logique classique et theorie naive des ensembles - GATITO

LOGIQUE CLASSIQUE ET THEORIE NAIVE DES ENSEMBLES TABLE DES MATIERES LOGIQUE : INTRODUCTION . Termes constants
. Termes Variables
. Proposition :brique fondatrice
. Condition
. Quantificateur universel
. Quantificateur existentiel
. équation
. identité ALGEBRE DES ENSEMBLES . Egalité - Inclusion - Complémentaire - Intersection - Réunion
APPLICATION DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES A LA LOGIQUE
. Référentiel et domaine de vérité
. Synthèse
. Plus de détails... o Conjonction de deux conditions o Disjonction de deux conditions o Implication p => q o Négation d'une condition - Principe du tiers exclus . Réciproque de p( q - Contraposée de p ( q
. Equivalence
. Négation d'une implication
. Lois de Morgan
. Négation de propositions quantifiées :
> Cas d'un quantificateur
> Cas de deux quantificateurs Tautologie - Antologie Syllogisme Introduction
La logique étudie le raisonnement. Elle veut indiquer comment, de faits et
de jugements qui sont donnés par ailleurs, on peut tirer valablement
d'autres jugements, par le seul raisonnement, et déterminer comment
discerner des raisonnements non valables. Termes constants : objets fixes bien déterminés Ex : 14 ; Bruxelles ; Mozart ; ( = l'ensemble vide Termes variables : ne désignent aucun objet déterminé Ex : y-z ; le père de ... les valeurs d'une variable sont les constantes que l'on substitue à cette
variable. Propositions : Expressions énonçant un fait qui peut être V ou F Il n'existe pas d'intermédiaire (principe du tiers exclus) Ex : 18 est un nombre entier
L'addition dans est ( commutative
7 est un nombre pair On les désignera par des lettres p, q, ... Une proposition est un énoncé abstrait sur lequel on ne fait aucune
hypothèse a priori sur la véracité ou la fausseté.
Il s'agit ainsi de la brique fondatrice de la science de la logique, au
même titre que le point est l'objet de base de la géométrie ou le nombre
celui de l'arithmétique.
Une proposition est donc davantage qu'une simple phrase, mais une phrase
n'est pas non plus nécessairement le reflet, fut-il imparfait, d'une
proposition. Pour que ce soit le cas., encore faut-il que les mots employés
aient un sens clair et non ambigu, càd qu'ils ne fassent pas référence à
des notions elles-mêmes mal définies. Condition : Exemple : x est un nombre réel supérieur à 5
Ce n'est PAS une proposition. Elle n'exprime pas un fait V ou F
Il existe une indéterminée : . Si on remplace dans cette expression x par 7
> On obtient une proposition V . Si on remplace dans cette expression x par 3
> On obtient une proposition F
Exercice (notion de proposition) : Etudier la valeur de vérité des propositions suivantes
1) le réel 3 est positif
2) x ( 5
3) x²-4 = 0 ( x = 2
4) tout losange est un parallèlogramme
5) quelle est la t° de ce jour ?
Rép : (1) (3) (4) sont des propositions
V F V QUANTIFICATEURS 1° Quantificateur universel (x signifie quelque soit x Ex : dans ( la proposition p : (x ( ( : (x + 2)² = x² + 4x + 4
est V 2° quantificateur existentiel (x signifie il existe au moins un x
tel que (x ( ( : x² - 3x + 2 = 0
En effet, x = 1 par Exemple Une proposition peut-être :
Universelle affirmative : Tous les naturels sont des réels Universelle négative : Aucun nombre premier n'est un nombre pair Particulière affirmative : Il existe des nombres réels qui sont des entiers
négatifs Particulière négative : Il existe des naturels qui ne sont pas des nombres
pairs Exercices : 1) Etudier la valeur de vérité des propositions (quantifiées) suivantes
(x ( ( : x + 3 = 4
(x ( ( : x² ? 0
(x ( ( : x² ? 0
(x ( ( : 3x + 1 ( (
x-2 2) les deux quantificateurs ( et ( peuvent être utilisés dans une même
condition MAIS l'ordre dans lequel ils sont présentés n'est pas
indifférent.
Exemples :
(x ( ( ( a ( ( : a ( x V ( a ( ( (x ( ( : a ( x F 3)
(x ( ( ( x'( ( : x + x' = 0 (1)
(o ( ( (x ( ( : 0 + = x = x + 0 (2)
1) à tout élément ( est associé un autre élément, SYMETRIQUE du premier
pour l'addition dans ( et cet autre élément ( aussi à (.
2) Il existe un élément ZERO qui associé à n'importe quel élément de (
donne comme somme ce second élément.
EQUATION - IDENTITE
1) Equation :
C'est une condition qui a la forme d'une égalité entre deux termes ( indéterminée(s)
Exemple :
1) 3 x + y = x - 2y
2) (x + 4) (x - 2) = 0 1) et (2) ne sont ni V ni F aussi longtemps que l'on ne donne pas aux
variables des valeurs numériques déterminées. 2) Identité : C'est une proposition qui a la forme d'une égalité entre deux termes Exemple : (a, b ( ( : (a + b)² = a² + 2ab + b²
ALGEBRE DES ENSEMBLES Introduction:
Née d'une lente élaboration dans l'esprit des plus éminents mathématiciens,
une idée étonante a germé puis s'est cristallisée et développée depuis la
fin du 19ième s sous le nom de théorie des ensembles. Des liens étroits vont vite se tisser entre cette théorie et la logique L'idée étonnante a été formalisée par Georg CANTOR
Quelle est-elle ?
Ce qui compte en mathématiques, c'est moins la nature des objets étudiés (
point/ droite/nombres/suites/fonctions/vecteurs /matrices) que les
relations qui existent entre ces objets et les propriétés qu'ils vérifient.
Dès lors, l'attitude qui fut adoptée consite à étudier des STRUCTURES et
des RELATIONS sur des ensembles d'objets, sans se préoccuper de la nature
de ces objets, lesquels furent baptisés ELEMENTS de l'ensemble qu'ils
forment. Un ensemble peut être défini en nommant chacun de ses éléments (et dans
certains cas n'est connu que par la donnée de chacun de ses éléments).C'est
ce qu'on appelle la définition en EXTENSION.
Dans d'autres cas, une phrase suffit à définir un ensemble. C'est ce qu'on
appelle la définition en COMPREHENSION .On se donne une propriété (dite
caractéristique) que peut ou non satsfaire un OBJET x.
x sera élément de l'ensemble E(ou non) selon qu'il vérifie (ou non) la
propriété.
On parle d'appartenance :
x (E (x (E) NB : un ensemble doit être BIEN DEFINI (pas d'ambiguïté). L'ensemble VIDE ( ne contient AUCUN élément
Ex : ( mois de 26 jours ( 1. Egalité : Deux ensembles E1 et E2 sont égaux ssi
Chaque élément de E1 est élément de E2 et chaque élément de E2 est élément
de E1
2. Inclusion / Complémentaire : Ex : Soit A = (nombres impairs inférieurs à 20(
( A = {1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19( Soit B = (nombres impairs inférieurs à 20 et divisibles par 3(
(B = (3, 9, 15( L'ensemble B est CONTENU dans l'ensemble A : B(A
(tous les éléments de B sont éléments de A)
Soit C : l'ensemble des éléments de A qui ne sont pas éléments de B :
C = (1, 5, 11, 13, 17, 19(
C'est le complémentaire de B par rapport à A (NB : A constituant ici un
référentiel) Représentation par le diagramme de Venn
A A Ensemble C
ENSEMBLE C NB : ( = ensemble vide 3. Intersection et réunion :
EXERCICE 1 :
Parmi les personnes étant dans l'assemblée on demande de : lever la main gauche si on a un frère
lever la main droite si on a une s?ur
NB : certains auront deux mains levées On a :
C'est l'intersection
Ensuite, on demande ni frère ni s?ur, deux frères, etc...
Et (Elèves( qui appartiennent à S ou a F ou aux deux
donne :
C'est l'union
EXERCICE 2: Soient X et Y tels que
Card (X ( Y) = 20
Card (X ( Y) = 90 La proposition suivante est-elle V ou F ? Card X = 20 et Card Y = 70 Elle est F, car si Card X = 20 alors X Y
90
Et si Card Y = 70 alors on a Card (X ( Y) = 70 ( 90
EXERCICE 3 : Soient E = R A = (x : 1 ( x ( 3(
B = (x : 2 ( x ( y( ? A ( B / A ( CB / CA ( B etc... APPLICATION DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES A LA LOGIQUE Les assertions habituelles de la logique peuvent être symboliquement
représentées dans l'algèbre des ensembles. EXERCICE : S'il est vrai que « certains x ne sont pas des y » et que « tous les z sont
des y », il résulte que : a) certains x ne sont pas des z
b) certains x sont des z
c) certains z ne sont pas des x réponse :
a) X est non inclus à Z
b) L'intersection de X et Z est non vide
c) Z est non inclus à X Exemple concret :
X est l'ensemble des multiples de 2
Z est l'ensemble des multiples de 3 Certains multiples de 2 ne sont pas multiples de 3 ex :4
Certains multiples de 2 sont multiples de 3 ex :6
Certains multiples de 3 ne sont pas multiples de 2 ex :9
Diagramme de Venn [à venir] Référentiel et domaine de vérité (d'une condition) Rappel : On appelle condition à une ou plusieurs variables des expressions contenant
une ou plusieurs variables et qui DEVIENNENT des propositions quand on
substitue à ces variables des CONSTANTES « convenables ». Ex : Condition : x est un nombre réel supérieur à 5. > x = 3 : cela a un sens (mais la proposition est F)
> x= droite : la proposition obtenue n'a pas de sens. L'ensemble des éléments x pour lesquels la condition a un sens est appelé
REFERENTIEL de cette condition. LE DOMAINE DE VERITE de la condition est le sous ensemble D de E tel que : la condition est vraie (x (D et la condition est fausse ( x ( D Exercices : (à faire après avoir donner la notion () Dans ( x > 4 ( x > 5 F
x² = 16 ( x = 4 F dans ( x² = 9 ( x = 3 F dans ( x² ( x = 5 V Rappel : Le référentiel d'une condition c'est l'ensemble que parcourt la ou les
variables tel qu'en remplaçant la variable par l'un de ses éléments, la
condition devienne une proposition vraie. Exemple : x