Devoir à la maison : Flocon de Koch

Devoir en temps libre Document professeur

Niveau : 1ère S Moment :
Phase exploratoire

Titre : Flocon de Koch Auteur : Nadia Beaujean

Thème : Suites


1. Objectifs :
Introduire la notion de limite de suite



2. Place dans l'année :
Après avoir vu la notion de limite de fonction.



3. Modalités :
La partie A est traitée en module sur tableur pour une conjecture (c.f.
Nathan Hyperbole 149 p. 195).
Le DL est la partie B : synthèse et démonstration.



4. Différenciation :
Non



5. Modalités de correction :
Démonstration réalisée entièrement en classe à l'aide de l'observation
des schémas et des résultats du tableur




6. Prolongements :
Cours sur les limites de suite



7. Commentaires pédagogiques :
Mise en évidence d'objets ayant un périmètre infini et une aire finie
Différents éclairages du problème :
Numérique : Tableur
Géométrique : Figure
Algébrique : Démonstration









Activité sur tableur en module Document
élève

Niveau : 1ère S
Source : Nathan exercice 149 p. 195


Titre : Le flocon de koch
Auteurs : Nadia Beaujean




Le flocon de Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle
équilatéral par réitération d'une transformation appliquée à chaque côté
d'un triangle.
Pour passer d'une étape à une autre, chaque segment du pourtour est partagé
en quatre segments égaux formant une ligne brisée.









Voici ce que donnent les premières étapes.

|[pic] |[pic] |
| Etape 1 | Etape 3 |
|Etape 2 |Etape 5 |



















1. Le périmètre du flocon


a. Fabriquer la feuille de calcul ci-après qui donne le périmètre du
flocon aux premières étapes.


|Etape |Longueur d'un côté|Nombre de côtés |Périmètr|
| | | |e |
|1 |1 |3 |3 |
|2 |0,333333 |12 |4 |
|3 |0,111111 |48 |5,333333|
| | | |33 |
|4 |0,037037 |192 |7,111111|
| | | |11 |
|5 |0,012346 |768 |9,481481|
| | | |48 |
|6 |0,004115 |3072 |12,64197|
| | | |53 |
|7 |0,001372 |12288 |16,85596|
| | | |71 |
|8 |0,000457 |49152 |22,47462|
| | | |28 |
|9 |0,000152 |196608 |29,96616|
| | | |37 |
|10 |0,000051 |786432 |39,95488|
| | | |49 |
| | | | |



Compléter :
A chaque étape, la longueur d'un côté est divisée par ...
le nombre de côtés multiplié par ...

Le périmètre du flocon est ....


b. Le périmètre du flocon peut-il dépasser la valeur 10 000 ? Si oui, à
quelle étape ?




2. L'aire du flocon


a. Fabriquer la feuille de calcul ci-après qui donne l'aire du flocon aux
premières étapes.

|Etape |Longueur d'un côté|Nombre de côtés |Aire d'un petit |Aire du |
| | | |triangle |flocon |
|1 |1 |3 |0,433013 |0,433013 |
|2 |0,333333 |12 |0,048112522 |0,577350 |
|3 |0,111111 |48 |0,005345836 |0,641500 |
|4 |0,037037 |192 |0,000593982 |0,670011 |
|5 |0,012346 |768 |0,000065998 |0,682683 |
|6 |0,004115 |3072 |0,000007333 |0,688315 |
|7 |0,001372 |12288 |0,000000815 |0,690818 |
|8 |0,000457 |49152 |0,000000091 |0,691930 |
|9 |0,000152 |196608 |0,000000010 |0,692425 |
|10 |0,000051 |786432 |0,000000001 |0,692645 |



L'aire du triangle de départ est ......

A chaque étape, l'aire d'un petit triangle est divisée par ........

L'aire du flocon est égale à
.....................................................................


b. Afficher ces calculs jusqu'à l'étape 30. Que remarque-t-on ?
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Niveau : 1ère S
A remettre le : mi mai


Titre : Le flocon de koch
Auteurs : Nadia Beaujean



La qualité de la présentation et la rigueur du raisonnement interviennent
pour une part très importante dans la notation.


Le flocon de koch




Partie A : (module en salle informatique)
Répondre aux questions de l'exercice 149 page 195 du livre.





Partie B : (en DL)
1. Présenter dans un tableau toutes les démarches et formules nécessaires à
l'obtention de la feuille de calculs obtenue à la partie A (2.a.).

Notons [pic] l'aire du flocon obtenue à la nème étape.

2. Déterminer la valeur exacte de [pic].
3. Démontrer que [pic].
4. a) Exprimer [pic]et [pic] et [pic] en fonction de [pic]
b) Montrer que [pic].
c) On admet que [pic]s'écrit sous la forme [pic] où [pic] est une somme
de termes consécutifs d'une suite géométrique. Préciser les
caractéristiques de cette suite.


.
5. Déterminer [pic]en fonction de [pic], puis en déduire [pic] en fonction
de [pic].

6. Quelle semble être la limite de [pic] lorsque [pic] tend vers [pic] ?
Conclure sur l'activité.

-----------------------
[pic]