Analyse des erreurs langagières en mathématique - Yveline PUAULT

Université Paris 8
UFR de Psychologie
Les conceptions des objets mathématiques portées par le langage :
Analyse des erreurs langagières en mathématique Yveline PUAULT Sous la direction de Monsieur A.Rouchier Mémoire pour le DESS de Psychologie de l'Education
Septembre 2005 Résumé : Cette étude porte sur le rapport étroit qu'entretiennent langage et
mathématiques, ainsi que sur l'apport de l'analyse des erreurs langagières
en mathématiques.
Elle est fondée sur l'hypothèse que les erreurs en général, et plus
précisément les erreurs langagières, peuvent nous renseigner sur le type de
rapport aux objets mathématiques qu'entretiennent les élèves en difficulté.
Elle interroge le rôle de la formulation écrite de l'enseignant dans
l'installation de ce rapport et sa remédiation possible. Elle souligne la
variété de facteurs pouvant entrer dans l'apparition de ces erreurs, tout
en privilégiant une approche didactique dans l'analyse, pour mettre en
valeur ce qu'elles peuvent nous dire du rapport personnel des élèves et de
leurs conceptions face aux objets de connaissance en mathématiques.
Elle est développée à partir de l'analyse de cahier de cours et de séances
de remédiation psychopédagogique en mathématiques en relation duelle
d'enfants en difficulté. Elle permet de dresser une typologie des erreurs
qui renseignent sur l'imbrication étroite du langage naturel et de la
langue mathématique. L'analyse fine des erreurs met en évidence un style de
rapport personnel au savoir et le rôle de la formulation dans les
conceptions des objets mathématiques. Elle met en évidence l'importance des
implicites portés par le langage et la nécessité d'y prêter attention
pendant l'échange didactique.
Mots-clés :
Didactique, langage, erreurs, mathématiques, rapport au savoir,
conceptions.
Sommaire
Sommaire.....................................................................
......................... 1
Remerciements...............................................................
....................... 2
Introduction..................................................................
........................ 3
Précisions de
vocabulaire..................................................................
....... 4
Les relations entre le langage et les mathématiques
................................. 5 1. Le langage porteur d'une conception du
monde ............ 5
2. La langue utilisée en mathématiques
........................ 6
3. La langue naturelle autour des mathématiques
............. 8 L'approche
didactique...............................................................
...... 9 4. Les caractéristiques de la langue
mathématique............ 9
5. La place de la verbalisation dans la
conceptualisation..... 12
6. La place de l'erreur dans la recherche en
didactique....... 14
7. Les rapports au
savoir............................................
17
I. Problématique
........................................................................
...... 18
II. Méthodologie
........................................................................
...... 19
III. Typologie des erreurs
.....................................................................
21
IV. Analyse des
erreurs..................................................................
...... 21
A. Les erreurs dues à une difficulté du côté
langagier ........................ 21 1 Les erreurs provenant de difficultés mathématiques
.......................... 24 B. Les erreurs renforcées ou provoquées par la formulation
mathématique 30
C. Les erreurs dues à la difficulté de
secondariser............................. 42
D. Les erreurs représentatives du rapport au
savoir............................... 43
V. Commentaire des
analyses...............................................................
47
Conclusion..................................................................
.......................... 49
Bibliographie...............................................................
........................ 51
Annexe 1 : Séances
d'Elodie................................................................
53
Annexe 2 : Séances de Medhi
............................................................... 89
Hors de ce document :
Annexe 3 : Cahier
d'Elodie...................................................................
122
Annexe 4 : Extraits du manuel
d'Elodie.................................................... 140
Annexe 5 : Contrôle d'Elodie
................................................................. 143
Remerciements
Je remercie Madame G.Ricco, Professeure des Universités, à l'Université
Paris 8, qui nous fait l'honneur de présider ce jury et m'a initié à la
didactique. Je remercie également Monsieur A.Rouchier, Professeur des Universités, à
l'Université Bordeaux 2, pour l'impulsion qu'il a donné à mon travail en
attirant mon attention sur les points essentiels à traiter. Je remercie Monsieur J.Toussaint, Professeur des Universités à l'IUFM de
Lyon pour sa participation à ce jury. Je remercie vivement Madame E.Dosik, psychopédagogue au CMPP Pichon-Rivière
à Paris, pour avoir accepté de me laisser décortiquer ce travail si délicat
d'accompagnement des enfants en difficulté. Je tiens à exprimer ma reconnaissance à Madame Bautier, Professeure des
Universités, à l'Université de Paris 8, pour l'attention qu'elle a portée à
cette étude et pour les recherches qu'elle mène avec l'équipe ESCOL qui
m'ont incité à entreprendre ce travail.
Introduction Les difficultés d'un grand nombre d'élèves en mathématiques, ainsi que la
désaffection croissante des étudiants pour les études scientifiques,
interrogent l'enseignement des mathématiques, dans son déroulement, comme
dans les conditions susceptibles de favoriser ces acquisitions.
Au sein de ces questions sont pointées depuis les années 80, les
difficultés d'expression et de compréhension profonde du français à l'école
(rapport de mission sur l'enseignement des mathématiques, 1988) qui
entraîneraient en partie les difficultés mathématiques. Une quinzaine
d'années plus tard, dans le programme des collèges en mathématiques
(introduction générale pour le collège / sept.2004), il est demandé
« d'être attentif au langage et aux significations diverses d'un même
mot ». Il est également donné des conseils pour « faire admettre la
nécessité d'un langage précis... (et que) l'obligation de précision
apparaisse (à l'élève) comme une nécessité. ».
La contradiction conjoncturelle entre un relâchement et appauvrissement
langagier des jeunes générations d'une part et de l'exigence langagière
particulièrement à l'?uvre en mathématiques d'autre part interroge : la
part du langage dans les erreurs en mathématiques est-elle si importante et
quelles vont en être les conséquences ?
Depuis une dizaine d'années, la place de la langue dans les acquisitions
scolaires a été abordée par différentes disciplines : les sciences de
l'éducation, s'intéressant particulièrement à son rôle dans la construction
des inégalités scolaires ; la linguistique pour l'analyse des discours
transmis aux élèves ; la didactique, enfin, le langage en temps que
phénomène social et psychique total, faisant partie des « conditions faites
à la connaissance » (Chevallard, cité par Schubauer-Leoni, 18). Dans ce
cadre d'analyse des conditions de fonctionnement de la transmission de
savoirs scientifiques, des recherches se sont intéressées aux processus de
preuves, aux situations de communication et à l'élaboration et
l'appropriation de langages spécifiques aux sciences. Les recherches les
plus récentes s'intéressent aux interactions verbales en classe et à
l'analyse des pratiques professionnelles par le biais de l'étude des
situations. Je me suis intéressée pour ma part à l'aspect privé, individuel
de l'intermédiaire langagier, en m'appuyant sur une visée plus
anthropologique de l'étude du contrat didactique (Chevallard, 1992). Le
suivi d'élèves en difficulté en mathématiques m'a semblé une approche
appropriée pour essayer d'analyser ce qui est de l'ordre de la langue dans
les erreurs en mathématiques, à la fois comme outil d'expression de la
connaissance mise en place sur les objets mathématiques et comme objet
d'apprentissage participant à la formulation mathématique. Dans une partie
de l'étude, je m'intéresserai à l'analyse des erreurs langagières et en
quoi elle contribue à éclairer un des médiateurs de la transformation du
savoir en connaissances. J'interrogerai ensuite sur la place de la langue
employée par les élèves et les enseignants dans la facilitation (ou pas) du
passage du rapport institutionnel à un rapport personnel aux savoirs.
Précisions de vocabulaire Il est tout d'abord nécessaire de définir un certain nombre d'expressions
qui vont être employées tout au long de cette étude. Nous nous référerons
essentiellement aux termes définis par C. Laborde dans sa thèse consacrée
aux interactions entre langue naturelle et
écriture symbolique en mathématiques .(1982, 14)
Nous distinguerons :
- la langue naturelle ou courante : le langage étant la capacité de
l'humain à