Exercice 1

Exercice 1

On considère les fonctions numériques d'une variable réelle définies par :

[pic]

1. Montrer que, pour tout x ( 0, les nombres f '(x) et g(x) ont le même
signe.

2. Etudier les variations de la fonction g sur (.
En déduire que l'équation g(x) = 0 admet dans ( une solution unique (,
avec 0 < ( < 1.
(On ne cherchera pas à calculer (.)

3. Dresser le tableau des variations de la fonction f.
On désigne par (C) la représentation graphique de la fonction f dans un
repère orthonormé
(unité : 3 cm), par I le point de (C) d'abscisse (-1) et par J le point
de (C) d'abscisse (+1).

4. a. Vérifier que la droite (IJ) est la tangente en J à (C).

b. Déterminer une équation de la tangente (T) en I à (C).

5. Etudier la position de (C) par rapport à (T).

6. Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C).
(On prendra [pic] comme valeur approchée de (.)


Corrigé

1. La fonction f est une fonction rationnelle définie et dérivable en tout
point de (* et :
f '(x) = [pic] soit f '(x) = [pic] ou encore

Donc f '(x) et g(x) sont de même signe.

2. La fonction polynôme g est définie et dérivable sur ( et : g'(x) = 6x2 +
2x ( g'(x) = 2x(3x + 1).
Ainsi,
g'(x) > 0 ( x ( [pic]
g'(x) < 0 ( x ([pic]
g'(x) = 0 ( x = [pic] ou x = 0.
Donc la fonction g est strictement croissante sur [pic] et g est
strictement décroissante sur [pic]
De plus, [pic] et, de même, [pic]

D'où le tableau de variation de g


|x |-( | |+( |
|g'(x| | | |
|) |+ |- |+ |
|g | | | |


La fonction g admet un maximum strictement négatif sur l'intervalle ]-(,0].
On en déduit que g est strictement négative sur ce même intervalle par
conséquent l'équation g(x) = 0 n'admet aucune solution dans l'intervalle ]-
(,0].

D'autre part, la fonction g est définie, dérivable et strictement
croissante sur l'intervalle ]0,+([. Donc elle réalise une bijection de cet
intervalle sur l'intervalle-image g(]0,+([) = [pic] soit
g(]0,+([) = ]-1,+([. L'intervalle-image contenant la valeur 0 on en déduit
que 0 admet un unique antécédent par g dans ]0,+([. Autrement dit,
l'équation g(x) = 0 admet une solution unique, (, dans l'intervalle
]0,+([.
De plus, vérifier que 0 < ( < 1 équivaut à vérifier que g(0) < g(() < g(1)
soit - 1 < 0 < g(1) où g(1) = 2.
En conclusion,




3. L'étude précédente permet de conclure que : g(x) < 0 sur ]-(,0]. De
plus, la fonction g étant strictement croissante sur ]0,+([,
si 0 < x < (, g(x) < g(() soit g(x) < 0
et, si x > (, g(x) > g(() soit g(x) > 0.
En conséquence,
f '(x) < 0 ( x ( ]-(,0[ ( ]0,([
f '(x) = 0 ( x = (
f '(x) > 0 ( x ( ](,+([.

Donc la fonction f est strictement décroissante sur les intervalles ]-(,0[
et ]0,(] et strictement croissante sur l'intervalle [(,+([.
[pic]

De cette étude de limites on déduit que la courbe (C) représentative de f
admet pour asymptote l'axe des ordonnées d'équation x = 0.

Le point I de (C) d'abscisse (- 1) a pour ordonnée y = f(- 1) soit y =
[pic]
Le point J de (C) d'abscisse (+ 1) a pour ordonnée y = f(1) soit y = 1.
Tableau de variation de f

|x |- ( | | |
|f |- |- |+ |
|'(x) | | | |
|f | | | |

4. a. La tangente en J à (C) a pour équation : y = f '(1)(x - 1) + f(1)
soit y = [pic]
Les coordonnées de I vérifient l'équation y = [pic]
Donc la droite (IJ) est la tangente en J à la courbe (C).

b. Une équation de la tangente (T) en I à (C) s'écrit : y = f '(- 1)(x
+ 1) + f(- 1) soit

5. Pour étudier la position de (C) par rapport à (T) on considère les
points M et P respectivement sur (C) et (T) de même abscisse x dans (*
alors la position relative de (C) et (T) dépend du signe de yM - yP.
Pour tout x de (*,
yM - yP = f(x) - [pic] ( yM - yP = [pic]
Donc (yM - yP) est du signe de x(x + 1) c'est-à-dire que :
yM - yP > 0 ( x ( ]- ( , - 1[ ( ]0,+ ([
yM - yP = 0 ( x = - 1
yM - yP < 0 ( x ( ]- 1, 0[.
Autrement dit, la courbe (C) est au-dessus de (T) sur chacun des
intervalles ]- ( , - 1[ et ]0,+ ([; et la courbe (C) est en-dessous de
(T) sur l'intervalle ]- 1,0[.

6. Tracé de la courbe (C)


[pic]


Exercice 2

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0, 1[
par :

[pic].

1. Etudier les variations de f .
2. Soit (1 la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère
orthonormal [pic].
Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à la courbe (1 au
point d'abscisse [pic].
Tracer la courbe (1 et la tangente T.

3. Sur le même graphique, tracer (2 courbe symétrique de (1 dans la
réflexion d'axe (Ox).

4. Soit ( = (1 ( (2 .
Montrer que ( a pour équation cartésienne :

x(x2 + y2) - y2 = 0.

La courbe ( est appelée la cissoïde de Dioclès.


Corrigé

1. La fonction f est la composée de :
( la fonction rationnelle : x [pic]définie et dérivable, donc continue, sur
tout intervalle de (-{1} donc, en particulier sur l'intervalle [0, 1[ et
alors à valeurs positives, s 'annulant en x = 0 ;

( et de la fonction racine carrée définie et continue sur (+ et dérivable
sur (+*.

On en déduit que f est définie et continue sur l'intervalle [0, 1[ et
dérivable sur l'intervalle ]0, 1[.

On est donc amené à étudier la dérivabilité de f au point 0.
[pic]
On déduit de cette étude que la fonction f est dérivable en 0 et f '(0) =
0.

Pour tout x de l'intervalle ]0, 1[,
[pic].
On déduit de cette dernière écriture de f '(x) et de e que x est élément de
l'intervalle ]0, 1[, que f '(x) > 0 et donc que f est strictement
croissante sur l'intervalle [0, 1[.

[pic]
On déduit de cette dernière étude que la courbe représentative de f admet
la droite d'équation x = 1 pour asymptote.









2. La fonction f étant dérivable en particulier au point [pic], la courbe
(1, représentative de f, admet au point d'abscisse [pic] une tangente T
d'équation : y = [pic] + [pic] soit y = 2x - [pic].
3. La courbe (2, symétrique de (1 par rapport à l'axe des abscisses, a pour
équation y = - f(x).

4. Soit M un point quelconque du plan, de coordonnées (x, y).
Quel que soit le réel x de l'intervalle [0, 1[,

[pic]

On en déduit que la courbe ( a pour équation : x(x2 + y2) - y2 = 0.


Tracé des courbes (1 et (2 (feuille suivante)




































Exercice 3

On considère la fonction f définie par :

f : ( ( (
x [pic]

1. a) Etudier f et construire sa courbe représentative C dans un plan (P)
rapporté au repère orthonormé [pic].
On montrera que C admet comme asymptote la droite d'équation : y = x - 3.

b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection I de la courbe C
et de son asymptote oblique.
Démontrer que I est le centre de symétrie de C .

2. a) Déterminer l'ensemble des entiers relatifs x tels que :
[pic] [pic]
b) Trouver les points de C dont les coordonnées sont toutes deux des
entiers relatifs.


Corrigé

1. a) La fonction f est une fonction fraction rationnelle dont le
dénominateur ne s'annule jamais sur ( (car son discriminant est strictement
négatif : ( = - 3). Par conséquent la fonction f est définie et dérivable
sur ( et, pour tout x réel,
[pic]
Ainsi, f '(x) = 0 ( x = - 3 ou x = 0
f '(x) > 0 ( x ( ]-(, - 3 [(]- 3, 0[(]0, +([.

Donc f est strictement croissante sur (.

[pic]


Tableau de variation de f









Sachant que :

[pic]

on peut conclure que la droite D d'équation y = x - 3 est asymptote à la
courbe C en - (.

De même, [pic]. Donc la droite D est aussi asymptote à la courbeC en + (.

b) Il existe au moins un point d'intersection I entre la courbe C et
la droite D si, et seulement si, le système formé par les équations
respectives de C et D admet au moins un couple solution.

[pic]
En conclusion de cette étude, la courbe C coupe la droite D en un seul
point I de coordonnées





Soit M et M' deux points de la courbe C d'abscisses respectives : [pic]

On en déduit qu'ils ont pour ordonnées respectives : [pic] où x décrit (.
Alors les coordonnées du milieu I de [MM'] sont : x = [pic] Or :

[pic]

En conséquence, lorsque x décrit (, les points M et M' se déplacent sur
toute la courbe C de telle sorte que I soit le milieu de [MM'] donc ce
point I est le centre de symétrie de la courbe C .




Tracé de la courbe C représentative de f et de son asymptote D





2. a) Pour tout x de (,

Les trinômes [pic] ont même discriminant : ( = 33. Par conséquent ils
admettent, chacun, deux racines distinctes qui sont, pour le premier :
[pic]
pour le second trinôme :[pic]
Sachant que ces deux trinômes doivent être simultanément positifs et compte
tenu de leurs signes
respectifs donnés par les schémas ci-dessous :

sgn[pic]


sgn [pic]


On peut conclure que l'ensemble des entiers relatifs x tels que : 0 < [pic]
est :




b) Les coordonnées de points de la courbe C sont des entiers relatifs
lorsque x et f(x) sont deux nombres entiers relatifs.
D'après la question précédente, pour toutes les valeurs de x inféri