Agrégation Interne 2002

Agrégation Interne 2002
Exercices d'Optique
Corrigé


Exo n°1 : Fentes d'Young, source étendue.
1. Voir la figure pour le chemin des rayons. Théorème de Malus : la source
S est une surface d'onde dégénérée, de rayon nul, & D est un plan d'onde,
donc pas de ddm avant les deux fentes. Si on abaisse le plan d'onde (
depuis S1, il coupe le rayon R2 en H. La ddm sera nulle aussi après (,
puisqu'alors on sera toujours entre deux surfaces d'onde. Il en résulte
que :
[pic] car l'angle est petit (les lentilles travaillent dans les conditions
de Gauss). On vérifie que la diffraction est une interaction locale entre
l'onde & le diaphragme, & ne joue ni avant ni après.
Attention ! On ne peut pas appliquer globalement le théorème de Malus entre
S & M (ce qui donnerait ( = 0) car sa validité est limitée à l'optique
géométrique, & il ne s'applique plus s'il y a diffraction. Avec la relation
[pic], on obtient : [pic] . Quand y varie de i (interfrange) sur l'écran, (
varie de ( donc : [pic]. Les amplitudes de vibration étant égales en A1 &
A2, soit [pic], on obtient l'intensité en M : [pic]
[pic]

La courbe d'intensité lumineuse est donnée par la fonction I(M), où Io
représente l'intensité émise par une seule fente. En un point M quelconque
de l'écran, l'intensité lumineuse varie donc entre 0 & 4Io, alors que les
deux sources secondaires fournissent 2Io. Ceci n'est pas contraire à la
conservation de l'énergie, qui est vérifiée en moyenne sur une période (cf
figure 2) : [pic] On en déduit que : Les phénomènes d'interférences
modifient la distribution de l'énergie, mais en conservant la valeur
moyenne.

Calcul du contraste : les franges brillantes correspondent à [pic] ; de
même, les franges sombres correspondent à [pic] d'où : [pic], ce qui est
normal pour une source idéale, totalement cohérente, pour des interférences
par division du front d'ondes.
2. La fente source a maintenant une largeur s, centrée sur l'axe CO (cf
figure 4). Elle est éclairée par une onde plane d'intensité Io, supposée
uniformément répartie sur la source. On s'intéresse toujours à l'intensité
au même point M de l'écran, avec OM = y. Le calcul se fait en trois temps :

. On considère la source ponctuelle S', avec SS' = x. En faisant de même
intervenir le plan d'onde (' depuis S1, il coupe le rayon R2 en K. Alors
la différence de marche en M devient [pic], en traduisant que D est
éclairé par un faisceau parallèle oblique incliné de ( sur l'axe
horizontal, avec : [pic]. Il en résulte que la frange centrale (définie
par ( (x) = 0) s'est déplacée du point O au point M1 tel que [pic], donc
que les points S1, C & M1 sont alignés.
[pic]

La luminosité de la source étant uniformément répartie, il en résulte que
la densité d'intensité [pic]est constante (cf figure 5), & donc que la
fente infinitésimale comprise entre x & x + dx est quasi - ponctuelle, ce
qui permet d'appliquer les résultats précédents en les adaptant. Le créneau
a une aire donnée par : [pic], puisque la hauteur du créneau vaut [pic].
Cette source élémentaire contribue alors sur l'écran, au point M, pour
[pic].
Ces sources élémentaires étant incohérentes, on somme leurs intensités d'où
:
[pic]
[pic]
[pic] avec[pic], donc de la forme : [pic]

le déphasage (o correspondant au cas de la source idéale (ponctuelle &
monochromatique). Cette forme est générale, quel que soit le dispositif
étudié. Les franges brillantes sont obtenues pour cos (o = +1, & donc
[pic], & les franges sombres pour cos (o = -1, soit [pic], de sorte que le
contraste des franges vaut : ( = k. Il en résulte que lorsqu'on accroît la
largeur de la fente source, il y a brouillage périodique du système de
franges, le contraste s'annulant la première fois pour [pic] (cf figure 6).
On conviendra que les franges restent visibles pour une largeur moitié,
soit [pic]. Alors la source "étendue" est vue depuis le point C sous
l'angle [pic], valeur très faible & donc les interféromètres de ce type
présentent une très faible cohérence spatiale. La courbe d'intensité (cf
figure 7) montre que les franges ne se sont pas déplacées, mais Imax a
diminué tandis que Imin est remonté.

Remarquer que la courbe d'intensité ne s'amortit pas (sauf pour le miroir
de Lloyd !!), car le contraste ( = k ne dépend pas du point M de l'écran.


Exo n°2 : Fentes d'Young en source polychromatique.
1. Voir la figure pour le chemin des rayons. Théorème de Malus : la source
S est une surface d'onde dégénérée, de rayon nul, & D est un plan d'onde,
donc pas de ddm avant les deux fentes. Si on abaisse le plan d'onde (
depuis S1, il coupe le rayon R2 en H. La ddm sera nulle aussi après (,
puisqu'alors on sera toujours entre deux surfaces d'onde. Il en résulte que
[pic] car l'angle est petit (les lentilles travaillent dans les conditions
de Gauss). On vérifie que la diffraction est une interaction locale entre
l'onde & le diaphragme, & ne joue ni avant ni après.
Attention ! On ne peut pas appliquer globalement le théorème de Malus entre
S & M (ce qui donnerait ( = 0) car sa validité est limitée à l'optique
géométrique, & il ne s'applique plus s'il y a diffraction. Avec la relation
[pic], on obtient : [pic] . Quand y varie de i (interfrange) sur l'écran, (
varie de ( donc : [pic]. Les amplitudes de vibration étant égales en A1 &
A2, soit [pic], on obtient l'intensité en M : [pic]
[pic]


La courbe d'intensité lumineuse est donnée par la fonction I(M), où Io
représente l'intensité émise par une seule fente. En un point M quelconque
de l'écran, l'intensité lumineuse varie donc entre 0 & 4Io, alors que les
deux sources secondaires fournissent 2Io. Ceci n'est pas contraire à la
conservation de l'énergie, qui est vérifiée en moyenne sur une période (cf
figure 2) : [pic] On en déduit que : Les phénomènes d'interférences
modifient la distribution de l'énergie, mais en conservant la valeur
moyenne.

Calcul du contraste : les franges brillantes correspondent à [pic] ; de
même, les franges sombres correspondent à [pic] d'où : [pic], ce qui est
normal pour une source idéale, totalement cohérente, pour des interférences
par division du front d'ondes.

2. La fente source, redevenue ponctuelle, n'est plus monochromatique & émet
maintenant des radiations vérifiant : [pic]. La quantité ( est appelée
nombre d'ondes. On l'introduit pour que la phase devienne une fonction
affine de la variable d'intégration, ce qui ne serait pas le cas avec (.
L'intensité Io de la source est supposée uniformément répartie sur le
domaine spectral ((. On s'intéresse toujours à l'intensité au même point M
de l'écran, avec OM = y. Le calcul se fait toujours en trois temps :
On considère la source monochromatique de nombre d'ondes (. Alors la source
est idéale & on a, d'après les premiers calculs : [pic] ;
La luminosité de la source étant uniformément répartie, il en résulte que
la densité d'intensité [pic] est constante (cf figure 8), & donc que la
source infinitésimale émettant les radiations de nombres d'ondes compris
entre ( & (+d( est quasi - monochromatique, ce qui permet d'appliquer le
résultat précédent en l'adaptant. Le créneau a une aire donnée par :
[pic], puisque la hauteur du créneau vaut [pic]. Cette source élémentaire
contribue alors sur l'écran, au point M, pour [pic].

Ces sources élémentaires étant incohérentes, on somme leurs intensités d'où
:
[pic]
avec [pic], de la forme : [pic]
le déphasage (o correspond au cas de la source idéale (ponctuelle &
monochromatique de longueur d'onde (o).Là aussi, cette forme est générale,
quel que soit le dispositif étudié. On retrouve que le contraste des
franges vaut ( = k, grandeur qui dépend maintenant de deux variables, y &
((. Il en résulte qu'il y a amortissement de l'intensité puisque, à ((
fixé, ( (y) décroît. La première valeur de y annulant ( vaut donc [pic] &
donc on peut considérer que le champ d'interférences a une largeur 2y1. La
courbe d'intensité est représentée sur la figure 9.
[pic]
Figure 8
Figure 9
Exo n°3 : Coin d'air (ENSET B 1973).
1. On appelle Io l'intensité lumineuse incidente. Le rayon (1) a subi une
réflexion, donc l'intensité lumineuse réfléchie vaut : [pic]. Le rayon (2)
a subi une réflexion & deux transmissions, donc l'intensité lumineuse
transmise vaut : [pic]. L'intensité relative des deux vibrations vaut
donc :
[pic] proche de 1 donc le contraste sera bon. [pic]si on néglige
l'absorption.
2. Le vecteur d'onde de l'onde incidente a pour composantes : [pic].

L'amplitude complexe de l'onde incidente est donnée par : [pic], où la
phase est donnée par : [pic]. Si l'indice de l'air vaut 1, alors ( est la
longueur d'onde dans le vide.

3. De même :
Le vecteur d'onde de l'onde réfléchie a pour composantes : [pic], &
l'amplitude complexe de l'onde réfléchie est donnée par : [pic], où la
phase est donnée par : [pic] & le facteur de réflexion pour les amplitudes
vaut [pic].
Si un miroir tourne d'un angle (, le rayon réfléchi tourne de 2( (angle des
deux rayons sur la figure), propriété connue des miroirs tournants. Alors
le vecteur d'onde de l'onde transmise a pour composantes : [pic], &
l'amplitude complexe de l'onde transmise est donnée par : [pic], avec :
[pic] & le facteur de transmission pour les amplitudes vaut [pic] (milieux
extrêmes identiques).

4. La source étant ponctuelle & monochromatique est totalement cohérente,
donc on ajoute les amplitudes d'où : [pic]. On e