Licence de mathématiques - Examen corrige

Licence de mathématiques
Cette présentation décrit les enseignements de mathématiques prévus dans la
maquette de la licence de mathématiques (la numérotation est propre à cette
licence). Elle est complétée par la liste des enseignements de
mathématiques prévus dans les U.F.R. S.F.A. et C.I.S.M. qui sont adaptés
aux étudiants non mathématiciens.
Semestre 1
MATH121 Analyse élémentaire (3 crédits) Étude pratique des fonctions d'une variable réelle : calculs de limites
simples, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, calcul des
dérivées, tableau de variation, dérivées successives, formules de Leibniz,
formule de Taylor-Young, branches infinies, tracé de la courbe
représentative, développements limités simples (somme, produit,
composition).
Fonctions usuelles : fonctions polynomiales (factorisation), fonctions
exponentielles réelles, fonctions logarithmes, fonctions puissances,
fonctions hyperboliques, fonctions circulaires, formules
trigonométriques .
Intégration : calculs de primitives simples, intégration par parties,
changements de variables.
Équations différentielles linéaires : équations linéaires du premier ordre
(existence et unicité), équations linéaires du second ordre à coefficients
constants (existence et unicité).
Méthodologie : travail en demi-groupe sur les méthodes d'apprentissage ,
prise de notes, apprentissage du cours par couches successives, fabrication
de fiches de résumés du cours, travail des exercices de travaux dirigés,
rédaction des exercices, préparation des contrôles et examens.
Utilisation de WIMS
MATH122 Mathématiques générales (6 crédits) Ensembles, applications, lois, relations : notions élémentaires
(définitions, exemples simples).
Nombres entiers, dénombrements : nombres entiers naturels (propriétés
fondamentales de N, récurrence, suites), ensembles finis (cardinaux,
opérations sur les ensembles finis), dénombrements (arrangements,
combinaisons), ensembles Z et Q.
Nombres complexes : parties réelle et imaginaire, conjugaison, affixe d'un
point, module, cercle trigonométrique (formules d'Euler, de Moivre),
argument, racines n-ièmes de l'unité, équation du second degré.
Étude pratique des suites : suites arithmétiques et géométriques, suites
convergentes, majorations, opérations sur les limites, formes
indéterminées, calculs de limites, suites monotones.
Compléments sur les fonctions : fonctions monotones, théorème des
accroissements finis, réciproque d'une fonction (réciproques des fonctions
hyperboliques, réciproques des fonctions circulaires), développement
limités et applications aux calculs de limites et de branches infinies.
Éléments d'algèbre linéaire : systèmes linéaires, matrices (produit et
inverse) en dimension 2 et 3.
Géométrie élémentaire du plan : repérage dans le plan (repère cartésien,
coordonnées polaires), produit scalaire, déterminant, droite, cercle,
utilisation des nombres complexes en géométrie plane (distance, angle,
barycentre, orthogonalité), similitudes (rapport, homothéties,
translations, rotations, écriture complexe d'une similitude directe).
Géométrie élémentaire de l'espace : repérage dans l'espace (coordonnées
cartésiennes, cylindriques, sphériques), produit scalaire, produit
vectoriel, produit mixte, droites et plans, sphère.
Courbes planes paramétrées et coniques : courbe définie par une
représentation paramétrique, interprétation cinématique, courbe définie par
une représentation polaire, coniques (foyer, directrice, équation polaire).
Méthodologie : vérification de la façon dont les étudiants travaillent et
propositions adaptées en vue d'une amélioration de l'efficacité de leur
travail.
Utilisation de WIMS Semestre 2
MATH221 Suites et fonctions (6 crédits) Corps R des nombres réels : ordre, valeur absolue, borne supérieure, borne
inférieure, droite achevée, intervalles, valeurs décimales).
Suites de nombres réels : suites (suites majorées, minorées, bornées,
monotones), limite d'une suite (opérations algébriques, relations d'ordre,
suites extraites), relations de comparaison (suites dominée, négligeable,
équivalente), théorèmes d'existence de limites (suites adjacentes, segments
emboîtés, théorème de Bolzano-Weierstraß), suites à valeurs complexes
(suites bornées, opérations algébriques).
Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles : fonctions d'une
variable réelle (fonctions bornées, extrema, bornes supérieure et
inférieure, fonctions monotones, fonctions paires, impaires, périodiques,
lipschitzienne), étude locale d'une fonction (limite, continuité,
prolongement, opérations algébriques, limite d'une fonction composée),
relations de comparaison (équivalence, effet des opérations), fonctions
continues sur un intervalle (composition, image d'un intervalle, fonction
réciproque, continuité uniforme), fonctions réciproques usuelles (fonctions
hyperboliques et circulaires), limites et continuité des fonctions à
valeurs complexes (fonction exponentielle complexe).
Dérivation des fonctions à valeurs réelles : dérivation en un point
(extremum local, fonction dérivée), théorème de Rolle, des accroissements
finis, application aux suites récurrentes, dérivation des fonctions à
valeurs complexes.
Dérivées successives : formule de Leibniz, formules de Taylor-Lagrange et
Taylor-Young, extension aux fonctions à valeurs complexes.
MATH222 Espaces vectoriels (6 crédits) Structures algébriques usuelles : vocabulaire relatif aux groupes, aux
anneaux et aux corps.
Espaces vectoriels : espaces vectoriels, sous-espaces (sous-espace
engendré, intersection, somme, sous-espaces supplémentaires), espaces
produit, espaces de fonctions, translations (sous-espace affine,
intersection, barycentre, partie convexe), applications linéaires (forme
linéaire, espace des applications linéaires, composition, équation
linéaire, projecteur), familles de vecteurs (combinaison linéaire, famille
génératrice, indépendance, famille libre, famille liée, base, coordonnées,
base canonique de Kn).
Espaces vectoriels de dimension finie : dimension d'un espace vectoriel
(théorème de la base incomplète, isomorphie à Kn, base d'un produit
d'espaces, coordonnées de l'image d'un vecteur par une application
linéaire), dimension d'un sous-espace vectoriel (rang d'une famille de
vecteurs, sous-espaces vectoriels supplémentaires), rang d'une application
linéaire (isomorphisme), formes linéaires.
Calcul matriciel : opérations sur les matrices (somme, produit matriciel,
groupe linéaire, transposition, matrices symétriques), matrices et
applications linéaires (matrices d'une application linéaire, d'une famille
de vecteurs, matrice de passage, effet d'un changement de bases),
opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes d'une matrice
(algorithme de Gauß), rang d'une matrice (invariance, calcul du rang),
systèmes d'équations linéaires (système homogène associé, rang d'un système
linéaire, structure affine de l'ensemble des solutions, système de Cramer,
algorithme de Gauß).
Géométrie affine : sous-espaces affines (parallélisme, intersection de sous-
espaces), applications affines (composition, transformations affines,
homothéties, translations, projections), repères cartésiens, représentation
des sous-espaces affines (paramétrage d'un sous-espace affine, équation
cartésienne d'un hyperplan, équation d'une droite en dimension trois),
barycentres (propriétés, convexité), projections, symétries, affinités,
structure d'espace affine.
MATH227 Statistiques et probabilités (3 crédits) Notions de base : variables, tableaux, graphiques.
Distributions à une variable : caractéristiques de position,
caractéristiques de dispersion.
Distributions à deux variables : covariance, coefficient de corrélation
linéaire, ajustement linéaire.
Dénombrement : parties d'un ensemble, permutations, arrangements,
combinaisons, formule du binôme.
Lois et variables : lois de probabilité discrètes (Bernoulli, binomiale,
géométrique, de Poisson), variables aléatoires discrètes, espérance,
variance, covariance, indépendance
Lois et variables : lois de probabilité à densité (uniforme, normale, log-
normale, exponentielle, gamma, beta), variables aléatoires à densité,
espérance, variance, covariance, indépendance.
Semestre 3
MATH321 Fonctions et séries (6 crédits) Fonctions convexes : inégalité de convexité, caractérisation géométrique,
caractérisation en terme de pente, convexité et dérivabilité.
Développements limités : en un point, au voisinage de l'infini, opérations
algébriques, fonctions usuelles, points singuliers des courbes paramétrées,
développements limités d'une primitive, d'une dérivée). développements
limités des fonctions à valeurs complexes.
Séries numériques : suites et séries (sommes partielles, convergence),
séries de nombres positifs (séries de Riemann, règle de Cauchy et
d'Alembert, comparaison d'une série à une intégrale, sommation des
relations de comparaison), convergence et convergence absolue, séries semi-
convergentes, séries alternées, produit de séries.
MATH322 Introduction à l'algèbre (6 crédits) Raisonnement mathématique : occurrences libres et liées d'une variable,
connecteurs logiques, raisonnement par l'absurde, condition nécessaire,
condition suffisante, proposition directe et réciproque, contre-exemples.
Structure