chap7-Stat-Proba-Inv.. - Math93

Chapitre 7 : Statistiques, Probabilités :
- Evaluation des investissements en avenir probabilisable

I - Tableau synoptique : Rappels de statistiques et probabilités

|Statistiques |Probabilité |
|Définition : Pour simplifier disons que la probabilité qu'un évènement noté |
|(X=xi) se réalise est le nombre |
|P(X=xi) avec P(X=xi) ( [0 ;1]. |
|Pour une définition mathématiquement rigoureuse voir la remarque en fin de |
|paragraphe |
|Définition |
|Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes ssi P = |
|P(X=x)(P(Y=y) |
|Moyenne arithmétique |Espérance mathématique |
| | |
|Définition : |Définition |
|= ( ? ni( xi) | |
|Propriétés |Propriétés |
| | |
|= a |E(aX) = a E(X) |
|= a + b |E(aX+b) = a E(X) + b |
|= + |E(X + Y) = E(X) + E(Y) |
|Covariance |Covariance |
| | |
|Définition : |Définition : |
|? (xi - )(yi - ) ) |)) |
|? xiyi - ) | |
|Variance |Variance |
|Définition |Définition |
|? nixi² - ²) |V(X) = E = E(X²) - E(X)² |
| | |
|Propriétés |
|V(aX) = a²V(X) |
|V(aX+b) = a²V(X) |
|Si X et Y indépendants alors : V(X + Y) = V(X) + V(Y) = V(X-Y) |
|Cas général : |
|V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y) |
|V(X-Y) = V(X) + V(Y) - 2 cov(X,Y) |
|Ecart-Type |
|Définition : ) |
|Propriétés |
|((aX) = |a| ((X) |
|((aX+b) = |a| ((X) |



Remarque : (Pour les matheux)

. Définitions : Soit ( un ensemble fini et P (() l'ensemble des parties
de (.
o Le couple est appelé espace probabilisable.
o Les éléments de P (() sont appelés évènements.
o Les singletons {( } sont les évènements élémentaires.


. Définition :
On appelle probabilité définie sur l'espace probabilisable toute
application P de P (() dans [0,1] vérifiant les 2 axiomes :
1. P (() = 1
2. Pour toutes parties A et B de P (() telles que A(B = ( , P(A(B) =
P(A) + P(B).
Le triplet et est appelé espace probabilisé fini.


II - Application : Evaluation des investissements en avenir incertain

1. Caractérisation
En investissement, l'avenir probabiliste est une situation dans laquelle
il est possible de déterminer toutes les valeurs que peut prendre le cash-
flow relatif à un exercice donné et d'affecter une probabilité à chacune
de ces valeurs. Ce cash-flow devient une variable aléatoire (X) dont on
connaît la loi.


2. Le critère « espérance variance »
On peut alors calculer l'espérance de la VAN, sa variance et son écart-
type.
. E(VAN) : évalue la rentabilité.
. V(VAN) et (VAN donnent la mesure du risque.


En pratique on ne retient que 3 hypothèses (optimiste, moyenne et
pessimiste).


3. Exemple 1
On considère deux projets de capital investi 100 (en milliers) et d'une
durée de 3 ans.
Chaque cash-flow a fait l'objet de 3 évaluations.
On suppose que les cash-flows sont indépendants et que le coût du capital
est de 10%.
[pic]
|(en |Année 1 |Année 2 |Année 3 |
|milliers) | | | |
|Projet 1 |C1 |P(C1) |C2 |P(C2) |C3 |P(C3) |
| |30 |0.3 |50 |0.4 |40 |0.4 |
| |62 |0.5 |80 |0.4 |50 |0.2 |
| |90 |0.2 |100 |0.2 |120 |0.4 |












. Calcul de la VAN1 : VAN1 = C1(1.1 - 1 + C2(1.1 - 2 + C3(1.1 - 3 -
100 (en milliers)
Les cash-flows Ci sont des variables aléatoires, donc la VAN est une
combinaison linéaire de variables aléatoires, c'est donc elle-même une
v.a.


. Calcul de l'espérance de la VAN1 et de la variance


E(VAN1) = E(C1)(1.1 - 1 + E(C2)(1.1 - 2 + E(C3)(1.1 - 3 - 100


V(VAN1) = V(C1)(1.1 - 2 + V(C2)(1.1 - 4 + V(C3)(1.1 - 6




o "A la main"


|C1 |P(C1) |C1(P(C1) |C1² |C1²(P(C1) |
|60 |0.3 |18 |3600 |1080 |
|70 |0.4 |28 |4900 |1960 |
|80 |0.3 |24 |6400 |1920 |
|Somme |70 | |4960 |
| |Espérance | | |


; V(C1) = ? C1²(P(C1) - ² = 4 960 - 70² = ))


|C2 |P(C2) |C2×P(C2)|C2² |C2²×P(C2|
| | | | |) |
|50 |0.4 | | | |
|60 |0.3 | | | |
|70 |0.3 | | | |
|Somme | | | |
| |Espéranc| | |
| |e | | |
| | | | | |
|Espérance = | | | | |
|Variance = | | | | |


|C3 |P(C3) |C3×P(C3)|C3² |C3²×P(C3|
| | | | |) |
|60 |0.4 | | | |
|60 |0.3 | | | |
|70 |0.3 | | | |
|Somme | | | |
| |Espéranc| | |
| |e | | |
| | | | | |
|Espérance = | | | | |
|Variance = | | | | |







o Utilisation de la calculatrice
La plupart des calculatrices calculent cela. Pour cela sélectionnez le
menu STAT - 2 VAR puis entrez les données dans le tableau et tout se
calcule automatiquement.
Avec la HP 10BII, par exemple pour le calcul de C1
. CL ?
. 60 INPUT 0.3 ?+
. 70 INPUT 0.4 ?+
. 80 INPUT 0.3 ?+
. , ? donne la moyenne donc l'espérance : 70
. (x(y ? donne l'écart type : 8.1650 et donc V(C1) = 8.1650²
? 66.7 ( problème !!)




Exercice 2: Evaluation des investissements en avenir incertain


Calculer E(VAN2) , V (VAN2) et (VAN2 et comparer les projets de l'exercice
du Chapitre 7, paragraphe 2.



Chapitre 8 : Coût des capitaux propres

- Modèle de Gordon-Shapiro.
- MEDAF

I - Définition

Les capitaux propres ne sont pas gratuits. En effets les apporteurs
auraient pu placer leurs capitaux en achetant des actions par exemple. Ce
manque à gagner représente le coût du capital.
Deux modèles permettent d'évaluer ce coût, le modèle de Gordon et le MEDAF.

II - Modèle de Gordon-Shapiro

1. Idée
Ce modèle repose sur l'hypothèse d'une croissance régulière du dividende
à un taux annuel constant (inférieur au coût des capitaux propres). Cela
suppose que chaque année une partie constante du bénéfice soit mise en
réserve et réinvestie dans l'entreprise. Ces investissements accroîtront
le bénéfice de l'année suivante ...
Le cours de l'action est égal à la valeur actualisée de la suite infinie
des dividendes futurs qu'il est prévu de verser à l'actionnaire. Le taux
d'actualisation représente le coût d'opportunité des capitaux propres.


2. Méthode de calcul




Soit : on a + g)


Démonstration :
[pic]
Si on actualise sur les n premières périodes on a :


C = D1(1+t)-1 + D1(1+g) ( (1+t)-2 + .........+ D1(1+g)n-1 ( (1+t)-n ,


On reconnaît la somme de termes d'une suite géométrique donc


C = D1(1+t)-1 ( n ;1 - ))


Or quand n tend vers l'infini, n tend vers 0 car g