Résumé article : la série entière Historique de ... - Georges VIDIANI

Résumé article : la série entière Historique de Hardy
Vidiani (Dijon) Version 14 03 08 11h25
Voici l'article "la série Entière de Hardy"
La recherche et la quête et l'obtention de certains documents
bibliographiques pour vérification d'une étude éventuelle antérieure par
Hardy, dans ses années de jeunesse, m'ont pris beaucoup de temps, mais je
ne le regrette pas vu ce que j'ai découvert, en particulier sur les
conséquences de la rareté sur le mercantilisme.

@+ LGV
http://coup-de-pouce.be/textes.php?show=68 (couverture partagée)
site (en construction) http://lg_vidiani.club.fr/index.htm

*** 18 Articles sur site :
http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/html/juel/juel.html ***


----- Original Message -----
From: Georges Vidiani
To: Georges Vidiani
Sent: Sunday, January 13, 2008 3:31 PM
Subject: Fw: Résumé annonce de l'article : Une série entière historique !
version 13 janvier 2008
Version 13 Janvier 2008


Mme Proust voilà le préambule de "une série entière historique) où j'ai mis
pas mal de choses en particulier sur la numérisation

Voici l'en tête résumé de cet article (j'y mets beaucoup de choses, pour
que les liens soient actifs, ce qui facilite le report du lecteur,
contrairement au pdf où il est obligé de copier le lien pour le reporter
dans la bande adresse des sites pour y avoir accès)

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Avertissement au lecteur : ce préambule est assez long, car vues la
richesse et la multiplicité des liens qu'implique le sujet, j'ai tenu à
mettre tous les liens accessibles par simple click, pour faciliter la
consultation par le lecteur (merci LGV disent les lecteurs), en effet sous
le format pdf les liens ne sont pas actifs et il faut les copier coller
dans la ligne d'adresse des sites pour y avoir accès.

Une série entière historique !
La série de HARDY;

Il ne faut jamais dire "Fontaine je ne boirais plus de ton eau", ou dire
qu'une piste est close : en sciences tout travail reste ouvert,
contrairement aux travaux de maçonnerie ou les visages humains, ou des
oeuvres d'art, dont il faut "réparer des ans l'irréparable outrage"
(Athalie dans Andromaque de Racine). Je viens d'en faire la
passionnante expérience :

Je croyais tout savoir, comme les ignorants (nombreux à notre époque) qui
ignorent leur ignorance, sur le rayon de la série entière de terme
géneral [pic], avec y=racine de 2,
objet du problème des Mines 1961, et repris périodiquement dans de
nombreuses questions d'oral ou dans des livres d'exercices corrigés, par
exemple, dans le fondamental "exercices d'analyse" (Masson année phare
"1968") par Râmis, quand une discussion (juin 2007) sur le forum ups-math
entre professeurs de mathématiques spéciales, attira l'attention sur la
planche 27-I de l'officiel de la taupe (odlt@odlt.fr), posée en 2006 à
l'école Polytechnique :
Quel est le rayon de la série entière de terme général [pic], où y est
réel non


rationnel ? Le racine de 2 du sujet des Mines 1961 est remplacé par y
réel non rationnel p/q (s'il l'était, le dénominateur serait nul pour tous
les n de la forme kq, et le terme général de la série, non défini). Et cela
change tout car comme nous allons le voir si y est algébrique non
rationnel, le rayon est 1, tandis que s'il est transcendant, on peut le
choisir tel que le rayon soit tout nombre donné entre 0 et 1.

Le théorème ergodique ponctuel de Birkhoff (1932)
(http://fr.wikipedia.org/wiki/George_David_Birkhoff,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_ergodique, dont une démonstration
est par exemple dans le livre d'exercices de mathématiques pour
l'Agrégation (ne pas oublier le A majuscule) analyse 1 par Chambert-Loir
Fermigier, Maillot (Masson 1994 p 177-180 et p 133-136), mais aussi en
http://perso.univ-rennes1.fr/yves.coudene/2.ps ), permet de démontrer que
le rayon cherché est 1, pour "presque tout y", c'est à dire pour tout y de
R privé d'un ensemble négligeable. Ce qui fait que les y pour lesquels le
rayon sera un nombre choisi entre 0 et 1 seront "bizarres" et sporadiques.

Un interlocuteur du forum a cité alors le livre http://www.editions-
ellipses.fr/fiche_detaille.asp?identite=2962, remarquable où un article de
Queffélec p 127-138, montre que ce résultat a été rappelé et considéré
comme "connu" dans les premières lignes d'un articles par Hardy en 1946.

Le départ du problème est essentiellement la formule d'Hadamard pour le
rayon d'une série entière http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Biographies/Hadamard.html,
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re

Je ne résiste pas à vous évoquez le fabuleux rébus d'Hadamard qui inspira
Colomb
http://fr.wikipedia.org/wiki/Georges_Colomb
pour son savant Cosinus (une fois il parti en montagne avec son épouse, il
redescendit en ayant oublié sa moitié) :
http://poissonvolant.monblogue.branchez-vous.com/2004/12/11 et surtout
http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/analyse/vidiani_hadaq.pdf

Il y a de multiples cours sur les fractions continues, nous ferons
référence au cours mis en ligne sur l'encyclopédie wikipedia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue,
où c'est essentiellement le théorème 5 qui sera utile.
Vous remarquerez que dans les exemples de nombres ayant un développement
périodique, il y a le nombre d'or, qui a même un tel développement le plus
simple (il n'y a que des 1). Il n'est pas sans intérêt de remarquer que ce
nombre intervient en dynamique du système solaire comme le montre le
travail de Jean-Marie Souriau (http://www.jmsouriau.com/)
http://www.jp-petit.com/science/gal_port/souriau.htm et la relation de son
travail : http://www.jp-petit.com/science/f700/f701.htm où l'on trouve une
mesure de l'irrationalité d'un nombre (due à Liouville, Hurtwitz, Borel) et
l'on constate que le nombre d'or est le "plus irrationnel possible". Ce
document est maintenant accessible sur
le site de Jean Marie Souriau en "Grammaire de la Nature" disponible sur
www.jmsouriau.com
http://www.jmsouriau.com/Publications/Grammaire%20de%20la%20Nature/JMSouriau
-GrammaireDeLaNature8juillet2007-complet.pdf
en la page 102.(sur 275).



Je ne résiste pas au plaisir de vous y signaler le théorème surprenant de
Kinchin (ou parfois écrit Kintchine)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Iakovlevitch_Khintchine (indiqué 8
lignes juste avant le paragraphe regroupant les théorèmes utiles) : sur R
sauf sur un ensemble de mesure nulle la moyenne géométrique des a_i du
développement d'un tel réel x, tend vers une constante (de Kinchin)
indépendante donc du nombre x. La démonstration en 22 pages de Khintchine
faite en 1934 est accessible sur le web en

http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1935__1__361_0 ;
je vous conseille de choisir le format pdf et comme je l'ai fait toute ma
carrière de toujours choisir
pour comprendre une découverte, l'auteur initial : par exemple pour la
théorie des distributions se référer aux oeuvres de Laurent Schwartz, car
seul l'inventeur a une vue d'ensemble, les suivants étant sauf exception
des plagiaires.

Enfin concernant la série historique, objet de l'article, il faut savoir
que Hardy et Littlewood on même écrit un article en novembre 1945 "Notes on
the theory of series (XXIV) : a curious power-series" paru dans Proc.
Cambridge philos. Soc. 42, p 85-90 (1946) dont le numérisé pdf[pic] après
que je l'ai obtenu par la voie "bibliothèque" universitaire est joint à ce
résumé, où les auteurs montrent que le rayon de la nouvelle série entière
obtenu à partie de la série historique (à laquelle ils font seulement
allusion dans les premières lignes, la considérant comme "familière" ainsi
que son rayon), en remplaçant le sinus du dénominateur par le produit

est égal à la moitié de celui de la série historique.

Il n'est pas possible d'évoquer le travail d'Hardy http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Biographies/Hardy.html
et Littlewood http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Biographies/Littlewood.html, (leur collaboration dura 35
ans durant lesquels ils écrivirent 110 articles en commun d'après le site
http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/hist_mat/textes/sour_mat.htm,
qui le tient de la page 12-13 du livre de Casiro : Les Kangourous de
Poincaré édition ACL 1997 qui le tire du livre : Jim Biars Berkekey Systems
Littlewood's miscellary (Béla Bollodas)) sans donner des liens historiques,
ni de rappeler que Hardy est le découvreur de Ramanujan http://www-
groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ramanujan.html, http://www.les-
mathematiques.net/histoire/histoire_rama.php3,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan et enfin
http://www.usna.edu/Users/math/meh/ramanujan.html,
http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=ramanujan, pour
ne citer que les liens plus historiques que techniques.

Le lecteur trouvera de multiples renseignements dans les articles sur
Ramanujan dans Quadrature 30, 45-47 et dans l'ouvrage Hardy l'apologie d'un
mathématicien (Belin 1985) qui est dans le domaine public en anglais :
http://www.math.ualberta.ca/~mss/books/A%20Mathematician's%20Apology.pdf.

Il suffit d'ailleurs de taper sous google Srinivasa Ramanujan, pour
découvrir des sites avec son passionnant historique et son génie pour
découvrir des formules qui sont constamment utilisées en mathématiques
pointues.

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Parenthèse sur l'accès aux documents scientifiques et playdoyer
argumentaire sur la numérisation.

La recherche pour mettre la touche finale -hélas négative- (savoir si par
hasard, Hardy n'aurait pas traité cette série, qu'il considère comme "bien
connue", dans ses 44 interventions dans Educational Times de 1899 à1917
dont la liste se trouve dans la table des matières collationnant tous les
travaux de Hardy [414 articles parmi lesquels j'ai dénombré 96 articles et
non 110 en