SOUS TANGENTE à la courbe de l'exponentielle Fiche élève

[pic] |[pic] |SOUS TANGENTE |[pic] |
| |à la courbe de l'exponentielle | |
. Fiche de repérage
. Fiche élève
. Scénario d'usage
. Une trace de travaux d'élèves : la construction géométrique attendue
à la question 1.b) de la fiche
élève
. Fiche technique
|[pic] | SOUS TANGENTE à la courbe de |[pic] |
| |l'exponentielle | |
| |Fiche de repérage | | |Niveau : |Terminale S |
|Domaine : |Equation différentielle, exponentielle, tangente, |
| |dérivée |
|Présentation : |Il s'agit de motiver la recherche de fonctions |
| |dérivables sur telles que f ' = k . f . |
| | |
| |La première question de l'exercice présenté dans la |
| |fiche élève amène, par le calcul, à constater que la|
| |sous-tangente à l'exponentielle est constante. |
| |La présentation, en vidéoprojection, du fichier St 1|
| |e.fig confirme le résultat établi ; l'exploration de|
| |quelques uns des fichiers disponibles (St xx.fig) |
| |montre que la sous-tangente aux courbes des |
| |fonctions affines, carré, racine carrée, sinus, |
| |cube, inverse n'est pas constante ; un débat entre |
| |les élèves peut amener, au cours de l'observation |
| |des représentations graphiques C f de quelques |
| |fonctions de référence, à conjecturer une expression|
| |de la « fonction sous-tangente » àC f utilisant f|
| |et sa dérivée. |
| |La deuxième question de l'exercice amène à |
| |déterminer toutes les fonctions à sous-tangente |
| |constante (composées d'une fonction affine par |
| |l'exponentielle). |
| | |
| |Ce germe de ressource peut être proposé comme |
| |application à la question de cours sur la résolution|
| |de l'équation différentielle |
| |y' = k.y ou bien comme introduction à cette même |
| |question de cours (dans ce cas la question 2. c de |
| |l'activité sur la fiche élève devrait être modifiée,|
| |par exemple : « Trouver des fonctions f pour |
| |lesquelles la distance PN est constante ») ; la |
| |résolution en classe de l'équation différentielle |
| |y' = k.y permet alors d'obtenir toutes les |
| |fonctions f pour lesquelles la distance PN est |
| |constante. |
|Origine : |Sous-tangente fiche élève : document élève rédigé à |
| |partir de l'exercice 2 du recueil d'exemples |
| |d'exercices du baccalauréat série S diffusé en 2003 |
| |par l'Inspection Générale | Accès au sommaire
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| |l'exponentielle | |
| |Fiche élève | |
Le graphique ci-dessous montre une partie de la courbe représentative de la
fonction exponentielle x ) ex dans un repère orthonormal dont seul
apparaît l'axe des abscisses x'x . 1.. a) Pour tout point M d'abscisse t appartenant à C , on considère le
point P de coordonnées ( t , 0 ) et le point N, point d'intersection de
la tangente en M à C avec l'axe des abscisses.
Montrer que la distance PN est constante.
b) En déduire une construction de l'axe des ordonnées sur le graphique
ci-dessous.
[pic]
2. Dans la suite de l'exercice, f désigne une fonction définie sur ,
strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement
positive. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à la courbe
représentative de f , on considère le point P de coordonnées ( t , 0 )
et le point N, point d'intersection de la tangente en M à la courbe
représentative de f avec l'axe des abscisses.
a) Calculer la distance PN en fonction de f ( t ) et de f ' ( t
).
b) Montrer que la distance PN est constante si et seulement si f
est solution d'une équation différentielle de la forme y ' = k.y .
c) En déduire les fonctions f pour lesquelles la distance PN est
constante. Accès au sommaire |[pic] | SOUS TANGENTE à la courbe de l'exponentielle |[pic] |
| |Scénario d'usage | | Scénario :
|Phase|Acteur |Description de la tâche|Situation |Outils et |Durée[|
| | | | |supports |1] |
| | | | | | |
|1 |Les élèves |Découverte et lecture |individuel|fiche élève |3 min |
| | |complète de l'énoncé |le | | |
|2 |Les élèves |Question 1.a) de |individuel|Travail |5 min |
| | |l'exercice |le |« papier | |
| | |- Noter au moins une | |crayon » | |
| | |action à réaliser pour | | | |
| | |répondre à la question.| | | |
| | | | | | |
| | |- Proposer un plan de | | | |
| | |solution. | | | |
|3 |Le |Débat sur le plan de |collective| |5 min |
| |professeur |solution | | | |
| |et la classe| | | | |
|4 |Les élèves |Réalisation du plan de |individuel|Travail |8 à 10|
| | |solution issu du débat |le |« papier |min |
| | | | |crayon » | |
|5 |Les élèves |Question 1. b) |individuel|Travail |2 min |
| | | |le |« papier | |
| | | | |crayon », à | |
| | | | |faire ou finir| |
| | | | |à la maison | |
|6 |Le |- Reconnaître |collective|Fichiers : |10 à |
| |professeur |graphiquement le | | |12 min|
| |et la classe|résultat : la | |[St 1 e.fig] | |
| | |sous-tangente à | |[St 2 a.fig] | |
| | |l'exponentielle est | |[St 3 c.fig] | |
| | |constante. | |[St 4 rc.fig] | |
| | |- En est-il de même | |[St 5 s.fig] | |
| | |pour d'autres fonctions| |[St cu.fig] | |
| | |« usuelles » (affine, | |[St i.fig] | |
| | |carré, racine carrée, | | | |
| | |sinus, et | | | |
| | |éventuellement cube et | | | |
| | |inverse) et sinon, quel| | | |
| | |modèle la sous-tangente| | | |
| | |suit-elle dans chaque | | | |
| | |cas ? | | | |
|7 |Les élèves |Questions 2 a) de |individuel|Travail |10 min|
| | |l'exercice : |le |« papier | |
| | |même plan de solution | |crayon » | |
| | |qu'au 1. | | | |
|8 |Les élèves |Questions 2 b) et 2 |individuel|Travail |10 min|
| | |c) : |le |« papier | |
| | |mise en équation, | |crayon » | |
| | |recherche parmi les | | | |
| | |divers modèles connus, | | | |
| | |en faisant ressortir si| | | |
| | |nécessaire : | | | |
| | |(eu)' = u'.eu | | | |
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