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Géométrie dans l'espace
Exercice N°1 Indiquer toutes les réponses correctes.
1) Soit ABCDEFGH un cube d'arrête 1 alors [pic] a) [pic] ; b) [pic] ;
c) [pic].
2) Soient [pic]deux vecteurs de l'espace alors [pic] a) [pic] ; b) ;[pic] ;
c) [pic].
3) L'ensemble des points M tels que :[pic] est
a) la droite (AC) ; b) le plan passant par A et de vecteur normal
[pic] ; c) la droite perpendiculaire à (AC) en A.
4) L'ensemble des points M tels que [pic] est a) La droite (AB) ;
b) un plan ; c) [pic]
5) L'ensemble des points M tels que [pic]est
a) la droite [pic] ; b) le plan passant par C et de vecteur normal[pic]
; c) Le plan (ABC).
6) A, B et C trois points de l'espace tel que ABC est un triangle isocèle
en A. L'ensemble des points M de l'espace tel que :[pic]est a) le plan
ABC ; b) la médiatrice de [BC];c) la droite parallèle à (BC) passant par A.
7) Si[pic] sont deux vecteurs de l'espace tels que [pic] et [pic] alors
a) [pic] ; b) [pic] ; c) [pic].
8) Soit A, B et C trois points non alignés l'ensemble des points M de
l'espace vérifiant [pic]est :
a) Le plan passant par A et de vecteur normal [pic] ; b) Le plan (ABC) ;
c) La droite perpendiculaire au plan (ABC) en A.
9) Soit A, B et C trois points non alignés l'ensemble des points M de
l'espace vérifiant [pic] est :
a) Le plan passant par A et de vecteur normal [pic] ; b) Le plan
(ABC) ; c) La droite perpendiculaire au plan (ABC) en A.
Exercice N°1 1) a) ; 2) b) et c) ; 3) b) ; 4) a) ; 5) a) ; 6) b) ;
7) b) ; 8) b) ; 9) c)
Exercice N°2 vrai - faux
[pic] un repère de l'espace .
1) Soit [pic]deux vecteurs de l'espace tels que [pic]alors on a [pic].
2) L'image d'un plan d'équation x+y=0 par une translation de vecteur [pic]
est un plan d'équation x+y-2=0.
3) L'application f qui à M(x,y,z) associe le point[pic]est une homothétie
de centre[pic]et de rapport-3
4) Soit ABC un triangle de centre de gravité G alors l'ensemble des points
M du plan tels que [pic] est la droite (OG).
5) Soit t un réel strictement positif et différent de 1. On donne les
points [pic]
a) [pic]est la sphère de centre[pic].
b) Le plan d'équation cartésienne x+y-z=0 et la sphère [pic]sont
tangents.
6) Soient [pic] deux vecteurs de l'espace[pic].
7) Soient [pic] trois vecteurs de l'espace si[pic].
8) Soient [pic] trois vecteurs de l'espace si[pic].
Exercice N°2 1) F ; 2) V ; 3) V ; 4) V ; 5) a)F ;b) F ; 6) V ; 7) F ; 8)
V
Exercice N°3 On considère un cube ABCDEFGH d'arrête 1.
1) a) Exprimer plus simplement[pic].
b) En déduire que [pic]puis que la droite (AG) est perpendiculaire
au plan (BDE).
2) Montrer que le centre de gravité I du triangle BDE est le point
d'intersection de (AG) et du plan (BDE).
Exercice N°3
1) a) [pic]
b)[pic][pic][pic].
D'après les résultats précédents [pic]donc (AG) est perpendiculaire
au plan (BDE).
2) BDE est un triangle équilatéral donc il suffit de montrer que I est le
centre du cercle circonscrit au triangle BDE. AE=AB=AD (ABCDEFGH est un
cube). GE=GB=GD (ABCDEFGH est un cube) donc (AG) est l'axe du cercle
circonscrit au triangle BDE et comme [pic] donc I est le centre du cercle
circonscrit au triangle BED et par suite I est le centre de gravité du
triangle BED.
Exercice N°4 Soit A, B et C trois points non alignés de l'espace E muni
d'un repère orthonormé directe[pic].
1) Montrer que [pic]le vecteur [pic]est un vecteur normal au plan ABC et
que [pic]est indépendant de M.
2) On suppose que A(1,2,0) ,B(2,4,5) et C(2,3,-1).
a) Donner les coordonnés du point [pic]tels que[pic].
b) Donner une équation cartésienne de la sphère S de centre [pic]et
tangente à (ABC).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan Q=(AB[pic]) en
déduire la distance d entre C et le plan Q.
Exercice N°4
1) [pic]=[pic]= [pic]= [pic]=[pic]est un vecteur normal du plan (ABC).
2) a) [pic] ; [pic][pic].
b) S tangente à (ABC):-7x+6y-z+d=0, [pic]-7+12+d=0 donc d=-5 d'où
(ABC) :-7x+6y-z-5=0. S de rayon [pic]donc S :(x+6)²+(y-8)²+(z+1)²=86.
Exercice N°5
Soit [pic] d'un repère orthonormé directe de E et [pic]le vecteur défini
par[pic].f l'application de E dans E qui à M(x,y,z) on associe M'(x',y',z')
tel que [pic]
1) Déterminer D l'ensemble des points invariants par f.
2) a) Montrer que [pic] D on a [pic]est un vecteur normal du plan
P=(M, D).
b) Soit H le projeté orthogonal de M sur D avec [pic] D calculer
en fonction de x, y et z l'aire du triangle OMM' et le volume du
tétraèdre OMM'H.
Exercice N°5 [pic]
1) [pic]M est un point de la droite passant par O et de vecteur
directeur[pic].
2) a) [pic]donc [pic] est un vecteur normal du plan P(M, D).
b) A(OMM')=[pic][pic]
car [pic]
Exercice N°6 Soit le cube OABCDEFG représenté sur la figure ci-dessous.
L'espace est orienté par le repère orthonormé direct[pic]. On désigne par a
un réel strictement positif. Les points L, M et K sont définie par : [pic].

1) a) Calculer les coordonnées du vecteur[pic].
b) En déduire l'aire du triangle DLM.
c) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (DML).
2) On note H le projeté orthogonal de O ( et de K) sur le plan (DML).
a) Démontrer que : [pic].
b) Les vecteurs[pic]étant colinéaires, on note[pic]le réel tel que :[pic].
Démontrer que[pic].
c) En déduire que H appartient au segment [OK]. d)
Déterminer les cordonnés de H.
e) Exprimer [pic]en fonction de [pic]. En déduire que : [pic].
3) A l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre
DLMK en fonction de a.
Exercice N°6 1) a) Les coordonnés de D, M et L dans le repère [pic]sont
D(0,0,1), M(a,0,0) et L(0,a,0) d'où [pic].
b) L'aire A1 du triangle DLM s'exprime à l'aide du produit vectoriel :
[pic]. c) On a B(1,1,0), F(1,1,1) et [pic] alors [pic] [pic], (OK) étant
orthogonale à (DL) et (DM) est donc orthogonale au plan (DLM).
2) a) Comme H et M appartiennent au plan (DML), la droite (HM) est donc
orthogonale à la droite (OK) et donc que[pic], on a alors[pic].
b) Comme M(a,0,0) et K(1,1,a) alors [pic], de plus [pic] [pic]. Le trinôme
(a²-a+2) ayant un discriminant négatif donc il a un signe constant positif
donc [pic]puisque a est un réel positif alors[pic].
c) On a[pic].
d) On a [pic] [pic] on a[pic].
3) Soit V le volume du tétraèdre DLMK, alors [pic]
Exercice N°7 L'espace est rapporté à un repère orthonormé de sens
direct[pic]. On considère le cube de sommets O, I, R, J, K, L, M, N. On
note A le milieu de [IL] et B le point défini par : [pic]. On appelle (P)
le plan passant par les points O, A et B.
1) a) Déterminer les coordonnées des points A et B. b) Déterminer
les coordonnés du vecteur [pic].
c) Montrer alors que l'aire du triangle OAB est [pic].
2) Le point [pic]appartient-il à (P) ? Justifier votre réponse.
3) On considère le tétraèdre OABK.
a) Montrer que le volume de ce tétraèdre est [pic]. b)
Calculer alors la distance du point K au plan (P).
Exercice N°7 1)a) [pic]. ; b) [pic].


c) L'aire du triangle OAB est égal à [pic].
2) Le plan (P) admet pour vecteur normal le vecteur [pic]donc, M appartient
à (P) si et seulement si [pic]. On en déduit une équation cartésienne de
(P) :x+3y-2z=0. On vérifie alors que le point C appartient bien à (P).
3) a) Le volume V du tétraèdre OABK est égal à :[pic] où H est le projeté
orthogonal de A sur le plan (OBK). On a AH=LK=1, de plus, le triangle (OBK)
est rectangle en K. son aire est :[pic].
b) Si H' est le projeté orthogonal de K sur le plan (OAB), on a aussi :
[pic]or l'aire du triangle OAB est [pic] alors [pic]c'est la distance du
point K au plan (P).
Exercice N°8 L'espace E est rapporté à un repère orthonormé direct[pic].
On considère les points S(1,1,2), A(-3,0,0) , B(1,0,-2)et C(-1,1,0).
1) Montrer que les points A, B et C déterminent un plan P d'équation :x-
2y+2z+3=0.
2) Soit Q l'ensemble des points M de E vérifiant[pic].
a) Montrer que Q est un plan dont on donnera une équation
cartésienne.
b) Montrer que P coupe Q suivant une droite [pic]dont on donnera
une représentation paramétrique.
c) Calculer la distance du point A à la droite[pic].
3) a) Vérifier que SABC est un tétraèdre puis calculer son volume V.
b) Calculer l'aire A du triangle SAC puis déduire la distance du
point B au plan (SAC).
4) Soit [pic]l'ensemble des M(x,y,z) tels que : x²+y²+z²+7y-2z-9=0.
a) Montrer que [pic]est une sphère dont on précisera le rayon R et les
coordonnées de son centre.
b) Montrer que [pic]est une sphère circonscrite au tétraèdre SABC.
c) Montrer que P coupe [pic]suivant un cercle que l'on caractérisera.


Exercice N°8 1)[pic] ne sont pas colinéaires d'où A, B et C déterminent un
plan. [pic]est un vecteur normal à P donc P :2x-4y+4z+d=0, le plan P passe
par A donc -6+d=0 d'où d=6 ainsi P :x-2y+2z+3=0.
2) a) Soit M(x,y,z)[pic] [pic] [pic] [pic].
b) [pic] ne sont pas colinéaires donc P et Q sont sécantes suivant une
droite [pic] ; [pic] On pose [pic][pic].
c)[pic] donc [pic]
3) a) P :x-2y+2z+3=0, S(1,1,2) on a :[pic] ainsi SABC est un tétraèdre.
[pic].
b) A[pic] ,[pic]d'où [pic].
4) a) Soit M(x,y,z) un point de E, [pic] [pic] [pic][pic] d'où [pic]est
la sphère de centre [pic].
b) On a :1+1+4+7-4-9=0 donc [pic], 9+0+0+0-0-9=0 donc [pic], 1+0+4+0+4-9=0
donc [pic] et
1+1+0+7-0-9=0 donc [pic] d'où [pic]est la sphère circonscrite au
tétraèdre SABC.
c) [pic].
Exercice N°9 Soit [pic] un repère orthonormé direct de l'espace E. Soit
A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) et D(1,1,1) quatre points de l'espace.
1) a) Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
b) Calculer l'aire du triangle ABC et le volume du tétraèdre ABCD.
c) En déduire la distance du point D au plan (ABC)