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Le compte sera-t-il bon ?
Aides à la conceptualisation du nombre
I. Introduction.
Depuis le début de ma carrière d'enseignante, j'ai principalement travaillé
avec des élèves de cycle 2 et 3. J'ai observé que le CE 2 était une année
charnière marquée dès le début de l'année par la passation des évaluations
nationales. Leur correction mobilisait toute l'équipe enseignante. C'était
le moment de faire le point sur l'acquisition des compétences de base et
d'organiser, au sein de l'équipe enseignante, une prise en charge adaptée
des élèves en difficulté. Cette année, dans le cadre de l'alternance « formation/terrain » de la
préparation au CAPA-SH, j'occupe le poste de maître E dans un réseau qui
couvre six écoles. Je prends en charge, dans le domaine des mathématiques,
des élèves de CE2 en regroupement d'adaptation, sur deux écoles. Ces élèves
ont obtenu de faibles résultats aux évaluations nationales et commencent
peu à peu, à perdre confiance en elles, à se dévaloriser.
Le groupe qui sera présenté est scolarisé dans une école élémentaire dont
le projet s'articule autour des moyens mis en ?uvre pour favoriser la
réussite de chaque élève. Les objectifs visent principalement la langue
écrite et orale. La présence du Rased s'inscrit dans une complémentarité de
compétences pour des besoins spécifiques signalés lors des synthèses.
Mon expérience dans l'enseignement traditionnel me sensibilise sur le fait
qu'il est important d'agir à l'aube de ce cycle, avant qu'un abandon ne
s'installe. En effet, durant cette année, le champ numérique s'étend très
rapidement et les situations problèmes se complexifient. D'autre part,
transversalement, on attend des élèves plus d'autonomie dans le traitement
de l'information : chercher, abstraire, raisonner, élaborer des réponses
personnelles, argumenter, prouver ... Après une analyse des items non réussis en mathématiques, je m'aperçois que
les compétences non acquises englobent la connaissance du nombre ( ordre,
grandeur, décomposition ), les mesures ainsi que, pour une élève en
particulier, l'exploitation des données numériques.
Ici, la conceptualisation du nombre, qui n'est certes pas achevée,
présente des manques pouvant freiner ces élèves dans leurs apprentissages
mathématiques.
Au regard de ces difficultés, ma proposition de travail ciblera les
représentations mentales numériques et leurs compétences (imbriquées dans
le développement cognitif) en utilisant le calcul mental comme principal
support.
En effet, le calcul mental m'a semblé, un outil de remédiation
intéressant : il offre à chaque élève la possibilité de choisir un procédé
de calcul en fonction de ses possibilités de mémorisation, de ses habitudes
et de ses connaissances. Il ouvre, selon François Boule, la possibilité de
plusieurs démarches de calcul exact ou approché. Ces démarches mettent en
?uvre explicitement des représentations numériques (ordre de grandeur,
comparaison) et des propriétés des opérations (commutation,
distribution...). De plus, interviennent dans la pratique de cette forme de
calcul, une composante de planification de l'action ainsi qu'une
composante stratégique. Ma problématique sera la suivante : la remédiation du calcul mental en
regroupement d'adaptation, peut-elle aider les élèves de début de cycle 3
dans la construction du nombre ?
Mon hypothèse de travail sera la suivante : en proposant aux élèves
plusieurs types de représentations numériques et des activités
transversales ciblées sur la perception et la structuration, je pense
solliciter le développement d'une représentation mentale du nombre en
articulation avec des stratégies de calcul mental. Mon travail s'appuiera sur les théories de Jean Piaget, Michel Fayol, de
Gérard Vergnaud et de Britt- Mari Barth. Il s'inspirera, d'un point de vue
pratique, des travaux d'Ermel, de Rémy Brissiaud, de Claire Lethielleux, de
Stella Baruk et d'Henri Planchon en ce qui concerne les compétences
disciplinaires, et de Gérard Brasseur en ce qui concerne l'entraînement des
fonctions mnémoniques (compétences transversales).
Dans la première partie, je présenterai l'aspect théorique de la question
de la structuration du nombre. Je décrirai, dans la seconde partie, le
contexte d'intervention : le réseau, le groupe d'élèves et l'analyse de
leurs résultats aux évaluations nationales. A partir de ces éléments,
j'exposerai la démarche envisagée et je justifierai le choix du calcul
mental et des représentations mentales du nombre comme démarche de
remédiation. Je développerai enfin, l'ensemble des activités que j'ai
proposé aux élèves dans une analyse de pratique. Je conclurai en évaluant mon projet personnel et en exposant les limites de
mon travail, les prolongements possibles et le transfert de l'activité en
classe.
II. Le concept de nombre. 1) NOMBRE ET NUMERATION
1.1 . Quelques définitions
De nombreuses définitions du nombre et de la numération existent et j'en
présenterai ici quelques unes afin de, montrer la difficulté historique à
circonscrire le sujet et de, souligner la complexité du concept de nombre.
Le nombre :
Robert : « le nombre est un mot du XII siècle qui vient du latin
« numérus » ; concept de base des mathématiques, une des notions
fondamentales de l'entendement que l'on peut rapporter à d'autres idées (de
pluralité, d'ensemble, de correspondance), mais non définir ».
Larousse : « C'est le rapport entre une quantité et une autre prise comme
terme de comparaison et que l'on appelle « unité ». Ensuite, il y a deux
notions : nombre abstrait et nombre concret. Le nombre abstrait étant le
nombre envisagé lui-même, indépendamment des applications qu'on peut en
faire pour compter un certain nombre fini d'objets que l'on peut compter ».
Stella Baruk : distingue « le nombre de » du « nombre ». Le premier étant
le déterminant d'un nom (elle donne l'exemple des « trois chiens ») et le
second étant le nom lui-même (exemples : « trois est un nombre impair »,
« deux et un font trois »). Elle précise : « Il faut espérer que cette
distinction relèguera la question du concret et de l'abstrait dans la
préhistoire - malheureuse - de l'enseignement mathématique apporté aux
enfants » (page 166).
Piaget propose un modèle constructiviste :
Le concept de nombre a une histoire et son accès fait appel à des
constructions préalables, il faut considérer deux aspects :
- l'aspect cardinal qui est en rapport avec la mesure de quantités
discontinues.
- l'aspect ordinal qui est celui qui permet de numéroter une suite.
C'est le résultat de la synthèse de ces deux aspects qui permet la
conceptualisation du nombre.
Brissiaud[1], à propos du concept de nombre, énonce : « l'équivalence
entre les procédures de comptage, d'une part et celles de décomposition et
de recomposition, de l'autre fait partie intégrante de ce que l'on peut
appeler la conceptualisation du nombre».
La numération :
Larousse : « façon d'écrire et d'énoncer les nombres. Numération décimale :
celle dans laquelle les unités des différents ordres sont de 10 en 10 fois
plus grandes ou plus petites ».
Vergnaud : « le nombre est un concept dont il existe plusieurs systèmes
d'écritures possibles : 9 en écriture arabe, IX en écriture romaine, 21 en
base quatre. La numération de position en base 10 est l'un de ces
systèmes ».[2] 1.2. Caractéristiques de la numération
S'intéresser aux caractéristiques de la numération permet d'en dégager et
d'en saisir la complexité. La numération est un système double se composant
d'une numération de mots et d'une numération de signes :
Exemple : énoncé à l'oral « soixante-douze » n'a rien en commun avec sa
transcription écrite 72 qui pour certains élèves s'écrit « 6012 ».
Michel Fayol[3] fait apparaître que la mise en ?uvre du comptage nécessite
le recours à une énumération verbale. Pour lui, l'arithmétique est, entre
autre, un objet d'étude linguistique, à la fois complet mais simple. Sa
simplicité résulte :
- d'un lexique limité.
- d'une absence de toute ambiguïté sémantique.
- d'une syntaxe simple.
L'auteur fait référence à une étude approfondie conduite par Power et
Longuet-Higgins en 1978 pour s'intéresser à la manière dont s'organisent
ces systèmes verbaux pour exprimer la numérosité sous-jacente. « La
solution la plus simple est évidemment la lexicalisation directe car elle
fait correspondre un terme à une quantité, comme dans deux, dix, cent, un
million...son emploi reste toutefois très limité pour des raisons
d'économie de traitement (...) en l'absence d'un item lexical, la quantité
à exprimer doit faire l'objet d'une décomposition en une expression
arithmétique linguistiquement acceptable et exprimable dans une langue
donnée. Cette décomposition s'effectue en français (mais aussi en
anglais...), selon une somme (vingt-trois) ou un produit (quatre-vingts).
a) Une numération de mots.
Elle est composée de vingt-huit mots qui s'organisent en sous classes :
V 16 items particuliers de un à seize.
V 5 noms de dizaines : vingt, trente, quarante, cinquante, soixante.
V 6 mots pour exprimer les puissances de dix : cent, mille, million,
milliard, billion, trillion.
V Le zéro pratiquement inexistant à l'oral, pour exprimer l'absence de
quantité.
Elle prend appui parfois sur un fonctionnement de type additif («vingt-
quatre» renvoie à «vingt» plus «quatre»), parfois sur un fonctionnement de
type multiplicatif («quatre-vingts» renvoie à «quatre» fois «vin