NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la ...

Les calculatrices sont autorisées.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition
en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Avertissement : Tous les résultats numériques sont demandés dans un format
scientifique avec une précision au millième (exemple : 1,623.10-3) et en
unité S.I., unité qui est à préciser.
Exercice 1 : Equilibrage statique d'un vilebrequin
La tête de vilebrequin (S) dessinée ci-dessous est composée de 2 cylindres
(C1) et (C2). (C1) possède un rayon [pic] et une hauteur H. (C2) possède un
rayon [pic] et une hauteur H. Dans (C1), on a percé un trou (C3) de rayon
[pic] de hauteur H. (C1) et (C2) sont constitués d'un matériau homogène de
masse volumique [pic].
Le référentiel terrestre [pic] est considéré comme galiléen ; il est
rapporté au repère [pic]. Le référentiel [pic] est fixe. Le point O est le
centre de gravité du cylindre (C1).
On note G2 et G3 les centres de gravité respectifs du cylindre (C2) et du
trou (C3).
On note [pic] et [pic] [pic]
1. Déterminer les masses m1 et m2 des cylindres (C1) et (C2). En déduire la
masse totale m de la tête de vilebrequin (S) constitué de (C1), (C2) et
(C3).
2. Déterminer la position du centre de gravité G de la tête de vilebrequin
(S) en fonction de [pic], [pic], H et L.
Les matrices d'inertie des cylindres (C1) et (C2) aux points O et G2 sont
de la forme :
[pic] et [pic]
3. Déterminer la matrice d'inertie [pic] de la matière retirée du trou (C3)
au point G3 en fonction de m2, A2 et C2. Justifier votre réponse.
4. Déterminer la matrice d'inertie [pic] de la matière retirée du trou (C3)
au point O.
5. Déterminer la matrice d'inertie [pic] du cylindre (C2) au point O.
6. Déterminer la matrice d'inertie [pic] de la tête de vilebrequin (S) au
point O.
7. On bouche le trou (C3) à l'aide d'un matériau de masse volumique [pic].
Déterminer [pic] pour que la nouvelle position du centre de gravité G de
la tête de vilebrequin (S) soit sur l'axe [pic] .
Exercice 2 : Barrage poids
[pic]
Un barrage poids en béton, de section droite rectangulaire (ab) repose sur
le sol. Il permet de retenir de l'eau à une hauteur h (h[pic]b).
Le référentiel terrestre [pic] est considéré comme galiléen ; il est
rapporté au repère [pic]. Le référentiel [pic] est fixe.
On note [pic] l'accélération de la pesanteur.
On note [pic] la masse volumique de l'eau et [pic]celle du béton.
On ne considérera dans cette étude qu'une unité de longueur du barrage.
On néglige la pression atmosphérique. 1. Déterminer la pression p exercée par l'eau sur la paroi verticale du
barrage au point M en fonction de [pic], g, h et y.
2. Déterminer le torseur d'action mécanique [pic] de l'eau sur le barrage
au point O.
3. Déterminer le torseur d'action mécanique [pic] de la pesanteur sur le
barrage au point O.
L'action du sol sur le barrage au point I est schématisée par un vecteur
[pic]. On note [pic] la distance du point O au point I.
4. Déterminer le torseur d'action mécanique [pic] du sol sur le barrage au
point O.
5. En étudiant l'équilibre du barrage, déterminer X, Y et [pic] en fonction
de [pic], [pic], g , a, b et h.
On considère maintenant que l'eau monte jusqu'en haut du barrage ([pic]).
6. Déterminer le coefficient de frottement f minimal entre le sol et le
barrage pour assurer le non glissement du barrage sur le sol en fonction
de [pic], [pic], a et b.
7. Déterminer la largeur a minimale à respecter pour assurer le non
basculement du barrage en fonction de [pic], [pic] et b.
Exercice 3 : Etude d'un excentrique
L'excentrique (1) de masse [pic] est assimilé à un disque de centre de
gravité C et de rayon a. Cet excentrique est en liaison pivot sans
frottement d'axe [pic] avec le bâti (0).
La tige (2) de masse [pic] est en liaison glissière sans frottement d'axe
[pic] avec le bâti (0).
L'excentrique (1) et la tige (2) sont en contact ponctuel avec frottement
au point I.
Le référentiel terrestre [pic] est considéré comme galiléen ; il est
rapporté au repère [pic]. Le référentiel [pic] est fixe.
On note [pic] le référentiel rapporté au repère orthonormé direct [pic] tel
que [pic]. Le repère [pic], rigidement lié à l'excentrique (1) se déduit à
chaque instant de [pic] par une rotation d'angle ? autour de l'axe [pic].
L'excentrique (1) est mis en mouvement à l'aide d'un couple moteur [pic] et
tourne à vitesse constante [pic] autour de l'axe [pic], provoquant ainsi un
mouvement de translation alternatif de la tige (2).
L'action [pic] exercée par l'excentrique (1) sur la tige (2) possède une
composante sur l'axe [pic] égale à [pic] où A et B sont des coefficients
que l'on ne cherchera pas à déterminer.
On note ? l'angle entre [pic] et [pic] et [pic] l'accélération de la
pesanteur. [pic]
1. Déterminer la vitesse [pic] du point C appartenant à l'excentrique (1)
par rapport au bâti (0) et l'exprimer dans [pic].
2. Déterminer la vitesse [pic] du point I appartenant à l'excentrique (1)
par rapport au bâti (0) et l'exprimer dans [pic].
3. En déduire la vitesse de glissement [pic] au point I entre la tige (2)
et l'excentrique (1) ainsi que la vitesse [pic] du point I appartenant à
la tige (2) par rapport au bâti (0) et les exprimer dans [pic].
4. Déterminer l'énergie cinétique [pic] de l'excentrique (1) dans son
mouvement par rapport au bâti (0).
5. Déterminer l'énergie cinétique [pic] de la tige (2) dans son mouvement
par rapport au bâti (0).
6. En déduire l'énergie cinétique [pic] du système (S) composé de
l'excentrique (1) et de la tige (2).
7. Déterminer [pic] la puissance des efforts intérieurs au système (S).
8. Déterminer [pic] la puissance des efforts extérieurs appliqués au
système (S).
9. Enoncer clairement le théorème de l'énergie cinétique.
10. En appliquant ce théorème au système (S), déterminer l'expression du
couple moteur [pic] qui entraîne en rotation l'excentrique (1) à
vitesse constante. Fin de l'énoncé -----------------------
M
SESSION 2005 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________
Epreuve spécifique concours Physique
MECANIQUE PARTIE II
Durée : 2 heures