Le propriétaire prélève au hasard et avec remise 20 pièces donc il ...

_Baccalauréat France série S septembre 2003_ : (5 points) Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ». À
la fin d'une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les
caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon "journaux"
contient 3 fois plus de pièces de 1 E que celle du rayon « souvenirs ». Les
pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et
symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40% des pièces de
1 E dans la caisse du rayon « souvenirs » et 8%de celle du rayon « journaux
» portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face
étrangère »).
1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche
les pièces portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard et
avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la
variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces
portant une face « étrangère ».
a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les
paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité qu'exactement 5 pièces parmi les 20 portent
une face étrangère.
c. Calculer la probabilité qu'au moins 2 pièces parmi les 20 portent
une face étrangère. 2. Les pièces de 1 E issues des deux caisses sont maintenant
rassemblées dans un sac.
On prélève au hasard une pièce du sac.
On note S l'évènement « la pièce provient de la caisse souvenirs » et E
l'événement
« la pièce porte une face étrangère ».
a. Déterminer P(S), PS(E) ; en déduire P(S ? E).
b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est
égale à 0,16.
c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la
probabilité qu'elle provienne de la caisse
« souvenirs ». 3. Dans la suite, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans
le sac porte une face étrangère est égale à 0,16.
Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac
au hasard et avec remise.
Calculer n pour que la probabilité qu'il obtienne au moins une pièce
portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.
Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ». À la
fin d'une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses
de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon "journaux" contient 3
fois plus de pièces de 1 E que celle du rayon « souvenirs ». Les pièces ont
toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un
des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40% des pièces de 1 E dans la
caisse du rayon « souvenirs » et 8%de celle du rayon « journaux » portent
une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face étrangère
»).1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les
pièces portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard et avec
remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la variable
aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une
face « étrangère ».
a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres
de cette loi. Le propriétaire prélève au hasard et avec remise 20 pièces donc il effectue
20 tirages indépendants Chaque tirage a deux issues possibles «la pièce a une face étrangère» ou
«la pièce n'a pas une face étrangère»
la probabilité d'avoir une face étrangère est : p = = 0,4. X, qui compte
le nombre de pièces portant une face « étrangère », est donc bien une loi
binomiale de paramètre 20 et 0,4.
b. Calculer la probabilité qu'exactement 5 pièces parmi les 20 portent une
face étrangère.
p(X = 5) = 0,45 (1 - 0,4)15 = 15504 0.45 0.615 0,075.
c. Calculer la probabilité qu'au moins 2 pièces parmi les 20 portent une
face étrangère.
On calcule la probabilité de l'événement contraire.
p(X < 2) = p(X = 0) + p(X = 1) = 0,40 0,620 + 0,41 0,619 0,0005
La probabilité cherchée est donc égale a : p(X 2) = 1 - p(X < 2) 0,9995
2. Les pièces de 1 E issues des deux caisses sont maintenant rassemblées
dans un sac. On prélève au hasard une pièce du sac.
On note S l'évènement « la pièce provient de la caisse souvenirs » et E
l'événement « la pièce porte une face étrangère ».
a. Déterminer P(S), PS(E) ; en déduire P(S ? E).
|On peut repréesenter la situation avec un tableau | |
|La caisse du rayon "journaux" contient 3 fois plus|S |
|de pièces de 1 E |);S) = J |
|que celle du rayon « souvenirs » donc la caisse du | |
|rayon journeaux | |
|contient 75 % des pièces de 1 E et celle du rayon |E |
|souvenir 25 % |1000 |
|Soit n le nombre de pièces de 1 euro de la caisse |600 |
|souvenir. |1600 |
| | |
| |);E) |
| |1500 |
| |6900 |
| |8400 |
| | |
| | |
| |2500 |
| |7500 |
| |10000 |
| | |
Dans la caisse journeaux il y a 3 n piècse de 1 E et en tout il y a 4 n
pièces de 1 E.
Les des pièces viennent de la caisse journeaux et on peut donc dire que
sur 10 000 pièces il y a 10 000 = 7500 qui proviennent du rayon
journeaux et 10 000 = 2500 proviennent du rayon souvenir
40% des pièces de 1 E du rayon « souvenirs » portent face étrangèredonc sur
2500 pièces du rayon « souvenirs» 2500 = 1 000 sont des pièces
étrangères.
8% des pièces de 1 E du rayon «journaux» portent une face étrangère donc
sur 7500 pièces du rayon «journaux» 7500 = 600 sont des pièces
étrangères.
On peut repréesenter la situation avec un arbre
On note p = p(S)
On a p(J) = 3 p(S) et p(J) + p(S) = 1 = 4 p(S) donc p(S) =
40% des pièces de 1 E du rayon « souvenirs » portent face étrangère
donc pS(E) = = 0,4
p(S E ) p(S) pS(E) = 0,25 0,4 = 0,1
b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est
égale à 0,16.
p(E) = p(S E) + p();S) E) = + = 0,16
c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la
probabilité qu'elle provienne de la caisse « souvenirs ».
pE(S) = E);p(E))) = = = = 0,625
3. Dans la suite, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans le sac
porte une face étrangère est égale à 0,16. Le collectionneur prélève n
pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise.
Calculer n pour que la probabilité qu'il obtienne au moins une pièce
portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.
La variable aléatoire Y égale au nombre de pièces portant une face
étrangère suit une loi binomiale de paramètre n et 0,16
p(Y = 0) = (1 - 0,16)n = 0,84n et la probabilité cherchée est donc égale à
: 1 - 0,84n
Il faur résoudre l'inéquation : 1 - 0,84n 0,9 1 - 0,9 0,84n 0,84n 0,1
n ln (0,84) ln (0,1)
n car ln (0,84) >