Etude expérimentale d'une bobine 6pts

Correction : TERMINALES S - DS n°4
Exercice 1 : Etude expérimentale d'une bobine ( 10 points ) ( 55 minutes ) 1 - Détermination expérimentale de l'inductance L de la bobine On réalise le circuit électrique représenté ci-dessous (figure 1)
comprenant un GBF, une bobine de résistance r et d'inductance L et une
résistance R = 1,0(104 ( montés en série. Le GBF délivre une tension alternative triangulaire (tension en dents de
scie) de fréquence f = 1,0 kHz . Un système d'acquisition de données relié à un ordinateur permet d'afficher
à l'écran les variations en fonction du temps de la tension uL(t) aux
bornes de la bobine et de l'intensité i(t) du courant qui circule dans le
circuit (figure 2).
1.1. Vérifier à l'aide de la figure 2 que la fréquence du GBF est
effectivement réglée sur 1,0 kHz.
Le GBF délivre une tension alternative triangulaire: le courant i(t) qui
circule dans le circuit est triangulaire. Entre les points C et B du graphe
i(t) on a une période de i(t) telle que :
T = 1,6 - 0,60 = 1,0 ms =1,0(10-3 s.
Or la fréquence f est reliée à T par: f = [pic]
donc: f = [pic]= 1,0(103 Hz = 1,0 kHz.
( 1 : 0,5 pour T puis 0,5 pour f ) 1.2. Quelle est l'expression de la tension mesurée sur la voie 2 du système
d'acquisition ? En déduire les opérations que devra effectuer le logiciel
de traitement des données pour afficher l'intensité à l'écran.
Compte tenu du sens du courant choisi, la loi d'Ohm donne : u2 = - R.i
Pour afficher l'intensité i à l'écran, il faut créer une nouvelle variable
définie par i = - u2 / R.
On indiquera au logiciel de traitement des données i = - (u2 / 1,0(104 ) .
( 0,5 ) 1.3. Exprimer la tension uL aux bornes de la bobine en fonction des
caractéristiques de la bobine, de l'intensité i du courant et de sa dérivée
[pic] .
La tension uL aux bornes de la bobine est égale à la tension u1. Compte
tenu du sens du courant on a:
uL = r.i + L.[pic]
( 0,5 ) 1.4.1. Sur la figure 2, la représentation graphique de la fonction i(t)
montre qu'en réalité, les crêtes de l'intensité sont arrondies. Dans ces
conditions, la tangente au sommet est horizontale. En déduire une expression simplifiée de uL quand l'intensité dans le
circuit est extrémale.
Quand l'intensité dans le circuit est extrémale le terme [pic] est nul et
donc: uL = r.i.
( 0,5 ) A la lecture de i(t) pour t = 1,6 ms, que peut-on dire de r ?
Par lecture, on observe que uL ( 0 V pour t=1,6 ms donc r est très faible. ( 0,5 ) 1.5. On néglige dans la suite le terme faisant intervenir r dans
l'expression de uL ainsi que les arrondis des crêtes de l'intensité.
À partir de la demi-période comprise entre les points C et D de la figure
2, mesurer uL , calculer [pic] et en déduire la valeur de L.
Entre les points C et D, on mesure: uL = 0,200 V . (attention échelle à
droite)
D'autre part: [pic] ( [pic]
[pic][pic]= 1,6 A.s-1 (avec 2 chiffres significatifs.)
( 1 valeur et unité )
On néglige le terme faisant intervenir r dans l'expression de uL donc: uL =
L.[pic]
On en déduit donc la valeur de L, L = uL / [pic]
L = [pic]= 0,125 H = 0,13 H
( 0,5 ) 2 - Constante de temps d'un circuit RL En réalité, la valeur de r est de 12 (. La bobine est maintenant montée en série avec une résistance R' = 100 ( aux
bornes d'un générateur idéal de tension de f.e.m. E = 6,5 V (figure 3). Le système d'acquisition permet de suivre l'évolution de l'intensité du
courant dans le circuit en fonction du temps. La fermeture de
l'interrupteur à l'instant t = 0 déclenche l'acquisition. L'enregistrement
obtenu est représenté sur la figure 4.
2.1. Établir l'expression donnant l'intensité du courant en régime
permanent en fonction des caractéristiques du circuit. La loi d'additivité des tensions donne: E = uL + u
E = r.i + L. [pic] + R'.i
En régime permanent, l'intensité du courant est constante (donc [pic]= 0 )
et égale à sa valeur maximale notée I.
( 0,5 ) L'expression précédente devient E = r.I + R'.I
E = (r + R').I
Donc: I = [pic]
( 1 ) 2.2. Vérifier que la valeur de l'intensité du courant en régime permanent
obtenue sur le graphe de la
figure 4 est en accord avec les données de l'énoncé. Graphiquement, sur la figure 4, pour le régime permanent, on lit I
légèrement inférieure à 60 mA.
Par le calcul on a: I = [pic] = 5,8.10-2 A = 58 mA
Les deux valeurs sont donc en accord.
( 1 ) 2.3.1. Rappeler l'expression de la constante de temps d'un dipôle RL. La constante de temps du circuit RL est : ( = [pic] =[pic]
( 0,5 ) 2.3.2. Déterminer graphiquement sa valeur en faisant figurer la méthode
utilisée sur la figure 5 en annexe à rendre avec la copie.
On peut déterminer graphiquement la valeur de ( en utilisant la méthode de
la tangente à l'origine: la tangente à l'origine coupe l'asymptote
horizontale I = 58 mA en un point d'abscisse t = (.
On lit: ( = 1,1 ms.
( 0,5 ) remarque:
En utilisant la constante de temps du circuit RL :
( = L / (r + R') = 0,125 / 112 = 1,116.10-3 s ( 1,1 ms (avec valeur de L
calculée au 1.5. non arrondie)
On vérifie donc bien que les deux valeurs de ( sont en accord. 2.4. La résistance R' est en réalité une résistance réglable. On lui donne
maintenant la valeur 150 (. 2.4.1. Calculer la nouvelle intensité du courant en régime permanent. I ' = [pic]
Avec R' = 150 ( : I' = [pic] = 4,0(10-2 A = 40 mA.
( 0,5 ) 2.4.2. Calculer la constante de temps du nouveau dipôle RL. (' = [pic]
(' = [pic] = 7,7(10-4 s = 0,77 ms
( 0,5 ) 2.4.3. Représenter avec soin la courbe représentant l'évolution de
l'intensité du courant en fonction du temps i = f(t) sur la figure 5 en
annexe, à rendre avec la copie.
Vous utiliserez une couleur différente pour cette nouvelle courbe et
prendrez soin d'utiliser les calculs des questions 2.4.1 et 2.4.2 . ( 1 : ( et ( ou ( ) Afin de tracer la nouvelle courbe représentative de i=f(t), nous allons
procéder ainsi:
( Tracer l'asymptote horizontale I ' = 40 mA,
( Placer le point de coordonnées (t = 5(' = 3,9ms ; i = I' = 40 mA),
( Placer le point de coordonnées ( t = (' = 0,8 ms ; i = 0,63(I' = 25 mA)
( Utiliser la tangente à l'origine déjà représentée sur la figure 5.
En effet l'expression théorique de i(t) est : i(t) = [pic]. (1 - e-t/() ou
i(t) = [pic]- [pic].e-t/(
La dérivée a pour expression [pic]= -[pic](-[pic].e-t/(
avec ( = [pic]
alors [pic]= [pic]( [pic].e-t/(
[pic]= [pic].e-t/(
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de
i=f(t) à la date t = 0 s a pour expression : [pic]= [pic] donc ce
coefficient n'est pas modifié si seule la valeur de R change. Exercice 2 : Dipôles RC et RLC ( 5,5 points ) ( 35 minutes ) On considère le circuit électrique comportant un générateur de tension
continue de f.é.m E = 6 V, un condensateur de capacité C, une bobine
d'inductance L et de résistance négligeable, deux conducteurs ohmiques de
résistance R et deux interrupteurs K et K'(voir figure 1).
On utilise un dispositif informatisé d'acquisition de données qui permet de
visualiser sur la voie 1 la tension u1 aux bornes du condensateur en
fonction du temps.
A - Première expérience Dans cette expérience, on ferme K (en maintenant K' ouvert). Le dipôle
(R,C) est alors soumis à un échelon de tension de valeur E. 1. Quel est le nom du phénomène observé sur la voie 1 à la fermeture de K ?
A la fermeture de l'interrupteur, le condensateur se charge. On observe un
régime transitoire (u1 ne passe pas immédiatement de 0 à 6V).
( 0,5 ) 2. Reproduire sur la copie la partie de circuit concernée et indiquer sur
ce schéma, juste après la fermeture de l'interrupteur K, le sens du
courant, le signe des charges de chacune des armatures du condensateur.
Indiquer la flèche-tension u1 aux bornes du condensateur.
Voir figure ci-dessus :
( 0,5 ) +q ( 0,5 ) i et u1 3. Sur la voie 1, on obtient la courbe de la figure 2 ci-dessous
Déterminer graphiquement, la constante de temps ( du dipôle (R,C) en
expliquant la méthode utilisée. Sachant que R = 20 (, en déduire la valeur
de la capacité C. Pour u1 = 0,63(E = 3,8 V, on a t = (
Soit ( = 0,4 ms
On peut tracer la tangente à la courbe en t =0s,
elle coupe l'asymptote horizontale en t = (. ( 0,5 ) C= [pic] ( 0,5 ) 4. L'étude théorique du dipôle(R,C) conduit à l'équation différentielle (
+ u1 = E .
a) Retrouver cette équation différentielle en appliquant la loi
d'additivité des tensions D'après la loi d'additivité des tensions:
on a E = u1 + uR
Soit E = u1 + R×i or i = [pic] et q = C×u1
Il vient E = u1 + R×C[pic] on retrouve l'équation différentielle proposée
avec ( = R×C ( 1 ) b) Compte tenu des conditions initiales, la solution de cette équation
est de la forme
u1 = E .[pic]. Calculer la valeur de u1 pour t = 5(. Conclure. Pour t = 5(, on a : u1 = E . [pic] = E (1 - e-5) = 0,99×E = 5,96 V
On peut considérer que pour une durée égale à 5(, le condensateur est
chargé. ( 0,5 ) B - Deuxième expérience Une fois la première expérience réalisée, on ouvre K puis on ferme K'. Le
circuit est alors le siège d'oscillations électriques. On utilise le mène
dispositif informatisé d'acquisition de données pour visualiser, sur la
voie 1, la tension u1 aux bornes du condensateur et sur la voie 2, la
tension u2 aux bornes du conducteur ohmique R. L'acquisition est
synchronisée avec la fermeture de l'interrupteur. On obtient les courbes de
la figure 3 : 1. A