Corrigé DM6 Exercice 26 p 285 : 1) a) Supposons A et B ...

Corrigé DM6 Exercice 26 p 285 :
1)
a) Supposons A et B indépendants. Alors [pic]
Dans ce cas [pic]
[pic] A et [pic]sont donc indépendants. b)c) sont des conséquences directes de a : b) Posons[pic]et [pic]
On applique a) aux événements A1 et B1 c) Posons [pic], [pic]
D'après le b) A1 et B1 sont indépendants. En appliquant a) à A1 et B1, on
en déduit la propriété c) 2)
a) Sachant que A et B sont indépendants : [pic]
b) Sachant que A et [pic]sont indépendants : [pic]
c) Sachant que [pic] et [pic] sont indépendants : [pic]
d) Soit C l'événement : « La cible est atteinte »
C est le complémentaire de l'événement « la cible est manquée » calculé en
c)
Donc : [pic]
e)
Les événements [pic] et [pic]étant disjoints :
[pic] Exercice 27 :
Considérons les événements suivants :
C : le moteur central fonctionne
A1 : le moteur de l'aile 1 fonctionne
A2 : le moteur de l'aile 2 fonctionne. L'avion tombe lorsque Le moteur central ainsi que l'un des moteurs des
ailes au moins tombe en panne.
Soit T l'événement « l'avion tombe »
T se décompose en la réunion trois événements disjoints :
[pic]
Par conséquent : [pic]
Le fonctionnement des ailes étant indépendants la probabilité de chaque
intersection est le produit des probabilités des événements
correspondants :
[pic] Exercice 24 p320:
Méthode 1 : dénombrement
L'ensemble considéré comporte 100 nombres en tout dont 50 sont pairs, 50
impairs.
Le tirage simultané correspond au tirage de deux nombres distincts sans
remise et sans tenir compte de l'ordre des tirages. Il s'agit de
combinaisons.
Soit ? l'ensemble des tirages possibles :
[pic]
Considérons les événements A et B suivants
A= « la somme des nombres tirés est paire »
B= « la somme des nombres tirés est impaire » A correspond au tirage de deux nombres de même parité. Il se décompose en
la réunion de deux événements disjoints A1 et A2
A1 :« tirer deux nombres pairs parmi les 50 pairs »
A2 :« tirer deux nombres impairs parmi les 50 pairs »
Or, [pic]
On en déduit card(A)=2450
Dans l'hypothèse d'équiprobabilité des tirages on a alors :
[pic] L'événement B consiste à tirer deux nombres de parité différente. Il s'agit
du complémentaire de A :
[pic] Méthode 2 : probabilités conditionnelles
Considérons deux tirages successifs et les événements
P1 : obtenir un nombre pair au premier tirage ; P2 : obtenir un nombre pair
au deuxième
I1 : obtenir un nombre impair au premier tirage ; I2 : obtenir un nombre
impair au deuxième tirage. On obtient l'arbre de probabilités
conditionnelles page suivante :
Or,
A=[pic]
Ces ensembles étant disjoints :
P(A)=[pic]
On retrouve le m^me résultat que pour la méthode 1.
[pic]
Exercice 25 p320 :
Méthode 1 : dénombrement
Tirage avec remise :
Il y a 15 jetons au total que l'on supposera différenciés.
Considérons un modèle de deux tirages successifs ordonnés avec remise.
Il y a en tout 15*15=225 tirages.
Nombre de tirages menant à 2 jetons n°1 : 1*1
Nombre de tirages menant à 2 jetons n°1 : 2*2
.....
Nombre de tirages menant à 2 jetons n°5 : 5*5
Soit A l'événement : « tirer 2 jetons portant le même numéro »:
Card(A)=1+4+9+16+25=55
Dans un modèle d'équiprobabilité P(A)=55/225=11/45
Tirage sans remise :
Tirage sans remise.
Considérons le nombre de tirages simultanés que l'on peu faire. Il s'agit
de combinaisons : choisir 2 jetons parmi 15 : [pic]
Nombre de tirages menant à 2 numéros 1 : 0
Nombre de tirages menant à 2 numéros 2 : [pic]=1(on choisit 2 jetons parmi
les 2 de l'urne)
Nombre de tirages menant à 2 numéros 3 : [pic](on choisit 2 jetons parmi
les 3 de l'urne)
Nombre de tirages menant à 2 numéros 4 : [pic](on choisit 2 jetons parmi
les 4 de l'urne)
Nombre de tirages menant à 2 numéros 5 : [pic](on choisit 2 jetons parmi
les 5 de l'urne)
Finalement card(A)=0+1+3+6+10=20 et P(A)=20/105=4/21
Méthode 2 :
On peut aussi construire dans chacun des cas un arbre de probabilités
représentant les probabilités de tirages successifs. Faites le ! Exercice 55 p323:
Jouer au Kéno consiste à jouer 10 numéros parmi 70 sans remise sans ordre.
Il s'agit de combinaisons.
Soit ?, l'ensemble des jeux qu'un joueur peut constituer est donc [pic]
Après le tirage, 20 numéros sont affichés gagnants.
Considérons les événements :
A10 : mon jeu comporte 10 bons numéros
A9 : mon jeu comporte 9 bons numéros
.....
A5 : mon jeu comporte 5 bons numéros
A0 : mon jeu comporte 0 bons numéros ou moins.
Calculons P(A10) :
L'événement A10 se réalise lorsque mon jeu est constitué 10 bons numéros
parmi les 20 gagnants :
[pic]
P(A10)=[pic]
On obtient par calcul une valeur approché à l'unité de 1/P(A10) :
[pic]
Calculons P(A9)
L'événement A9 se réalise lorsque mon jeu est constitué 9 bons numéros
parmi les 20 gagnants et 1 numéro parmi les 50 perdants.
[pic]
Et donc
[pic]
On obtient par calcul une valeur approché à l'unité de 1/P(A9) :
[pic] D'une manière générale, pour [pic]
L'événement [pic] se réalise lorsque mon jeu est constitué i bons numéros
parmi les 20 gagnants et 10-i numéro parmi les 50 perdants. [pic]
Et donc
[pic]
Calculons P(A8)
[pic]
On obtient par calcul une valeur approché à l'unité de 1/P(A8) : [pic]
Calculons P(A7) Et donc
[pic]
On obtient par calcul une valeur approché à l'unité de 1/P(A7) :[pic] Calculons P(A6)
[pic]
On obtient par calcul une valeur approché à l'unité de 1/P(A6) :[pic] Calculons P(A5)
[pic]
On obtient par calcul une valeur approché à l'unité de 1/P(A5) : [pic] Calculons P(A0) [pic]
On obtient par calcul une valeur approché à l'unité de 1/P(A0) : [pic] 2)
Soit X la somme gagnée (sans tenir compte de la mise) :
E(X)=600000p(A10)+7500P(A9)+300p(A8)+...+6P(A5)=1,51 Soit Y le gain (différence entre la somme gagnée et la mise) : Y=X-3
Par linéarité de la moyenne :
E(Y)=E(X-3)=E(X)-E(3)= E(X)-3= -1.49
Le joueur réalise une perte moyenne de 1,49E....mais sur un très grand
nombre de jeux !
Il est plus intéressant d'interpréter le résultat du point de vue de la
société Française de jeux (sur un grand nombre de joueurs, les paramètres
statistiques ont plus d'intérêt). La société française des jeux réalise un
gain moyen de 1,49E par joueur. -----------------------
P1 I1 P2 I2 P2 I2 1/2 1/2 49/99 49/99 50/99 50/99