Equations de Maxwell Propagation

Equations de Maxwell Propagation Résumé de Cours
I. EQUATIONS DE MAXWELL : Voir tableau page suivante.
A. Régime statique : Alors les grandeurs ne dépendent pas du temps, donc
[pic].
Il en résulte donc que les champs électrique & magnétique ([pic] & [pic] ou
[pic] & [pic]) sont séparés. B. Régime variable :
Alors les grandeurs dépendent du temps, & il existe un couplage entre les
champs électrique & magnétique, responsable des phénomènes d'induction
électromagnétique. On ne considère alors plus qu'un seul champ à 6
composantes qualifié d'électromagnétique [pic], notamment en théorie de la
relativité, seul modèle réellement adapté à la description de ces
phénomènes. C. Milieux matériels :
On passe des équations hors milieux (dans le vide) aux équations dans les
milieux (diélectriques de constante [pic] ou magnétiques de constante
[pic]) en changeant :
. [pic]
. [pic]
. la densité volumique de charges (total en (libre = (total - (polar
. la densité volumique de courants [pic] en [pic] D. Lois intégrales :
Les équations de Maxwell sont des lois locales, & donc relient des champs
de vecteurs ou de scalaires au même point, & donc indépendamment de la
géométrie du problème considéré, ce qui fait que les postulats seront
toujours des équations locales & ne feront intervenir que les distributions
volumiques, les seules à correspondre à la réalité. En revanche, les lois
intégrales font intervenir la géométrie du problème, & sont donc d'un
emploi plus limité (en fait liées à une symétrie forte), & peuvent faire
intervenir des distributions linéiques ou surfaciques (ou même ponctuelles
en électrostatique) qui ne sont que des idéalisations mathématiques des
distributions volumiques. De plus, ces lois intégrales supposent
impérativement que le domaine d'intégration (courbe, surface, volume) ne
soit pas déformable. Remarque : en ce qui concerne la symétrie : pour les calculs de champs
([pic] par le théorème de Gauss [pic] ou [pic] par le théorème d'Ampère
[pic]), l'inconnue est le champ & donc la seule possibilité est d'arriver
à : [pic] ou [pic], ce qui suppose d'abord que les vecteurs [pic] ou
[pic] soient colinéaires (donc la surface fermée S doit être une
équipotentielle, & la courbe fermée LC doit être une ligne de champ), & de
plus on doit avoir E = cste sur S ou B = cste sur LC. Ces conditions ne
seront réunies que dans le cas d'une symétrie forte.
|Equations |Régime |Régime |Cas du vide |Milieux |Equation |
|locales |Statique |Variable | |Matériels |Intégrale |
|Equation |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|de | | | | |Th. de Gauss |
|Maxwell-Ga| | | | | |
|uss | | | | | |
|Equation |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|de | | | | |Loi de Faraday |
|Maxwell-Fa| | | | | |
|raday | | | | | |
|Equation |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic]Conservati|
|du Flux | | | | |on du Flux |
|Equation |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|de | |+[pic] | |+[pic] |Th. d'Ampère |
|Maxwell-Am| | | | | |
|père | | | | | | En ce qui concerne le domaine d'intégration : pour les phénomènes
d'induction, le domaine d'intégration C correspond au circuit, mobile dans
le cas de Lorentz & donc on évitera d'utiliser la loi intégrale de Faraday
pour ce cas, en échange elle constituera le mode de calcul adapté pour le
cas de Neumann, C étant fixe. Il. EQUATION DE MAXWELL - AMPERE : A. Equation intégrale :
Elle s'écrit (théorème d'Ampère généralisé) [pic], où le Iint inclut le
courant ohmique (réel) I( & le courant de déplacement de densité volumique
[pic]. Par rapport au régime statique, l'équation locale a été corrigée de
façon à satisfaire l'équation de continuité de la charge électrique :
[pic]. B. Application : établissement du régime permanent dans un conducteur
ohmique.
La densité de courant [pic] satisfait l'équation de continuité & la loi
d'Ohm locale [pic], où ( est la conductivité du matériau. On élimine [pic]
au moyen de l'équation de Maxwell - Gauss : [pic], ce qui fournit une
équation différentielle en ((t) donnant l'évolution de la densité volumique
de charge pendant le régime transitoire, soit : [pic], où la constante de
temps vaut approximativement [pic], donc non mesurable & on peut
raisonnablement considérer que la densité ( est constamment nulle. Remarque : si on ajoute au tableau des équations de Maxwell la loi d'Ohm
locale [pic], la force de Lorentz sur une particule chargée : [pic], & la
loi de Newton de la gravitation donnée par [pic], on obtient sept équations
qui contiennent toute la physique (électricité, optique, mécanique) à
l'exclusion de physique quantique & statistique (thermodynamique). III. EQUATIONS DE PROPAGATION :
A. Lien entre champs & potentiels : on a les relations : [pic]
B. Equations de propagation des champs :
On utilise la relation : [pic] déduite de la relation du double produit
vectoriel : [pic], avec : [pic], où [pic] est l'opérateur vectoriel
différentiel « Nabla » de composantes [pic]. En utilisant les équations de
Maxwell, & en tenant compte que ( est toujours nul dans le vide ou un
conducteur, on obtient les équations : [pic]
[pic], où [pic] Remarquer que le premier membre ne dépend pas de la nature du milieu, alors
que le second le caractérise. On rencontrera en pratique la propagation
dans le vide (où [pic]), dans un conducteur ([pic]), dans un
supraconducteur ([pic]), dans un plasma (milieu diélectrique où [pic]).
Rappelons que les équations de Maxwell sont conventionnellement écrites
dans un repère lié au circuit, le seul clairement défini (cas de Neumann,
ce qui se voit avec l'expression du champ électromoteur dans l'expression
de [pic]). C. Equations de propagation des potentiels : commencer par [pic] !
(ordre alphabétique !)
La méthode précédente ne peut être appliquée qu'à un vecteur. Elle conduit
à :
[pic]
Comme le potentiel-vecteur [pic] n'est défini à un gradient près, on peut
toujours annuler le crochet d'où la deuxième jauge de Lorentz : [pic] qui
redonne la première en régime permanent. & le potentiel-vecteur satisfait à la même équation de propagation que les
champs. Comme le potentiel scalaire V n'est pas un vecteur, on ne peut
utiliser la même méthode mais on utilise la définition intrinsèque de
l'opérateur Laplacien : peu d'intérêt. D. Invariance de Jauge :
On considère deux couples de potentiels [pic] & [pic] donnant le même
couple de champs [pic]. Alors : [pic]. Avec : [pic] , on aura : [pic], où
f est une fonction quelconque de (x, y, z, t). On reporte dans [pic], ce
qui conduit à : [pic], d'où on déduit[pic] Si on impose que le deuxième couple de potentiels satisfasse aussi la
seconde jauge de Lorentz, on obtient : [pic], soit aussi :
[pic]
& la fonction f satisfait aussi à l'équation de propagation. IV. CONDITIONS DE PASSAGE :
Rappelons les relations de continuité sur les champs à la traversée d'une
surface ouverte S pouvant porter une densité surfacique de charges
statiques ( & une densité de courant en surface [pic] séparant deux milieux
caractérisés par [pic] & [pic] : [pic] où les indices t & n désignent respectivement des composantes tangentielles
& normales relativement à la surface S, & l'indice t( une composante
tangentielle orthogonale à la densité de courant JS. Les grandeurs [pic]
désignent des vecteurs unitaires se dirigeant du milieu correspondant au
premier indice vers l'autre. Il en résulte que la formule donnant la
discontinuité du vecteur [pic] est symétrique (les deux milieux jouant des
rôles équivalents), & que cette symétrie est détruite (notation () par le
choix d'une seule orientation pour la normale & alors[pic]. V. PROPAGATION : A. Généralités sur les ondes :
On rappelle qu'une onde correspond à la propagation d'un mouvement
vibratoire. Si la vibration a lieu orthogonalement à la direction de
propagation, l'onde est dite transversale (cas des ondes
électromagnétiques), & sera dite longitudinale (cas du son) si la vibration
se fait suivant la direction de propagation. Si la vitesse des ondes dépend
de la fréquence, le milieu traversé par les ondes sera dit dispersif. Remarque : en partant de l'hypothèse d'un milieu homogène, isotrope, non
dispersif, sans pertes (donc vitesse & amplitude de l'onde constantes) on
établit l'équation dite de d'Alembert : [pic]. Remarquer que cette équation
est en V², incluant l'onde réfléchie. B. Onde plane progressive harmonique : OPPH !
Elle est de la forme : [pic] , où [pic] est appelé vecteur d'onde, [pic]
étant le vecteur unitaire de la direction de propagation. La notation
complexe est permise car l'équation d'onde est linéaire. Seule la partie
réelle de