Bac maths S 1997 - AMERIQUE DU NORD

Bac S 1997 - AMERIQUE DU NORD Exercice commun : suites et probabilités - obligatoire : équation
différentielle - Problème : fonction logarithme. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word :
http://www.debart.fr/doc/bac_1997/bac_s_amerique_nord_1997.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 1997
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 OBLIGATOIRE L'utilisation d'une calculatrice est autorisée
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3. EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats
Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de
perdre la première partie. On admet que, si elle gagne une partie, la
probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une
partie, la probabilité pour qu'elle perde la partie suivante est 0,7.
On note, pour n entier naturel non nul :
GMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect
l'événement : « Juliette gagne la nMACROBUTTON
HtmlDirect eMACROBUTTON HtmlDirect
partie » ;
PMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect
l'événement : « Juliette perd la nMACROBUTTON
HtmlDirect eMACROBUTTON HtmlDirect
partie ». Partie A
1. Déterminer les probabilités p(GMACROBUTTON HtmlDirect 1MACROBUTTON HtmlDirect ), p(GMACROBUTTON
HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect /GMACROBUTTON HtmlDirect 1MACROBUTTON HtmlDirect
) et p(GMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect /PMACROBUTTON HtmlDirect
1MACROBUTTON HtmlDirect ). (3 ×
0,25 point)
En déduire la probabilité p(GMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect ). (0,25 point)
2. Calculer p(PMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON
HtmlDirect ). (0,25 point) Partie B On pose, pour n entier naturel non nul, xMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect = p(GMACROBUTTON
HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect ) et yMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON
HtmlDirect = p(PMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect ).
1. Déterminer, pour n entier naturel non nul, les probabilités
p(PMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect
MACROBUTTON HtmlDirect +
1MACROBUTTON HtmlDirect /GMACROBUTTON HtmlDirect
nMACROBUTTON HtmlDirect ) et
p(GMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect
MACROBUTTON HtmlDirect +
1MACROBUTTON HtmlDirect /PMACROBUTTON HtmlDirect
nMACROBUTTON HtmlDirect ).
(0,25 + 0,25 point)
2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul :
[pic]MACROBUTTON HtmlDirect
(0,75 point)
3. Pour n entier naturel non nul, on pose vMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect = xMACROBUTTON
HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect
+ yMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect
et wMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect = 4xMACROBUTTON
HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect
- 3yMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect
.
a) Montrer que la suite (vMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect ) est constante de terme
général égal à 1. (0,5 point)
b) Montrer que la suite (wMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect ) est géométrique et
exprimer wMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON
HtmlDirect en fonction de n.
(0,5 + 0,5 point)
4. a) Déduire du 3., l'expression de xMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect en fonction de n.
(0,5 point)
b) Montrer que la suite (xMACROBUTTON HtmlDirect nMACROBUTTON HtmlDirect ) converge et déterminer
sa limite. (0,25 + 0,25 point)
EXERCICE 2 (4 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire On considère l'équation différentielle (E) : y'' + 2y' + 5y = 2x + 3.
1. Déterminer les réels a et b pour que la fonction f définie sur R par
f(x) = ax + b soit solution de cette équation. (1 point)
2. Soit g une fonction numérique définie sur R. Montrer que g vérifie (E)
si et seulement si g - f vérifie l'équation (E') : y'' + 2y' + 5y = 0. (1
point)
3. Résoudre (E') et en déduire la solution générale de (E). (0,5 + 0,5
point)
4. Déterminer la fonction numérique h, solution particulière de (E)
vérifiant les conditions initiales h(0) = 1 et h'(0) = 1. (1 point)
PROBLEME (11 points) commun à tous les candidats La partie D est indépendante des parties B et C.
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; [pic]) (unité 3 cm).
On considère la fonction numérique f définie sur R par
f (x) = ln (x2 - 2x + 2).
On désigne par (C) sa courbe représentative dans (O; [pic]). Partie A 1. Justifier que, pour tout x réel, x2 - 2x + 2 > 0. (0,5 point)
2. Déterminer la fonction dérivée f' de f et étudier le sens de variation
de f sur R.
(0,5 + 0,5 point)
3. Déterminer les limites de f en + ? et en - ?.
4. Représenter (C) et la droite (?) d'équation y = x : on montrera que la
droite d'équation x = 1 est un axe de symétrie de (C) et on placera les
points d'abscisse 0 et 2 ainsi que les tangentes à la courbe en ces points.
(1,5 point) Partie B On s'intéresse à l'intersection de (C) et de (?).
On pose, pour tout réel x, ( (x) = f (x) - x. 1. Déterminer la fonction dérivée (' de (. En déduire que ( est strictement
décroissante sur R. (0,5 + 0,25 point) 2. a) Déterminer la limite de ( en - ?. (0,5 point)
b) Montrer que, pour tout réel x strictement positif,
[pic] (0,5 point)
En déduire la limite de ( en + ?. (0,5 point)
3. Montrer que ( est une bijection de R sur R. (0,5 point)
En déduire que la droite (?) coupe la courbe (C) en un point et un seul.
(0,25 point)
On désigne par ? l'abscisse de ce point. Montrer que 0,3 < ? < 0,4.
(0,25 point) Partie C On pose J = [ 0,3 ; 0,4 ].
1. Montrer que la fonction x [pic]x2 - 2x + 2 est décroissante sur J.
En déduire que si x appartient à J alors f (x) appartient à J. (0,25 +
0,25 point)
2. a) Prouver que, pour tout x de J, | f ' (x) | ? 0,95 (on pourra montrer
que f ' est croissante sur J). (0,25 point)
b) En déduire que, pour tout x de J, | f (x) - ? | ? 0,95 | x - ? |.
(0,25 point)
3. On définie la suite (un) par :
u0 = 0,3 et, pour tout entier naturel n, un + 1 = f (un).
a) Prouver que, pour tout n :
[pic]
En déduire que la suite (un) converge vers ?. (0,25 point)
b) Déterminer un entier naturel n0 tel que, pour tout n supérieur ou égal à
n0,
| un - ? | ? 10-3. (0,5 point) Partie D On désigne par A l'aire du domaine compris entre les droites d'équations x
= 0, x = [pic], l'axe des abscisses et la courbe (C). On se propose de
déterminer une valeur approchée de A en unités d'aire.
1. Montrer que la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse [pic] a
pour équation
[pic] (0,25 point)
2. Soit les points E d'abscisse 0 et F d'abscisse [pic] de la courbe (C).
Montrer que la droite (EF) a pour équation [pic] (0,25 point)
3. On admet que, sur l'intervalle [0, [pic]], la courbe (C) est au-dessus
de (T) et en dessous de (EF).
a) Montrer que (0,5 point)
[pic]
b) En déduire que [pic] (0,25 point)
c) Donner une valeur approchée de A à 5.10-3 près. (0,25 point)