Une nouvelle fonction : le logarithme

Une nouvelle fonction : le logarithme
Présentation : Cette activité introduit, en classe de terminale, la fonction logarithme de
base 10 et en donne une application : le décibel. Elle peut être menée en
classe entière et nécessite seulement l'usage de calculatrices.
Fiche élève : L'étendue des puissances acoustiques va de 10-12Watt = 0,000 000 000 001
Watt (seuil d'audibilité) à plus de 10 000 W (puissance sonore d'un
turboréacteur).
Pour passer de l'un à l'autre, on doit multiplier par 1016 = 10 000 000 000
000 000 La manipulation de tous ces zéros donne le vertige et peut être la source
d'erreurs dans les calculs. Heureusement, la découverte des logarithmes au
16ème siècle a permis la naissance d'une unité de gain et d'affaiblissement
(variations) plus pratique à utiliser : le décibel. A. Découverte du logarithme. Pour calculer le logarithme (approché) d'un nombre N, il suffit d'appuyer
sur la touche log de la calculatrice, puis de taper N et enfin d'afficher
le résultat. Exemple : avec N=100 : le logarithme de 100 vaut 2 noté log(100) = 2.
1. Première prise de contact :
En utilisant une calculette scientifique.
Calculer :
- log 10 = log 101 réponse : ......
- log 100 = log 102 réponse : ......
- log 1 000 = log 103 réponse : ......
- log 10 000 = log 104 réponse : ......
- log 100 000 = log 105 réponse : ...... Que peut-on conjecturer ?
........................................................................
..... 2. Définition :
|Lorsque des nombres sont tels que 10y = x, le nombre y est appelé |
|logarithme décimal de x et noté : log x. |
|Pour tout nombre x positif, log x = y équivaut à 10y = x | Remarque : un logarithme peut prendre n'importe quelle valeur mais le
nombre dont on calcule le logarithme doit être positif. On en admet que :
pour tout nombre a : log (10a) = a
pour tout nombre a positif : 10log(a) = a Quel nombre x vérifie : log x = 2 ?
.....................
log x = 0,3 ? .....................
10 x = 1000 ? .....................
10 x = 50 ? .....................
3. Autres propriétés intéressantes :
a) Calculer log 10 = .............. ; log 3 = ............ ; log
30 = .............
Quel lien peut-on faire entre le logarithme de 30 (3x10) et ceux de 10
et de 3 ?
........................................................................
..................................................
Recommencer l'expérience avec 28 = 7(4 et avec 42 = 7(6
Comment peut-on généraliser cette relation ? log (a(b) =
..................... b) Calculer log 9 = ............. ; 2(log 3 = .................
Quel lien peut-on faire entre le logarithme de 9 =3² celui de 3 ?
..............................................
Recommencer l'expérience avec 8 = 23 et 625 = 54
Quelle relation peut-on conjecturer ? log ([pic]) =
............................................................
B. Loi de Fechner et Décibel. I. Introduction des décibels :
Entre certaines mesures physiques et les sensations que nous éprouvons, il
existe une relation, formulée pour la première fois au XlXe siècle par
Gustav Théodore Fechner (1801-1887), qui s'énonce, de façon très
grossière : La sensation varie comme le logarithme de l'excitation. Fechner prenait l'exemple de violons. Entre 1 et 10 violons jouant à
l'unisson, l'oreille ressent le même accroissement de niveau sonore
qu'entre 10 et 100 violons ou entre 100 et 1000. Cet accroissement est
appelé le bel. Dans la vie courante, on utilise plus volontiers le décibel
ou dixième de bel. (1 Bel = 10 Décibels). Car, physiologiquement, le
décibel (dB) est la plus petite variation d'intensité sonore perceptible
par l'oreille humaine. |Variation de |1 |( 10 |( 100 |( 1 000 |( 10 000|
|puissance sonore | | | | | |
|Variation de la |0 |+ 1 |+ 2 |+ 3 |+ 4 |
|sensation (en | | | | | |
|bels) | | | | | |
|Variation de la |0 |+ 10 |+ 20 |+ 30 |+ 40 |
|sensation (en dB)| | | | | | Quelle relation peut-on envisager entre les nombres de la première ligne
(notés P) et ceux de la seconde (notés S) ?
S (en bels) =
...........................................................................
.............
On en déduit la relation entre les variations de sensation et puissance :
| |S (en dB) = 10 log P | |
En déduire la relation entre les variations de puissance et de sensation
en décibels :
| |P = .................... | |
Le bel et le décibel sont des unités de variations.
Quand la sensation S augmente de s dB, la puissance est multipliée par
[pic]. Si on a une variation de 7 dB, par combien la puissance sonore a-t-elle été
multipliée ? ........................... Quand la puissance P est multipliée par 10, la sensation augmente de 1 bel
= 10 décibels.
Quand la puissance est multipliée par k, la sensation augmente de 10 log k
décibels.
A quelle variation en dB correspond un doublement de la puissance sonore ?
....................................... Si une machine a un niveau sonore de 60 dB, deux mêmes machines émettent
une puissance sonore double mais le bruit perçu est de 63 dB (et non pas de
120 dB, les dB ne s'ajoutent pas). II. Échelle des décibels acoustiques. Si on fixe à 0 dB le seuil d'audibilité moyen pour l'être humain, la table
ci-dessous donne (en dB) le niveau sonore de quelques objets courants. |[pic] |Avion au décollage |130 |Douloureux |
| |Marteau-piqueur |120 |Douloureux |
|[pic] |Concert et discothèque |110 |Risque de |
| | | |surdité |
| |Baladeur à puissance maximum |100 |Pénible |
| |Moto |90 |Pénible |
|[pic] |Automobile |80 |Fatigant |
| |Aspirateur |70 |Fatigant |
| |Grand magasin |60 |Supportable |
|[pic] |Machine à laver |50 |Agréable |
| |Bureau tranquille |40 |Agréable |
| |Conversation à voix basse |35 |Agréable |
|[pic] |Chambre à coucher |30 |Agréable |
| |Vent dans les arbres |10 |Calme |
| |Seuil d'audibilité |0 |Calme | Au vu de ce tableau, 1. Quel sera, en décibel le niveau sonore d'une classe où les 30 élèves ont
une conversation à voix basse avec leur voisin (15 conversations) ?
........................................................................... 2. Quel sera le niveau sonore dans une laverie ou les 8 machines à laver
fonctionnent en même temps ?
...........................................................................
..................................................... 3. Quel sera le niveau sonore au départ d'un grand prix moto quand les 22
concurrents démarreront simultanément ?
..........................................................................
................................. 4. Quelle différence de puissance y a-t-il entre le volume normal d'un
baladeur (50 dB) et sa puissance maximale ?
...........................................................................
...................................... 5. Une Guêpe en vol a un niveau sonore de 10 dB combien d'individus doit
contenir au minimum un essaim pour qu'il fasse plus de bruit qu'un frigo
(38 dB) ?
..................................................................