Exercice 1 - ecole d'echecs de bagneux

Pour ceux qui ont des difficultés je mets la solution ci-dessous :
mais cherchez un peu avant d'aller voir !!!! Merci à Christophe pour son aide... L'ESSENTIEL Les attentes du nouveau concours en matière de probabilités ne sont pas
très claires.
Mais tout laisse supposer que la principale formule à utiliser sera celle
qui caractérise l'équiprobabilité des résultats (jet d'un dé par exemple):
P (évènement) = nombre d'éventualités favorables / nombre total
d'éventualités
Mais ATTENTION ! Cette formule n'est pas valable dans le cas où il n'y a
pas équiprobabilité, par exemple si on vous dit que l'on considère un dé
pipé !!!
La plupart des exercices devraient se ramener au dénombrement des cas
favorables, ce qui avec un peu de bon sens n'est en général pas trop
difficile ! On commencera souvent par recenser les « éventualités » : c'est à dire tous
les « résultats » possibles (penser à la possibilité d'utiliser un arbre,
un tableau,...) Par exemple au cours du stage de Mittelwihr Quentin lance un dé à 6 faces
(non truqué)...
il peut obtenir un 3 comme résultat de son lancer, 3 est une éventualité L'ensemble des éventualités constitue l' « univers » souvent noté (.
Pour Quentin ( = (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6( On appelle « évenement » une partie de cet univers, c'est un ensemble de
résultats possibles
Pour Quentin {3} est l'événement « sortir un 3 », mais on peut aussi avoir
( = {} correspondant à un événement impossible (ex « sortir un 7 »), ( lui
même correspondant à un événement certain de se produire (ex « sortir un
entier »), ou n'importe quel autre sous ensemble (ex {5,6} « sortir un 5
ou un 6 » ). On appelle « évènement élémentaire » une éventualité constituée d'un seul
résultat possible
On appelle « évènement contraire » l'ensemble des autres éventualités. La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des
évènements élémentaires qui le composent. Dans le cas où tous les évènements élémentaires sont équiprobables, la
« probabilité » d'un évènement est égale au nombre d'éventualités
favorables divisé par le nombre total d'éventualités. C'est donc un nombre réel P compris entre O (évènement impossible) et 1
(évènement certain).
Plus la probabilité est proche de 1, plus l'évènement a de chance de se
produire. Pour Quentin :
« obtenir un 5 » est un évènement élémentaire, l'ensemble des cas
favorables ( = (5( P = 1 / 6
Les 6 évènements « obtenir un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, un 6 » sont
équiprobables P = 1 / 6 pour tous
« obtenir un nombre pair » est un évènement constitués de 3 éventualités (
= (2 , 4 , 6( P= 3 / 6 = 0.5
l'évènement contraire c'est « ne pas obtenir un nombre pair » (' = ( - (
= (1 , 3 , 5( P = 1 - 0.5 = 0.5
« obtenir un 7 » est un évènement impossible ( = ( P = 0
« obtenir un entier inférieur à 9 » est un évènement certain ( = (
P = 1 P (« obtenir un 2 ou un 4 » ) = P(« obtenir un 2 ») + P(« obtenir un 4 »)
= 1/6+1/6=1/3 Si A et B sont deux évènements d'une même expérience :
P ( A ( B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ( B )
A ( B signifie « A ou B » le 'ou' mathématique étant toujours inclusif !
C'est donc que l'un des deux est réalisé, voire les deux . Pour Quentin on peut par exemple considérer :
A = « obtenir un nombre pair » B = « obtenir un nombre inférieur à 3 »
P (« nombre pair ou inférieur à 3 ») = P (« pair ») + P (« inf 3 ») -
P(« pair inférieur à 3 »)
= 1/2 + 2/6 - 1/6 = 4 / 6 = 2 / 3 Mais on pouvait bien sûr faire un calcul direct des cas favorables
F = (1 , 2 , 4 , 6( P = 4 / 6
P(A ( B) = P(A) x PA(B) = P(B) x PB(A) d'où par exempl: PA(B)
= P(A ( B) / P(A)
A ( B signifie que A et B sont deux évènements qui se produisent à la
fois.
On notera PA(B) la probabilité que B se produise, sachant que A est
réalisé.
Cette formule est un peu plus compliquée, à priori elle ne devrait pas être
présente au concours, mais... Pour Quentin si on considère « obtenir un nombre pair inférieur à 3 »
P(«nombre pair inférieur à 3 ») = P(pair) x P(obtenir nbre inf à 3 sachant
qu'il a obtenu un pair soit 2,4, ou 6 )
= 1/2 x 1/3 = 1 / 6
Ce qui était évident directement puisqu'il n'y a qu'un seul chiffre pair
inférieur à 3 sur un dé ! Si P(A ( B) = P(A) x P(B) on dit que les évènements A et B sont
indépendants. Si inversement on veut se servir de l'indépendance pour appliquer cette
formule il faut faire très attention de bien la justifier, cela n'a parfois
rien d' « évident » (voir exercices). C'est le cas dans l'exemple précédent :
« tirer un nombre pair », et « tirer un nombre inférieur à 3 » sont
indépendants !
puisque P (« nombre pair inférieur à 3 ») = p(« nombre pair ») x p(« nombre
inférieur à 3 »)
en effet 1 /6 = 1/2 x 2/6 Exercice 1 :
Toujours pendant le stage de Mittelwihr Cédric tire une carte d'un jeu de
32.
Calculer la probabilité que cette carte soit :
a) un as
b) un pique (le pique tue !)
c) un as de pique
d) un pique ou un as
e) ni un trèfle ni un as
f) un 6 de carreau
Exercice 2 :
Tom et Eliott jouent maintenant à un autre jeu : on lance une pièce et un
dé,
avec la pièce si on fait 'pile' on gagne un euro,
avec le dé si on fait un 6 on gagne 2 euros, un autre chiffre pair 1 euro
a) probabilité de gagner 3 euros (exactement)?
b) on sait que la pièce est tombée côté 'pile', probabilité de gagner 1
euro (exactement) ?
c) probabilité de tomber sur 'face' et d'obtenir 1 euro (exactement) ?
d) probabilité d'obtenir 1 euro (exactement) ?
e) probabilité de gagner de l'argent ?
Exercice 3 :
Chloé a apporté un dé « pipé » dans ses valises !! Autrement dit les
sorties ne sont pas équiprobables !!!
En fait si on note pi la probabilité de sortir un i on a : p6 = 3 p1
p2 = p3 = p4 = p5 = 0,1
Quelle est la probabilité de tirer un chiffre pair ?
Exercice 4 :
Le sac de loto contient 3 billes bleues, une verte, et deux rouges.
Arthur tire une boule, puis Zoé en tire une seconde.
a) quelle est la probabilité qu'ils rapportent à leur équipe deux boules
rouges ?
b) quelle est la probabilité qu'ils rapportent à leur équipe une boule
bleue et une boule verte ?
Exercice 5 :
On prend le même sac qui contient toujours 3 billes bleues, une verte, et
deux rouges.
Mathéo tire une boule, et la remet dans le sac. Il en tire alors une
seconde.
a) quelle est la probabilité qu'il ait tiré deux fois une boule rouge ?
b) quelle est la probabilité qu'il ait tiré une boule bleue et une boule
verte ?
Exercice 6 :
Les évènements « tirer un trèfle » et « tirer un as » sont-ils indépendants
a) dans un jeu de 32 cartes ?
b) dans un jeu de 32 cartes auquel on a rajouté un as de trèfle
supplémentaire ?
Exercice 7 :
Louis et Alexandre utilisent un dé truqué à six faces.
Le tableau suivant donne les probabilités d'apparition des faces.
|Numéro |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
|proba |0,4 |0,15 |0,15 |0,05 |a |b |
1) Calculer a et b sachant que l'apparition du numéro 5 est quatre fois
plus probable que celle du 6
2) Les enfants lancent le dé.
a) quelle est la probabilité de voir apparaître un numéro pair ? un
numéro impair ?
b) Quelle est la probabilité que ce soit le numéro 1 sachant qu'il
a obtenu un numéro impair ? (réponse à 0,01 près)
c) On considère les évènements A : « numéro pair », B : « multiple
de 3 » et C : « inférieur ou égal à 3 ».
B est-il indépendant de A ? B est-il indépendant de C ?
d) Reprendre cette question si le dé n'est pas truqué.
Exercice 8 :
Dans une certaine population de 10000 personnes, il y a 45% de fumeurs et
35% de personnes atteintes de bronchite. De plus, 65% des bronchiteux sont
fumeurs.
1) Représenter cette situation par un tableau
2) On prélève une personne au hasard dans la population. Toutes ont la
même probabilité d'être choisies. Calculer la probabilité de chacun
des évènements suivants :
a) E1 : « c'est un fumeur bronchiteux »
b) E2 : »c'est un bronchiteux non fumeur »
c) E3 : « c'est une personne qui n'est ni fumeur ni bronchiteux »
3) On prélève une personne au hasard parmi les fumeurs Calculer la
probabilité de l'événement « c'est un bronchiteux »
Exercice 1 :
a) 4 as sur 32 cartes p = 4/32 = 1/8 = 0,125
b) 8 piques sur 32 cartes p = 8/32 = 1/4 = 0.25
c) il n'y a qu'un as de pique dans le jeu p = 1/32 = 0,03125
d) le 'ou' étant inclusif il y a 8 piques dont un as et 3 autres as p =
11 / 32 = 0,34375
on pouvait aussi appliquer la formule avec les résultats des questions
b) a) et c) :
p(pique ou as) = p(pique) + p(as) - p(as de pique) = 0.25 + 0,125 -
0,03125 = 0,34375
e) de même p(trèfle ou as) = 11 / 32 = 0.34375
d'où celle de l'évènement contraire : p(ni trèfle ni as) = 1 - 11 / 32
= 21 /32 = 1 - 0.34375 = 0,65625
f) qui est tombé dans le piège ? Il n'y a pas de 6 dans un jeu de 32
cartes ! p(6 de carreau) = 0 Exercice 2 :
Le plus simple est de construire le tableau des gains de ce jeu :
| |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
|pile|1 |2 |1 |2 |1 |3 |
|face|0 |1 |0 |1 |0 |2 |
Il y a 12 éventualités possibles.
a) il n'y a qu'une combinaison qui rapporte 3 euros p(« 3 euros ») = 1
/12
b) avec 'pile' l'examen du tableau montre qu'il y a 3 cas sur 6 qui
rapportent un euro donc
p('pile' étant sorti gagner un euro) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0,5
c) l'examen du tableau montre qu'il y a 2 combinaisons qui correspondent au
souhait p = 2 /12 = 1/6
d) l'examen du tableau montre qu'il y a 5 combinaisons qui correspondent au
souhait p = 5 / 12
e) l'examen du tableau montre qu'il y a 9 combinaisons qui correspondent au
souhait p = 9/12=3/4=0.75 Exercice 3 :
La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1
p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1 4 p1 + 0,4 = 1 p1 = 0,15
P (tirer un chiffre pair) = p (2) + p