Exercices d'initiation aux rudiments quantiques

Exercices d'initiation aux rudiments quantiques




Voici une proposition non exhaustive d'exercices qui me semblent
pouvoir être faits dans le cadre de cette initiation à la mécanique
quantique.


Exercice I : calculs d'ordre de grandeurs


Rappeler les valeurs des longueurs d'onde extrêmes du spectre de la lumière
visible.
Quelles sont les énergies respectives, exprimées en joules et en électron-
volts (eV), des quanta d'énergie transportés par deux rayonnements
parfaitement monochromatiques, aux extrémités du spectre visible ?
Quelles sont les valeurs respectives de l'impulsion associée à chaque
photon appartenant à ces deux rayonnements ? Vous les exprimerez en kg.m.s-
1 puis en eV/c.

Interpréter l'expression « rayons X durs de 20 keV ». Quelles sont
l'impulsion et la longueur d'onde associées à chaque photon de ce
rayonnement ?


Exercice II : quelques propriétés du rayonnement solaire

On suppose que le rayonnement électromagnétique émis par le soleil
possède des caractéristiques voisines de celles du rayonnement du corps
noir. Le pic d'émission maximum du soleil se situe à environ 480 nm. Le
rayon RS du soleil est d'environ 700.000 km.

1. Évaluer sa température de surface du soleil.
2. Estimer la puissance totale P rayonnée par le soleil, de manière
isotrope dans tout l'espace.
3. Quelle est la perte de masse correspondante à chaque seconde ?
3. Est-ce compatible avec l'intensité du rayonnement solaire reçu au niveau
de la Terre - la constante solaire - de l'ordre de 1,3-1,4 kW.m-2 ?


Exercice III : transitions entre états dans l'atome d'hydrogène

Les niveaux d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène, En, sont
donnés, en première approximation, par la relation de Bohr :
[pic] (en eV).
La série des raies d'émission ou d'absorption de Balmer est constituée des
raies spectrales des rayonnements électromagnétiques émis ou absorbés entre
des états d'énergie En avec n >2 et l'état d'énergie E2.

1. Quelle est l'énergie du niveau fondamental de l'électron dans l'atome
d'hydrogène ? À quelle valeur de n correspond-il ?
2. Calculer les longueurs d'onde respectives des quatre premières raies de
la série de Balmer. Appartiennent-elles au domaine de la lumière visible ?
3. Quelle est la valeur maximale, [pic], de la longueur d'onde d'un
rayonnement électromagnétique monochromatique capable d'arracher l'électron
de l'atome d'hydrogène à partir du niveau d'énergie n = 2.


Exercice IV : possibilité de transition entre états dans l'atome
d'hydrogène

L'électron d'un atome d'hydrogène est dans son état fondamental.
L'atome reçoit un rayonnement électromagnétique de fréquence ( = 2,922.1015
Hz.

1. À quel domaine spectral appartient un tel rayonnement
électromagnétique ?
2. Un photon du rayonnement incident peut-il être effectivement absorbé ?
Argumentez votre réponse.
3. Quelle doit être la fréquence minimale d'un rayonnement
électromagnétique pour faire sortir l'électron de son état fondamental et
le porter à un état excité ?


Exercice V : excitation et dernière ionisation d'un ion hydrogénoïde

On désigne par « ion hydrogénoïde » l'ion formé à partir d'un atome
[pic] de l'élément X auquel on a retiré Z ( 1 de ses Z électrons. Les
niveaux d'énergie de l'électron restant dans l'ion sont alors, en première
approximation, donnés par la formule de Bohr :
[pic]
où Z est le numéro atomique de l'élément X et E0 l'énergie d'ionisation de
l'atome d'hydrogène.

1. Calculer l'énergie des quanta d'un rayonnement électromagnétique
monochromatique permettant de faire passer l'électron de l'ion hydrogénoïde
du béryllium (Z = 4) Be3+ de son état fondamental à son premier état
excité. En déduire la longueur d'onde du rayonnement. À quel domaine
spectral appartient-il ?


On envoie sur un ion hydrogénoïde du béryllium un rayonnement
électromagnétique de 0,25 keV.


2. Un tel rayonnement parvient-il à arracher le dernier électron restant de
l'ion Be3+ ?


Exercice VI : flux de photons dans un faisceau LASER

Le LASER He-Ne utilisé traditionnellement dans le laboratoire de
physique du lycée a une longueur d'onde ( égale à 622 nm. La puissance
électromagnétique transportée par le faisceau lumineux, P, est égale à 2mW.

Quel est le nombre de quanta d'énergie traversant une section du faisceau
lumineux pendant une seconde ? Vous préciserez les hypothèses
supplémentaires et/ou les ordres de grandeurs sur certaines
caractéristiques physiques du faisceau nécessaires à la construction de
votre réponse en vous fondant sur le souvenir expérimental de l'usage que
votre professeur ou vous-même avez de la lumière émise par le LASER.




Exercice VII : flux de photon émis par une antenne de radiodiffusion

Une antenne de radio émet un rayonnement à la fréquence 100 MHz avec
une puissance de 1kW.

Quel est le nombre de photons émis chaque seconde par l'antenne ? Justifie-
t-il que l'on se passe de la mécanique quantique pour expliquer le
comportement de l'antenne ?



Exercice VIII : sur les photons utilisés par les téléphones mobiles

Les télécommunications mobiles à très haut débit (4G) vont se voir
attribuer par l'A.R.C.E.P. (Autorité de Régulation des Communications
Electroniques et des Postes) la bande de fréquences comprises entre 2500 et
2690 MHz.

1. Donner les valeurs des quanta d'énergie (en eV) et des impulsions des
photons aux deux extrémités du spectre dont il est question.
2. Comparer les valeurs des quanta à l'ordre de grandeur des énergies de
liaison que l'on rencontre classiquement entre les éléments constitutifs
des ions ou des molécules. Conclure sur la possibilité que de tels photons
puissent rompre ces liaisons.


Exercice IX : circuit électrique et mécanique quantique

On considère un circuit résonnant, formé d'un condensateur de
capacité C = 100 pF et d'une bobine d'induction d'inductance L = 0,1 mH. On
suppose que le circuit oscille de sorte que la tension maximale aux bornes
de la bobine soit de 1 mV.

1. Construire une grandeur physique « naturelle » pour le circuit ayant la
dimension d'une action. Calculez-la en unités de la constante de Planck.
2. La mécanique quantique est-elle nécessaire pour comprendre le
comportement du circuit ?


Exercice X : scintillement d'une étoile

Nous avons tous observé que les étoiles scintillent. Sachant qu'une
étoile de première grandeur envoie sur la surface de la Terre un flux
d'environ 10-6 lumen.m-2, estimer le nombre de photons N qui pénètrent dans
l'?il d'un observateur et la fluctuation relative de ce nombre, estimée par
[pic].

Un lumen, pour une longueur d'onde de visibilité maximale, de l'ordre de
5560 Å correspond à 1,6 mW.


Exercice XI : photodissociation moléculaire

L'énergie de la liaison C ( H dans le méthane est estimée à 435 kJ.mol-
1 ; celle de la liaison Cl ( Cl dans le dichlore est de 242 kJ.mol-1. La
chloration du méthane à partir du dichlore est exprimée par l'équation
bilan : CH 4 + Cl 2 ( CH 3 Cl + HCl.
La réaction est facilitée si l'on envoie sur le récipient fermé contenant
le méthane et le dichlore des flashes de lumière riches en U.V.

Interprétez.


Exercice XII : Longueur d'onde de de Broglie et diffraction de neutrons

Le réacteur nucléaire de l'Institut von Laue - Langevin (I.L.L.) à
Grenoble est conçu pour fournir un puissant flux de neutrons (masse : mn =
940 MeV/c2) utilisés dans de nombreuses techniques expérimentales. On y
trouve trois sources de neutrons, d'énergies différentes suivant la
température du milieu où les neutrons sont amenés à l'équilibre thermique
(par collisions successives avec les atomes de ce milieu) :
- la source ordinaire, constituée par le modérateur (eau lourde) à la
température T0 = 300 K ;
- la source chaude, constituée d'un bloc de graphite à Tc = 2000 K ;
- la source froide, constituée de deutérium liquide à Tf = 25 K.

1. Calculer l'énergie moyenne (en eV) et la longueur d'onde moyenne (en nm)
des neutrons provenant de chacune des sources.
2. Quelles sources utiliser pour mener des études cristallographiques de la
matière par diffraction de neutrons ?

On rappelle que les particules d'un gaz de température absolue T sont dotés
en moyenne d'une énergie - pratiquement exclusivement cinétique - égale à
3kBT / 2, où kB est la constante de Boltzmann,environ égale à 1,38.10 - 23
J.K-1.


Exercice XIII : longueur d'onde de De Broglie et électrons de conduction

Dans le cuivre (masse volumique 8,9.103 kg.m-3 ; nombre de masse 63),
les électrons de conduction ont une énergie cinétique d'environ 7 eV.

Calculer leur longueur d'onde. La comparer à la distance interatomique.
Conclure.


Exercice XIV : démonstration de la relation de Compton

Un photon d'un rayonnement électromagnétique de longueur d'onde ( est
diffusé par un électron de masse me au repos. [pic] désigne la direction du
photon incident ; [pic] celle du photon diffusé à la longueur d'onde (' ;
( est l'angle de [pic] par rapport à [pic] et [pic] l'impulsion de
l'électron après la diffusion du photon. On rappelle la relation d'Einstein
entre l'énergie E d'une particule de masse au repos m et son impulsion p :
[pic],
où c est la célérité de la lumière dans le vide.

1.a. Exprimer l'impulsion totale du système {photon + électron}avant la
diffusion.
1.b. Même question après la diffusion du photon. En déduire une première
relation entre (, (' et [pic] sachant que la diffusion Compton est un
processus au cours de laquelle l'impulsion du systèm