Le |
| |troisième sommet, C, appartient au cercle : le triangle |
| |BCF est un triangle rectangle en C. |
|3) |Dans le triangle rectangle BCF, [pic]. |
| |A un degré près : [pic]. |
|4) |Pour le cercle dessiné, l'angle [pic] est l'angle au |
| |centre correspondant de l'angle inscrit [pic] : sa mesure |
| |est donc le double. |
| |A un degré près : [pic]. |
| |Dans le triangle BOC, isocèle de sommet O, (OB=OC), les |
| |deux angles à la base sont égaux à la moitié de 180°-84°. |
| |A un degré près, [pic]. |