table des matieres - Cerfacs

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Assimilation de données avec le logiciel PALM
Manuel de formation

TR/CMGC/08/16
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Bertrand Bouriquet, Sebastien Massart, Thierry Morel et Sophie Ricci

CERFACS/ Global Change and Climate Modelling Team

Janvier 2008

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TABLE DES MATIERES


Introduction 3

Le modèle shallow water 3

Principe de l'assimilation de données 5

Principe des expériences jumelles 5

Répertoires de travail 8

Étape 1 : Prise en main du modèle 8

Étape 2 : Construction du vecteur d'innovation 11

Étape 3 : Mise en place de l'algorithme 3D-FGAT 12

Rappels théoriques sur l'assimilation de données variationnelle. 12

Préconditionnement 15

Du 3D-VAR au 3D-FGAT 15

Implémentation sous PALM 17

Étape 3.1 : Le test de l'adjoint 17

Étape 3.2 : Le test du gradient 19

Étape 3.2 : Le test du gradient 19

Étape 3.3 : Construction de l'algorithme du 3D-FGAT 24

Étape 4 : 4D-Var et 3D-PSAS 29

Le 3D-FGAT 29

Le 4D-Var : théorie et pratique 29

Le 3D-PSAS théorie et pratique 33

Références 35










Introduction


Ce manuel vous propose une formation sur l'utilisation de PALM dans
le cadre de l'assimilation de données. Au cours de la formation au coupleur
PALM [1], vous avez appris à utiliser les différentes fonctionnalités du
logiciel sur des exemples simples. Le but de cette seconde formation est de
vous apprendre à utiliser PALM pour implémenter une chaine d'assimilation
de données modulaire et évolutive. Ce document n'a pas vocation à vous
former à l'assimilation de données. Il est même souhaitable pour en tirer
le meilleur profit que vous en possédiez les notions de base, néanmoins les
notions nécessaires à la compréhension des tutoriaux sont rappelées au
cours du texte.

Au cours de cette formation, nous vous proposerons de construire différents
schémas d'assimilation autour d'un modèle d'océan simplifié, le shallow
water. La première étape consiste à prendre en main le modèle d'océan. La
seconde étape propose de calculer, dans l'environnement PALM, le vecteur
d'innovation (ou misfit) qui représente schématiquement l'écart entre le
modèle et les observations. La troisième étape développe la construction
de l'algorithme d'assimilation 3D-FGAT. Cette construction est appréhendée
pas à pas en formulant tout d'abord le test de l'adjoint de l'opérateur
d'observation, unité clé des systèmes d'assimilation, puis en formulant le
test du gradient de la fonction coût qui sera présentée dans ce document.
Ces étapes permettent, via la modularité du coupleur PALM, de mettre en
?uvre de nombreuses méthodes d'assimilation avec le même jeu d'unités.
Pour les personnes qui connaissent l'assimilation de données, la découpe de
la chaîne paraitra naturelle car les unités PALM correspondent pratiquement
aux opérateurs des formules qu'ils ont l'habitude de manipuler.

Le modèle shallow water


Avant de réaliser un schéma d'assimilation, il est important de comprendre
la physique du problème modélisé. Dans le cas présent nous utiliserons un
modèle d'océanographie simplifié dit shallow water (eau peu profonde). Les
équations de ce modèle sont une approximation des équations de la mécanique
des fluides pour décrire l'écoulement géophysique bidimensionnel d'un
fluide homogène, incompressible et hydrostatique.

Les équations bidimensionnelles de Saint Venant en longitude (x) et en
latitude (y) s'écrivent :
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avec :
u : composante en vitesse selon l'axe des x (longitudes);
v : composante en vitesse selon l'axe des y (latitudes);
h : hauteur d'eau ;
? = ?xv - ?xu : vorticité relative ;
B = g'h + ½ (u²+v²) : potentiel de Bernoulli (où g' est la gravité
réduite) ;
f = f0+?y : paramètre de Coriolis linéarisé ;
? : coefficient du vent ;
v : coefficient de viscosité ;
?0 : coefficient de torsion ;
r : coefficient de friction latérale.

Les détails de ce modèle sont décrits dans la référence [2]. Les équations
sont résolues de manière explicite par un schéma aux différences finies
sur une grille d'Arakawa. Dans le cas présent le modèle simule la hauteur
d'eau (h) et les vitesses de propagation (u et v) dans un bassin carré
d'eau peu profonde de 2000 km de coté discrétisé en 81x81 points de grille.
Le pas de temps du modèle est ?t = 30 minutes. On a donc les
correspondances suivantes :
|48 ?t |= |1 jour |
|144 ?t |= |3 jours |
|336 ?t |= |1 semaine |
|1008 ?t|= |3 semaines|
|3024 ?t|= |9 |
| | |semaines. |

Le modèle est forcé par un vent ?, de forme sinusoïdale, purement zonal, de
manière à obtenir un régime de double gyre pour la hauteur de mer (Figure
1).
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Figure 1 (a) Forçage dynamique de surface et (b) domaine de calcul et
hauteur de mer.

À partir d'une condition initiale du modèle, une première intégration du
système sur plusieurs pas de temps (SpinUp) a été effectuée pour que le
système arrive à un certain équilibre. Cet état d'équilibre sera choisi
comme condition initiale (restart) lors des expériences à suivre.
Principe de l'assimilation de données

L'assimilation de données est une technique mathématique héritée de la
théorie de l'estimation qui vise à établir la description d'un système la
plus proche possible de l'état vrai en faisant bon usage des diverses
informations décrivant ce système.
Le système océan peut être décrit par un modèle d'océan. Cette description
est partielle et entachée d'une erreur : l'erreur modèle liée
principalement à la discrétisation et à la simplification des équations de
la physique.
Le système océan peut aussi être décrit par des observation in-situ ou
sattelitaires réparties inégalement en espace et en temps. Cette
description est, elle aussi, partielle et entachée d'une erreur : l'erreur
d'observation liée principalement aux erreurs de mesure et aux erreurs de
représentativité (incompatibilité des échelles des phénomènes représentés
par les observations et par le modèle).
L'état vrai de l'océan ne peut donc être décrit parfaitement ni par le
modèle ni par les observations. C'est en combinant les informations issues
du modèle et des observations, pondérées par leurs erreurs, que
l'assimilation de données propose une représentation optimale (dans un sens
à préciser) de l'état vrai du système océan. Cette représentation optimale
est appelée l'analyse.

Principe des expériences jumelles


Notons ici qu'il est possible de modéliser le système océan, qu'il est
possible de l'observer et ainsi d'en avoir une description approximative et
partielle, mais qu'il est impossible de connaître l'état vrai du système
océan. Comment juger alors de la qualité d'une description par rapport à
une autre? Comment juger tout particulièrement de la qualité de l'analyse
fournie par l'assimilation de données par rapport à l'état vrai?
Une façon de répondre à cette question est de se placer dans le contexte
des expériences jumelles comme présenté en figure 2. Dans ce contexte
l'état vrai est donné : une intégration du modèle M est choisie comme état
vrai. Puisque cet état est à présent connu parfaitement en tout point et à
tout instant, il est possible d'en extraire des observations. C'est
l'opérateur d'observation H qui permet de passer de l'espace des variables
du modèle à l'espace des observations. Ces observations synthétiques sont
bruitées puis assimilées avec pour objectif de reconstruire au mieux l'état
vrai xt.
Dans ce contexte restreint des expériences jumelles, l'état vrai est une
donnée. Nous sommes donc à présent en mesure de juger de la qualité des
algorithmes d'assimilation que nous allons développer par la suite. Le
calcul de l'écart-type des différences entre l'état de l'ébauche xb et
l'état vrai xt d'une part et entre l'état analysé xa et l'état vrai xt
d'autre part permet de mettre en évidence l'apport de l'algorithme
d'assimilation pour la représentation de l'état vrai xt. Ce calcul permet
aussi de comparer l'efficacité des diverses méthodes d'assimilation que
nous mettrons en ?uvre par la suite.

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Figure 2: Principe de mesure de la qualité de l'analyse issue de
l'assimilation dans le cadre particulier des expériences jumelles.


Pour notre application, les variables pronostiques du modèle sont la
vitesse longitudinale (u), la vitesse méridienne (v) ainsi que la hauteur
d'eau (h). Ces variables dépendent du temps (t), de la longitude (x) et de
la latitude (y). Le vecteur d'état du système est construit à partir de ces
variables

[pic].

Pour obtenir l'état vrai xt, le modèle est intégré à partir de la condition
initiale du spin-up avec un jeu de paramètres légèrement modifiés (modèle
noté shallow water perturbé), ceci sur la même période que le spin-up. Au
delà de cette période, l'intégration du modèle shallow water perturbé
combinée avec l'opérateur d'observation H (ainsi qu'avec l'ajout d'un bruit
gaussien) permet de construire les observations synthétiques.

Afin de simuler des observations représentatives de mesures réalisées en
océanographie (Figure 3), l'opérateur d'observation H simule un satellite
mesurant les anomalies de niveau de mer (hauteurs d'eau h) avec un balayage
complet de l'oc