Correction d'exercices du livre - Dimension K

Correction d'exercices du livre Les théorèmes utilisés pour faire les exercices sont :
Théorème 1
Si une droite coupe deux des côtés d'un triangle en leur milieu alors
elle est parallèle au troisième côté Théorème 1 bis
Si un segment à pour extrémités les milieux de deux des côtés d'un triangle
alors sa mesure est la moitié de celle du troisième côté.
Théorème 2
Si une droite coupe un côté d'un triangle en son milieu en étant parallèle
à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.
Ex 2 p212
a) A vue de nez on peut dire que AJIK, KJCI et JIBK semblent être des
parallélogrammes.
Il faut le prouver. Montrons que AJIK est un parallélogramme
K milieu de [AB] et I milieu de [BC] donc (KI) // (AC) (théorème 1)
J [pic] [AC] donc (AJ) et (AC) sont confondues, de plus (KI) // (AC) donc
(KI) // (AJ) J milieu de [AC] et I milieu de [BC] donc (JI) // (AB) (théorème 1)
K [pic] [AB] donc (AK) et (AB) sont confondues, de plus (JI) // (AB) donc
(JI) // (AK) (KI) // (AJ) et (JI) // (AK) , or « si un quadrilatère a ses côtés
parallèles deux à deux alors c'est un parallélogramme » donc AJIK est un
parallélogramme.
Montrons que KJCI est un parallélogramme
K milieu de [AB] et I milieu de [BC] donc KI= ½ AC (théorème 1 bis)
J milieu de [AC] donc JC = ½ AC
KI= ½ AC et JC = ½ AC donc KI = JC
K milieu de [AB] et J milieu de [AC] donc KJ= ½ BC (théorème 1 bis)
I milieu de [BC] donc IC = ½ BC
IC= ½ BC et KJ = ½ BC donc KJ = IC
KI = JC et KJ = IC or « si un quadrilatère a ses côtés de même mesure deux
à deux alors c'est un parallélogramme » donc KJCI est un parallélogramme.
Dans la première démonstration on a prouvé que la figure était un
parallélogramme en montrant que le quadrilatère a ses côtés parallèles
deux à deux, dans la seconde on est arrivé à une conclusion analogue en
prouvant que les côtés du quadrilatère sont de même mesure deux à deux. On
pourrait faire un mix des deux pour le troisième quadrilatère car on sait
qu'un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de même mesure est un
parallélogramme. b) lors de la question précédente nous avons montré que :
KI =½ AC = 2,5cm
KJ =½ BC = 3cm
I milieu de [BC] et J milieu de [AC] donc IJ= ½ BA = 2cm Périmètre de IJK = IJ + JK + KI = 2 + 3 + 2,5 = 7,5cm
Périmètre de IJAK = IJ + JA + AK + KI = 2 + 2,5 + 2 + 2,5 = 9cm
Périmètre de BKJI = BK + KJ + JI + IB = 2 + 3 + 2 + 3 = 10cm
Périmètre de CIKJ = CI + IK +KJ + KC = 3 + 2,5 + 3 + 2,5 = 11cm
Exercice 3 p212
b) J milieu de [AC] et I milieu de [BC] donc (JI) // (AB) (théorème 1)
De plus (AB)+(AC) , or « si deux droites sont parallèles alors toute
troisième parallèle à l'une sera parallèle à l'autre » donc (JI)+(AC). c) on a montré à l'exercice 2 que si dans un triangle ABC, I, J et K sont
les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB], alors IJAK est un
parallélogramme. Ici en plus d'avoir ces conditions réunies on a en plus un
angle droit en A, or « si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est
un rectangle » donc AJIK est un rectangle.
Exercice 5p212
a) K milieu de [AB] et I milieu de [BC] donc KI= ½ AC (théorème 1 bis)
J milieu de [AC] et I milieu de [BC] donc JI= ½ AB (théorème 1 bis)
ABC est isocèle en A donc AC = AB.
Ainsi on a KI= ½ AC , JI= ½ AB et AC = AB donc KI = JI donc KIJ est
isocèle en I b) c'est l'objet de l'exercice 2 (voir un peu plus haut) c) on a montré que dans un triangle ABC ou I, J et K sont les milieux
respectifs de [BC], [AC] et [AB] si ABC était isocèle en A, IJK était
isocèle en I, de la même manière on peut montrer que si ABC est isocèle en
B alors IJK est isocèle en J.
Dans la question c) ABC est équilatéral donc isocèle en A, en B (et en C)
donc IJK sera isocèle en I et en J donc il sera équilatéral. Version alternative [pic] [pic]
[pic]
[pic] Le triangle est donc équilatéral
Exercice 9 p 212
A et B sont le petit cercle donc IA= IB = r = 3cm
C et D sont sur le grand cercle donc IC = ID = R = 6cm
De plus A [pic] [IC] et B [pic][ID] donc A et B sont les milieux respectifs
de [IC] et [ID] donc :
d'après le théorème 1 (AB) // (CD)
et
d'après le théorème 2 AB = ½ CD = 2,5cm
Exercice 10 p 212
On doit démontrer que Best le milieu de [FC]
Dans le triangle AFC
La droite (BE) passe par E le milieu de [AC] et elle est parallèle au côté
[AF] donc (BE) coupe [FC] en son milieu (théorème 2)
Exercice 12 p 212 a) Les angles [pic] et [pic] sont égaux, or « si deux droites sont coupées
par une troisième formant ainsi un couple d'angles correspondants égaux
alors elles sont parallèles » donc (IS) // (RU).
b) (IS) // (RU) et I milieu de (RT) donc d'après le théorème 2
S est le milieu de [TU] Exercice 14 p 213 Soit le triangle EFG. O est le milieu de [EG] , car O est le point
d'intersection des diagonales d'un parallélogramme. M est le milieu de [FG]
par hypothèse. On en déduit que les droites (OM) et (EF) sont parallèles.
Exercice 22 p 213
Considérons le triangle ABC
[pic]
Considérons le triangle ACD
[pic] [pic]