Chapitre 19

MPSI
Chapitre 19


CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL, DYNAMIQUE DANS UN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN

19-1 Transformations de la vitesse et de l'accélération d'un point par
changement de référentiel
19-1-1 Point coïncidant
Soit un référentiel R défini par ses axes de coordonnées
cartésiennes, (O;X,Y,Z), que l'on appellera référentiel fixe ou référentiel
absolu, et un autre référentiel r, en mouvement par rapport à R et défini
par (o,x,y,z), que l'on nommera référentiel mobile ou référentiel relatif.
Ces dénominations n'étant bien sûr que des commodités de langage, sans
significations physiques véritables.
Soit un point matériel M qui peut être en mouvement par rapport à l'un
des référentiels et fixe dans l'autre, ou plus généralement. en mouvement
par rapport à chacun. Ces mouvements sont bien entendu différents l'un de
l'autre, en particulier leurs trajectoires peuvent avoir des formes
différentes.
Le point P du référentiel mobile avec lequel le point M coïncide à
une date t donnée est appelé "point coïncidant" de M à cet instant.
Le point coïncidant appartient à r, c'est-à-dire qu'il est fixe dans
r. Mais ce point n'est pas le même à chaque instant.

19-1-2 Vitesses et accélérations absolues, relatives et
d'entraînement
La vitesse absolue et 1'accélération absolue du point M sont
respectivement sa vitesse et son accélération par rapport au référentiel
absolu : [pic] et [pic].
La vitesse relative et l'accélération relative du point M sont
respectivement sa vitesse et son accélération par rapport au référentiel
relatif : [pic] et [pic].
La vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement du point M
sont respectivement la vitesse et l'accélération du point coïncidant par
rapport au référentiel absolu :
[pic] et [pic].

19-1-3 Transformation du vecteur vitesse par changement de
référentiel.
On peut écrire, avec les notations précédentes. en notant
[pic],[pic]et [pic] les vecteurs unitaires du référentiel relatif et [pic],
[pic]et [pic] ceux du référentiel absolu
[pic]
[pic]. Dans cette dérivation de[pic], [pic], [pic]et [pic] sont
considérés comme des constantes puisque le référentiel est R.
[pic] (1)
Dans cette dérivation [pic],[pic]et[pic] sont des variables puisque le
référentiel est R et non r.
La somme des trois derniers termes est la vitesse relative car c'est
la dérivée de [pic] pour [pic],[pic]et [pic] considérés comme constants.
[pic].
Si l'on considère maintenant le point coïncidant P, point fixe de r,
ses coordonnées dans r sont donc des constantes. Sa vitesse dans R est :
[pic]. On a donc [pic].


19-1-4 Transformation du vecteur accélération par changement de
référentiel
L'accélération absolue est [pic]. En dérivant par rapport à t
l'expression (1) de la vitesse absolue, on obtient :
[pic].
Le premier terme est l'accélération du point coïncidant dans R, c'est-
à-dire l'accélération d'entraînement, le second est l'accélération
relative. Le troisième terme est nommé accélération complémentaire ou
accélération de Coriolis, on le note [pic].
[pic], [pic], [pic].
On a donc [pic].

19-2 Cas où le mouvement du référentiel relatif est une translation par
rapport au référentiel absolu
Pour deux points quelconques A et B d'un solide en translation, le
vecteur [pic]est constant au cours du temps.
La translation d'un solide peut aussi se définir ainsi : dans un
référentiel où ( est un point fixe : [pic] soit [pic] dans tout
référentiel.
Ici, le référentiel relatif r étant en translation par rapport au
référentiel absolu R, tous les points qui lui sont liés, et en particulier
le point coïncidant de M, ont le même vecteur vitesse et le même vecteur
accélération dans R donc :
[pic] et [pic] et [pic] et [pic].
Les vecteurs unitaires [pic],[pic]et [pic] sont constants puisqu'ils
sont en translation, leurs dérivées sont donc nulles, ce qui conduit aux
mêmes résultats :
[pic]=[pic] et [pic]=[pic] et à [pic]. L'accélération de Coriolis est
nulle pour tous les points : [pic].
Dans le cas particulier d'une translation rectiligne et uniforme de r
par rapport à R, l'accélération d'entraînement est nulle comme
l'accélération de Coriolis donc [pic]. Si R est un référentiel galiléen, la
somme des forces agissant sur M est [pic], on a alors aussi [pic], donc r
est galiléen.
Tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport à
un référentiel galiléen est aussi galiléen.

19-3 Cas où le mouvement du référentiel relatif est une rotation autour
d'un axe fixe du référentiel absolu
On choisira l'axe, fixe dans R, autour duquel tourne r comme axe OZ.
Les points de cet axe sont aussi des points fixes de r, on choisira donc oz
confondu avec OZ, le point o étant placé en O.

Le référentiel relatif est en rotation autour de OZ à la vitesse
angulaire [pic](vitesse angulaire d'entraînement de r par rapport à R.
Le point coïncidant, comme tout point lié à r, a un mouvement
circulaire par rapport à R.
Soit H le centre du cercle décrit par P. La vitesse d'entraînement
est donc :
[pic] (moment en M de [pic]).
La dérivation des vecteurs unitaires de r donne : [pic], [pic],[pic]
soit encore :
[pic], [pic],[pic]. Ces relations restent valables quelle que soit la
direction du vecteur vitesse angulaire de r par rapport à R.
La vitesse d'entraînement [pic] avec [pic] s'écrit donc bien :
[pic] ou [pic] (on peut remplacer O ou H par n'importe quel point de OZ).
L'accélération d'entraînement est [pic] avec [pic] et :
[pic],
[pic],
[pic].
Donc [pic] ou [pic].
En particulier, dans le cas d'une rotation uniforme de r par rapport à
R : [pic].
L'accélération de Coriolis est [pic] soit [pic].

19-4 Cas d'un équilibre relatif
On dit qu'il y a équilibre relatif quand le point mobile est en
équilibre dans le référentiel relatif, c'est-à-dire quand [pic] donc [pic]
et [pic].
Si r est en translation par rapport à R [pic] et [pic].
Si cette translation est rectiligne et uniforme [pic].
Si r est en rotation autour d'un axe fixe de R, avec Oz coïncidant
avec OZ et [pic]porté par OZ, [pic] et [pic].
Si cette rotation est uniforme [pic].

19-5 Dynamique et statique dans un référentiel non galiléen
19-5-1 Forces d'inertie
On supposera maintenant que le référentiel absolu R est galiléen et
le référentiel relatif r non galiléen.
Soit [pic]la somme des forces traduisant les différentes
interactions que subit le point matériel M de masse m. La deuxième loi
de Newton s'applique dans R et donne :
[pic] soit [pic].
On peut donc appliquer la deuxième loi de Newton dans r à condition
d'ajouter aux forces agissant sur M deux termes appelés forces
d'inertie :
Force d'inertie d'entraînement : [pic] .
Force d'inertie de Coriolis (ou complémentaire) : [pic].
On applique donc dans r la deuxième loi de Newton sous la forme [pic].


19-5-2 Cas où le mouvement du référentiel relatif est une
translation par rapport à un référentiel galiléen
On a alors [pic]donc [pic]. La seule force d'inertie à prendre en
compte est la force d'inertie d'entraînement [pic].

Ses conséquences sont bien connues. Un observateur dans un véhicule se
sent collé à son siège lors d'une accélération ou propulsé en avant lors
d'un freinage brutal. Dans un ascenseur, l'observateur se sent plus lourd
au démarrage lors de la montée ou au freinage lors de la descente. et plus
léger au freinage lors de la montée ou au démarrage lors de la descente.

19-5-3 Cas où le mouvement du référentiel relatif est une
rotation pure par rapport à un référentiel galiléen
On prendra l'axe oz confondu avec l'axe OZ et [pic]. [pic].
La force d'inertie d'entraînement est : [pic]

L'accélération complémentaire est [pic].
La force d'inertie de Coriolis est [pic]
-Cas particuliers
Si [pic] (ou [pic]), [pic].
La force d'inertie complémentaire est nulle s'il y a équilibre relatif
ou si le mouvement relatif se fait sur une droite parallèle à [pic].
Si le mouvement de rotation du référentiel mobile est uniforme,[pic],
la force d'inertie d'entraînement se réduit à la force d'inertie
centrifuge : [pic]
Cette force est orientée de l'axe vers M (elle est plus exactement
"axifuge").
S'il y a mouvement relatif, il faut bien sûr tenir compte aussi de la
force d'inertie de Coriolis.
Dans le cas d'un équilibre relatif de M, cette force est la seule
force d'inertie, elle est alors équilibrée par les forces que subit
effectivement M.
C'est cette force d'inertie centrifuge qui tend par exemple à faire
déraper un véhicule vers l'extérieur d'un virage.

19-5-4 Exemple
Soit une tige Ox tournant dans le plan horizontal XOY du référentiel
galiléen (OXYZ). L'axe vertical OZ est orienté vers le haut. La vitesse de
rotation de la tige est constante : [pic].
Sur la tige est enfilé un anneau M, de masse m, pouvant coulisser
sans frottement.
On cherche la loi horaire de l'anneau; x = f(t) et la réaction [pic]de
la tige, avec les conditions initiales :
À t = 0 : x = x0 et [pic] = 0.
Il est pratique de raisonner dans .le référentiel (OxyZ), de vecteurs
unitaires [pic],[pic]et [pic]. en rotation uniforme autour de OZ à la
vitesse de rotation [pic]. (On notera sans indices la vitesse et
l'accélération