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INTRODUCTION AUX ANALYSES MULTIDIMENSIONNELLES
EXERCICES DE SYNTHESE CORRIGES
Exercice 1 On a rassemblé les résultats de 15 enfants de 10 ans à 6 subtests du WISC
(scores 0 à 5). Les variables observées sont : CUB (Cubes de Kohs), PUZ
(Assemblage d'objets), CAL (Calcul mental), MEM (Mémoire immédiate des
chiffres), COM (Compréhension de phrases), VOC (Vocabulaire). Le protocole
observé est le suivant :
|WISC|CUB|PUZ|CAL|MEM|COM|VOC|
|I1 |5 |5 |4 |0 |1 |1 |
|I2 |4 |3 |3 |2 |2 |1 |
|I3 |2 |1 |2 |3 |2 |2 |
|I4 |5 |3 |5 |3 |4 |3 |
|I5 |4 |4 |3 |2 |3 |2 |
|I6 |2 |0 |1 |3 |1 |1 |
|I7 |3 |3 |4 |2 |4 |4 |
|I8 |1 |2 |1 |4 |3 |3 |
|I9 |0 |1 |0 |3 |1 |0 |
|I10 |2 |0 |1 |3 |1 |0 |
|I11 |1 |2 |1 |1 |0 |1 |
|I12 |4 |2 |4 |2 |1 |2 |
|I13 |3 |2 |3 |3 |2 |3 |
|I14 |1 |0 |0 |3 |2 |2 |
|I15 |2 |1 |1 |2 |3 |2 |
On traite ces données par une analyse en composantes principales normée.
Les principaux résultats de cette ACP sont indiqués ci-dessous :
Corrélations
| |CUB |PUZ |CAL |MEM |COM |VOC |
|CUB |1,0000|0,7320|0,9207|-0,449|0,3086|0,2735|
| | | | |1 | | |
|PUZ |0,7320|1,0000|0,7510|-0,614|0,2814|0,2850|
| | | | |3 | | |
|CAL |0,9207|0,7510|1,0000|-0,368|0,4077|0,4869|
| | | | |5 | | |
|MEM |-0,449|-0,614|-0,368|1,0000|0,3032|0,2023|
| |1 |3 |5 | | | |
|COM |0,3086|0,2814|0,4077|0,3032|1,0000|0,7819|
|VOC |0,2735|0,2850|0,4869|0,2023|0,7819|1,0000|
Val. Propres (matrice de corrél.) & stat. associées
Variables actives seules | |Val. |% Total |Cumul |Cumul |
| |propr | | | |
| | |variance|Val. |% |
| | | |propr | |
|1 |3,2581 |54,3020 |3,2581 |54,3020 |
|2 |1,8372 |30,6194 |5,0953 |84,9214 |
|3 |0,4430 |7,3831 |5,5383 |92,3044 |
|4 |0,2538 |4,2292 |5,7920 |96,5337 |
|5 |0,1679 |2,7990 |5,9600 |99,3327 |
|6 |0,0400 |0,6673 |6,0000 |100,0000| Scores, contributions et qualités de représentation des individus | |Score |Score |Contrib|Contrib|Cos2 |Cos2 |
| | | |ution |ution |Fact.|Fact. |
| |Fact. |Fact. |Fact.1 |Fact.2 |1 |1&2 |
| |1 |2 | | | | |
|I1 |-2,561|3,0568|13,43 |33,91 |0,407|0,5807|
| |6 | | | |8 | |
|I2 |-0,966|0,9370|1,91 |3,19 |0,390|0,3676|
| |1 | | | |7 | |
|I3 |0,6765|-0,662|0,94 |1,59 |0,444|0,4263|
| | |4 | | |6 | |
|I4 |-2,796|-1,463|16,01 |7,77 |0,716|0,1961|
| |9 |6 | | |0 | |
|I5 |-1,842|0,1211|6,95 |0,05 |0,814|0,0035|
| |3 | | | |2 | |
|I6 |1,8891|0,1350|7,30 |0,07 |0,842|0,0043|
| | | | | |6 | |
|I7 |-2,339|-1,548|11,20 |8,70 |0,602|0,2641|
| |6 |7 | | |8 | |
|I8 |0,7275|-2,205|1,08 |17,65 |0,081|0,7499|
| | |4 | | |6 | |
|I9 |2,8400|0,5423|16,50 |1,07 |0,874|0,0319|
| | | | | |5 | |
|I10 |2,1733|0,6117|9,66 |1,36 |0,743|0,0589|
| | | | | |3 | |
|I11 |1,2940|2,0373|3,43 |15,06 |0,225|0,5592|
| | | | | |6 | |
|I12 |-0,994|0,8181|2,02 |2,43 |0,312|0,2110|
| |7 | | | |0 | |
|I13 |-0,609|-0,873|0,76 |2,77 |0,194|0,3994|
| |9 |0 | | |9 | |
|I14 |2,0150|-0,947|8,31 |3,25 |0,754|0,1667|
| | |0 | | |8 | |
|I15 |0,4957|-0,559|0,50 |1,13 |0,115|0,1464|
| | |1 | | |1 | | Saturations, contributions et qualités de représentation des variables | |Satura|Satura|Contrib|Contrib|Cos2 |Cos2 |
| |tion |tion |ution |ution |Fact.|Fact.2|
| |Fact. |Fact. |Fact.1 |Fact.2 |1 | |
| |1 |2 | | | | |
|CUB |-0,897|0,2018|0,25 |0,02 |0,804|0,8453|
| |0 | | | |6 | |
|PUZ |-0,865|0,2883|0,23 |0,05 |0,748|0,8316|
| |2 | | | |5 | |
|CAL |-0,945|0,0390|0,27 |0,00 |0,894|0,8960|
| |8 | | | |5 | |
|MEM |0,4449|-0,786|0,06 |0,34 |0,198|0,8160|
| | |1 | | |0 | |
|COM |-0,538|-0,762|0,09 |0,32 |0,289|0,8714|
| |2 |7 | | |7 | |
|VOC |-0,568|-0,715|0,10 |0,28 |0,322|0,8350|
| |3 |6 | | |9 | | Représentation des individus dans le premier plan factoriel [pic] [pic] 1) Etude du tableau des valeurs propres
a) A quoi correspond la somme des valeurs propres ? La somme des valeurs propres est égale à 6. Dans le cas d'une ACP normée
telle que celle qui est effectuée ici, cette somme est égale au nombre de
variables. Cette valeur correspond également à la variance du nuage des
individus. b) On choisit de n'étudier que les deux premières composantes principales.
Justifier ce choix en analysant le tableau des valeurs propres. On peut choisir de ne s'intéresser qu'aux valeurs propres dont la
contribution à la variance est supérieure à la moyenne. Ceci revient à
étudier les composantes principales correspondant à des valeurs propres
supérieures à 1. Or, seules les deux premières valeurs propres vérifient
cette propriété sur l'exemple fourni. 2) Etude du tableau des corrélations
a) Quels sont les subtests les plus fortement corrélés entre eux ? Les corrélations les plus fortes sont celles correspondant aux coefficients
de corrélation les plus proches de 1 ou -1. Ici, le coefficient de
corrélation dont la valeur absolue est la plus proche de 1 est celui qui
relie CUB et CAL. b) Comment s'organisent les signes "+" et les signes "-" dans le tableau
des coefficients de corrélation. Commenter. La plupart des coefficients de corrélation sont positifs. Autrement dit, un
bon résultat à un test est, en règle général, lié à de bons résultats aux
autres tests.On note toutefois une exception remarquable : la variable MEM
(mémoire immédiate des chiffres) est corrélée négativement à 3 autres
variables : CUB, PUZ et CAL. Mais ce sont les seuls coefficients négatifs
du tableau. 3) Etude des qualités de représentation dans le premier plan principal
Quel est l'individu le moins bien représenté par le premier plan principal
? Quel est l'individu le mieux représenté ? Les qualités de représentation des individus dans le premier plan factoriel
sont obtenues en additionnant les résultats des deux colonnes "Cos2" du
tableau relatif aux individus. Le sujet le mieux représenté est I1, avec
une qualité de représentation de 0,9885, le plus mal représenté est I15,
avec une qualité de 0,2615. 4) Etude du nuage des individus.
a) Quels sont les individus dont la contribution à la formation de la
première composante principale est supérieure à la moyenne ? Pour chacun
d'eux, préciser le signe de la coordonnée correspondante. Les individus envisagés ici sont ceux dont la contribution est supérieure à
6,67%. Ce sont les individus suivants :
|- |+ |
|I4 |I9 |
|(16,01%)|(16,5%) |
|I1 |I10 |
|(13,43%)|(9,66%) |
|I7 |I14 |
|(11,2%) |(8,31%) |
|I5 | |
|(6,95%) | | Caractériser cet axe en termes d'opposition entre individus. Cet axe oppose les individus I4, I1, I7 et I5 d'une part aux individus I9,
I10 et I14 d'autre part.
Les sujets du premier groupe obtiennent des scores généralement plus élevés
que ceux du 2è groupe, particulièrement sur les variables CUB, PUZ et CAL. b) Même question pour la deuxième composante principale. |- |+ |
|I8 |I1 |
|(17,65%)|(33,9%) |
|I4 |I11 |
|(7,73%) |(15,06%) |
Cet axe oppose les individus I8 et I4 d'une part aux individus I1 et I11
d'autre part. On peut noter que l'individu I1 explique à lui seul plus du
tiers de la variance de cet axe. 5) Etude du nuage des variables
a) La représentation graphique des variables montre qu'elles sont toutes
très bien représentées dans le plan (CP1, CP2). Justifier cette
affirmation. Les extrémités des vecteurs représentant les variables sont toutes très
proches du cercle des corrélations, ce qui montre que les qualités de
représentation des variables sont satisfaisantes. D'autre part la dernière
colonne du tableau des résultats relatifs aux variables montre que la
variable la plus mal représentée est MEM, avec une qualité qui atteint
quand même 0,8816. b) Quelles sont les variables qui sont corrélées positivement avec le
premier facteur principal ? Quelles sont celles qui sont corrélées
négativement ? Comment peut-on caractériser cet axe par rapport aux
variables de départ ? Les corrélations peuvent être lues sur le dessin ou sur le tableau des
saturations. Seule la variable MEM est corrélée positivement avec le
premier axe, toutes les autres sont corrélées négativement. Ainsi, cet axe
oppose le résultat au test MEM à tous les autres tests. c) Quelles sont les variables qui ont joué un rôle dominant dans la
formation du deuxième axe. Les corrélations les plus fortes sont observées pour les variables MEM, COM
et VOC. Ces variables sont toutes trois corrélées négativement avec la
variable CP2. 6) En utilisant les scores centrés-réduits des individus, on a obtenu le
graphique suivant :
[pic]
a) Quelle est la méthode dont les résultats sont représentés à l'aide de
graphiques de ce type ? Il s'agit ici d'une classification ascendante hiérarchique. b) L'examen de ce graphique suggère de réaliser une partition des sujets
soit en de