bac maths ES 2001 - National

Bac ES 2001 - Sujet national Exercices : Probabilités - Statistiques - Suites - Problème : fonction
logarithme. Annales bac ES non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2001/bac_es_national_2001.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2001
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : ES Durée : 3 heures Coef. : 5 ou 7 OBLIGATOIRE et SPECIALITE L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3. EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement:
une filière A, une filière B et une filière C. Chaque étudiant de
l'université est inscrit dans une des trois filières et une seule. Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B.
Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C.
On sait de plus que :
20% des étudiants de la filière A sont des filles ;
30% des étudiants de la filière B sont des filles ;
40% des étudiants de la filière C sont des filles ;
On choisit au hasard un étudiant de cette université.
On note A l'événement : l'étudiant est inscrit dans la filière A.
De même pour B et C.
On note F l'événement : l'étudiant est une fille ;
On note G l'événement : l'étudiant est un garçon. 1 - Calculer les probabilités des événements A, B, C ; on vérifiera que
p(B) = 0,3. 2 - Calculer la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A
et soit une fille.
Montrer que p(F) = 0,25 3 - Calculer la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A
sachant que c'est une fille. 4 - L'étudiant, choisi au hasard, n'est pas inscrit dans la filière A.
Calculer alors la probabilité que ce soit une fille.
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité Un club de sport propose deux types d'abonnements non permutables.
Formule A : une cotisation annuelle de 500 F à laquelle s'ajoute la
première année seulement un droit d'entrée de 10 000 F.
Formule B : une cotisation annelle initiale de 1000 F qui augmente de 10%
par an. Dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une
réduction de 50 F sur la cotisation annuelle. Si C n est le montant,
exprimé en francs, de la cotisation annuelle la n-ième année,
on a C 1 = 1000 et pour tout entier n supérieur ou égal a 1, on a C n + 1 =
1,1 C n - 50. 1. Déterminer la somme Tn versée au club de sport par membre pendant n
années avec la formule A. 2. Soit (D n) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par
D n = C n + ? où ? est un réel.
Déterminer le réel ? pour que la suite (Dn) soit une suite géométrique de
raison 1,1 et préciser le terme initial de la suite. 3. On suppose dans cette question que ? = -500.
a. Exprimer Dn puis C n en fonction de n.
b. Soit S n la somme versée au club par un membre pendant n années avec
la formule B.
Montrer que Sn = 5000 [(1,1)n - 1 ] + 500n.
c. Quel nombre minimum d'années un membre doit-il cotiser pour que la
formule A soit plus avantageuse que la formule B ? EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire Le prix de vente des terrains à bâtir dans la même commune rurale est donné
par le tableau suivant :
Année1980198519871990199519972000Rang de l'année xi05710151720Prix du m² en francs yi58,860,962,167,571,77373,8
1 - Quelle est, en pourcentage, l'augmentation du prix du m² entre 1980 et 2000? 2 - Représenter le nuage de point Mi(xi, yi) dans un repère orthogonal où 5 cm représentent 10 ans en abscisses, 5 cm représentent 10 francs en ordonnées. 3 - Déterminer le point moyen G du nuage et le placer sur le graphique. 4 - Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série (xi, yi) à 0,01 près. On considère que ce coefficient justifie un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine de y en x, notée (D) [les coefficients sont arrondis à 0,01].
Tracer (D). 5 - Estimer à 1 millier de francs près le prix d'un terrain de 1500 m² en 2003.
PROBLÉME (11 points) commun à tous les candidats On donne les fonctions f et g, définies sur [1 ; + ?[ par :
f(x) = 1,1 x + ln x - ln(x + 1) et g(x) = [pic]
On désigne par (C) et (C') leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm. Partie A
1. Etudier les variations de f sur [1 ; + ?[.
Trouver la limite en + ? de [pic].
En déduite la limite de f en + ?. 2. Montrer que la droite (D) d'équation y = 1,1 x est une asymptote de la courbe (C).
Étudier la position de (C) par rapport à (D). 3. Tracer (C) et (D). Partie B
1. Etudier les variations de g sur [1 ; + ?[ et la limite de g en + ?.
2. Vérifier que la droite (D) est une asymptote de la courbe (C').
Quelle est la position de (C') par rapport à (D) ?
3. Tracer (C') dans le même repère que (C) et (D).
4. On pose H(x) = (x + 1) ln(x + 1) - x ln x pour tout x de [1 ; + ?[
Calculer H'(x); en déduire une primitive sur [1 ; + ?[ de la fonction x ( g(x) - f(x).
5. Calculer l'intégrale [pic].
En donner une interprétation graphique. Partie C
Les fonctions f et g données plus haut modélisent respectivement la quantité d'objets produits par une entreprise et la quantité d'objets commandés à cette entreprise.
Plus précisément, si t est la date exprimée en semaines, f(t) est la quantité d'objets produits à la date t en milliers et g(t) la quantité d'objets commandés à cette même date en milliers. 1. Lorsque l'on a f(t) ( g(t), on dit que "la demande est satisfaite à la date t".
Démontrer que la demande n'est jamais satisfaite. 2. On admet que le nombre total d'objets, en milliers, dont la demande n'est pas satisfaite entre les dates n et n' avec n' > n est donné par [pic].
Donner, à un objet près, le nombre total d'objets dont la demande n'est pas satisfaite entre les dates 1 et 5. 3. On considère que "le niveau de fabrication est suffisant" lorsque moins de 20 demandes ne sont pas satisfaites, c'est-à-dire lorsque l'on a : g(t) - f(t) < 0,02.
En admettant que g - f est une fonction strictement décroissante sur [1 ; +?[, à partir de quelle date le niveau de fabrication est-il suffisant ?