Exercices : Dérivée d'une fonction

Exercices : Dérivée d'une fonction

Exercice 1 : Calculez les dérivées des fonctions suivantes, définies sur
( :
a - f ( x ) = 2x² - 7x + 9
b - f ( x ) = 3x² - 4x - 5
c - f ( x ) = 3 - 4x
d - f ( x ) = x ² +4 x +3

Exercice 2 : Déterminez l'équation de la tangente à la courbe ( C
)représentant la fonction f au point A d'abscisse xA dans les cas
suivants :
a - f ( x ) = x² + 3x - 12 xA = 5
b - f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1

Exercice 3 : Dressez le tableau des variations de la fonction suivante :
f ( x ) = 2x² - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ]

Exercice 4 : Le coût total de production d'un article varie en fonctions du
nombre d'objets x fabriqués suivant la formule : C ( x ) = x² - 24 x +
225 .
1° - Calculez : C ( 1 ) ; C ( 10 ) ; C ( 15 ) ; C ( 20 ) ; C ( 25 ).
2° - Etudiez et représentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1 ; 25
] . Quelle est la nature de la courbe obtenue ?
3° - Les articles sont vendus 16 E pièce. On désigne par V (x ) le montant
correspondant à la vente de x articles. Exprimer V (x ) en fonction de x.
Représenter graphiquement V (x ).
4° - Exprimez le résultat bénéficiaire B ( x ) en fonction de x (On
rappelle que le bénéfice B est obtenu en soustrayant le coût de fabrication
C à la recette V).Pour quelle valeur de x le bénéfice est-il maximum ?
Calculez-le.

Exercice 5 : L'entreprise RAVEL fabrique des appareils à cire. Le nombre
d'appareils fabriqués par jour est n. Le coût de fabrication, en euros, de
ces n appareils est donné par la relation :
C (n ) = n²+ 160n +800 avec 5? n ? 60
1° - Quel est le coût de fabrication de 50 appareils ?
2° - Le bénéfice B réalisé pour la vente de n appareils est donné par B(n)
=- n²+90 n - 800
a - Sachant que le bénéfice B est obtenu en soustrayant le coût de
fabrication C à la recette R, retrouver la recette obtenue pour la vente
d'un appareil à cire.
b - Pour connaître le bénéfice maximum :
- Calculer B'(x) où B' est la dérivée de la fonction B
définie par :
B(x) = - x ²+ 90 x - 800 sur I = [5 ;
60]
- Calculer la valeur nm qui annule B'(x).
- Dressez le tableau de variations de la fonction B(x).
- Tracer la courbe représentant le bénéfice B dans
l'intervalle [5 ; 60].
- Calculer la valeur de B correspondante et placer dans le
repère le point de coordonnées (nm ; B (nm ) ).
- Préciser le nombre d'appareils à fabriquer pour obtenir
le bénéfice maximum. Quel est ce bénéfice maximum ?



Exercice 1 : Calculez les dérivées des fonctions suivantes, définies sur
( :
a - f '( x ) = 4x - 7
b - f '( x ) = 6x - 4
c - f '( x ) = - 4
d - f' ( x ) = x +4

Exercice 2 : Déterminez l'équation de la tangente à la courbe ( C
)représentant la fonction f au point A d'abscisse xA dans les cas
suivants :
a - f ( x ) = x² + 3x - 12 xA = 5
> Calculons f ( 5 ) = 5² + 3x5 - 12 = 25 + 15 - 12 = 28
> Calculons la dérivée : f' ( x ) = 2x + 3 soit : f'( 5 ) = 2x5 +
3 = 13
> Équation de la tangente : y = ax + b soit y = 13x + b
soit 28 = 13 x 5 + b
Alors : b = 28 - 65 = -37 ; L'équation de la tangente est : y = 13x -
37
b - f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1
> Calculons f ( 1 ) = 13 - 3x1 + 6 = 1 -3 +6 = 4
> Calculons la dérivée : f' ( x ) = 3x² - 3 soit : f'( 1 ) =
3x1 - 3 = 0
> Équation de la tangente : y = ax + b soit y = 0x + b
soit 4 = 0 x 1 + b
Alors : b = 4 ; L'équation de la tangente est : y = 0x + 4 soit y =4

Exercice 3 : Dressez le tableau des variations des fonctions suivantes :
a - f ( x ) = 2x² - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ]
|x |-1 |
| |1,5 4|
|f '( x ) | - |
| |0 + |
|f ( x ) |13 |
| |13 |
| | |
| |0,5 |

[pic]




Exercice 4 : Le coût total de production d'un article varie en fonctions du
nombre d'objets x fabriqués suivant la formule : C ( x ) = x² - 24 x +
225 .

1° - Calculez : C ( 1 ) ; C ( 10 ) ; C ( 15 ) ; C ( 20 ) ; C ( 25 ).

| x |1 |10 |15 |20 |25 |
|C ( x ) |202 |85 |90 |145 |250 |

2° - Etudiez et représentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1 ; 25
] . Quelle est la nature de la courbe obtenue ?
[pic]

La courbe obtenue est une parabole.

3° - Les articles sont vendus 16 E pièce. On désigne par V (x ) le montant
correspondant à la vente de x articles. Exprimer V (x ) en fonction de x.
Représenter graphiquement V (x ).
V (x ) = 16 x .

4° - Exprimez le résultat bénéficiaire B ( x ) en fonction de x (on
rappelle que le bénéfice B est obtenu en soustrayant le coût de fabrication
C à la recette V). Pour quelle valeur de x le bénéfice est-il maximum ?
Calculez-le.
B ( x ) = V (x ) - C ( x ) = 16 x - ( x² - 24 x + 225 ) = 16 x - x²
+24 x - 225 = - x² + 40 x - 225
Le bénéfice est maximum pour 20 objets fabriqués, il s'élève à 175 E.
Exercice 6 :

1° - Coût de fabrication de 50 appareils :
C (50 ) = 50²+ 160 x 50 +800 = 2500 + 8000 + 800 = 11 300

2° - Le bénéfice B réalisé pour la vente de n appareils est donné par B(n)
=- n²+90 n - 800
a - Recette obtenue pour la vente d'un appareil à cire.
B(n) = R(n) - C (n ) soit : B(n) + C (n ) = R(n)
R(n) = - n²+90 n - 800 + n²+ 160n +800 = 250 n

b - Pour connaître le bénéfice maximum :
- Calcul de B'(x) : B'(x) = - 2x + 90
- Calcul de la valeur nm qui annule B'(x) :
B'(x) =0 soit - 2x + 90 = 0 soit : x = = 45
- Dressez le tableau de variations de la fonction B(x).
|x |5 |
| |45 60 |
|f '( x ) | + |
| |0 - |
|f ( x ) | |
| |1225 |
| | |
| |- 375 |
| |1000 |

- Tracer la courbe représentant le bénéfice B dans
l'intervalle [5 ; 60].
[pic]
- Calcul de la valeur de B :
B(45) = - 45²+ 90x45 - 800 = - 2025 + 4050 -800 = 1225 soit 1225 E
- Pour 45 appareils fabriqués le bénéfice est maximum. Ce bénéfice
maximum s'élève à 1225 E