Devoir maison n°4 ? Le second degré

Devoir maison n°4 - Le second degré
( Partie 1)
Exercice 1
Résoudre les équations suivantes, lorsque cela est possible.
a. x² - 5x + 3 = 0
b. x² + x = 1
c. x(x + 6) = 8
d. 4x² = 12x + 7 Exercice 2
Dans une entreprise les coûts de fabrication de q objets sont donnés en
euros, par C(q) = 0,1q²+ 10q + 1 500.
L'entreprise vend chaque objet 87 E.
1. Déterminer q pour que les coûts de production soient égaux à 1 610 E.
2. Pour quelles valeurs de q le bénéfice est-il nul ?
On parle alors de points morts de la production. Exercice 3
Résoudre le système [pic].
Indication : montrer que si x solution du système, alors x est solution de
5x² - 22x + 24 = 0. Exercice 4
Une équation bicarrée à une inconnue x est une équation de la forme ax4 +
bx2 + c = 0, avec a non nul. Pour résoudre une équation bicarrée à une
inconnue x, on pose t = x² et on obtient quelque chose que l'on connaît...
A vous d'essayer !!
Résolvez x4 - 2x2 - 8 = 0. Exercice 5
Résoudre les deux équations suivantes, soyez rigoureux dans votre
rédaction.
. [pic]
. [pic]
Exercice 6 Voici la représentation graphique de deux paraboles.
[pic]
1. Déterminer leurs équations.
2. Trouver par le calcul les coordonnées des points d'intersection.
Corrigé du devoir maison - second degré : partie 1.
Exercice 1
a. x² - 5x + 3 = 0 est une équation où le discriminant ? du trinôme vaut
13. Comme il est strictement positif, cette équation admet deux
solutions distinctes , à savoir [pic] et [pic].
b. x² + x = 1 est une équation où ? = 5 > 0. Les deux solutions sont
[pic] et [pic]
c. x(x + 6) = 8 est une équation où ? = 68 donc [pic] et [pic].
d. 4x² = 12x + 7 est une équation où ? = 256 donc [pic] et [pic].
Exercice 2
a. Les coûts de production sont égaux à 1 610 E si et seulement si C(q) =
0,1q²+ 10q + 1 500 = 1 610 ( 0,1 q²+ 10 q - 110 = 0. Le discriminant
est ? = 144 = 12² donc il y a deux solutions distinctes, à savoir q1 =
- 110 et q2 = 10. Comme q désigne une quantité de produit, q est
positif, donc la solution est q = 10.
b. Les points morts d'une production sont les quantités pour lesquelles
le bénéfice retiré est nul, sous-entendu lorsque les coûts de
production sont égaux au montant total des ventes.
0,1q²+ 10q + 1 500 = 87q ( 0,1q²- 77q + 1 500 = 0. Le calcul de ?
donne 5 329 càd 73²donc les solutions sont q1 = 20 et q2 = 750.
Pour une vente de 20 objets, ou de 750 objets, le bénéfice retiré est
0. Exercice 3
[pic]( [pic]([pic]([pic]([pic].
On doit résoudre la 2nde équation, où ? = 4 donc ce trinôme admet deux
racines distinctes qui sont [pic] et 2. Le système est équivalent à [pic].
Donc [pic].
Exercice 4 : x4 - 2x2 - 8 = 0 ( t² - 2t - 8 = 0 et t = x² ( t = 4 ou t = -
2, et t > 0 ( t = 4 et t > 0 ( x = 2 ou x = - 2. Donc S = {- 2 ; 2}. Exercice 5
a. [pic] est définie ssi [pic] et [pic] ( (x = - 1 ou x = 6) et [pic]. Donc
S = { - 1 ; 6} b. [pic]. Donc S = {3}
Exercice 6
(P1) passe par les points A1(- 4 ; 0) et B1 (3 ; 0). Les racines du trinôme
P1 qu'elle représente dans ce repère sont donc - 4 et 3. Donc P1(x) est de
la forme P1(x) = a(x-3)(x+4). Or P1(0) = -12 a =- 12 car (P1) passe par le
point C1(0 ; - 12) donc a = 1.
Donc P1(x) = (x+4)(x-3) = x² + x - 12 (P2) passe par les points A2(- 5 ; 0) et B2 (1 ; 0). Les racines du trinôme
P2 qu'elle représente dans ce repère sont donc - 5 et 1. Donc P2(x) est de
la forme P2(x) = a(x-1)(x+5). Or P2(0) = -5a = - 10 car (P2) passe par le
point C2(0 ; - 10) donc a = 2.
Donc P2(x) = 2(x+5)(x-1) = 2x²+ 8x - 10. Pour trouver les points d'intersection, il faut chercher x tel que P1(x) =
P2(x) c'est-à-dire x² + x - 12 = 2x²+ 8x - 10.
Résolution : x² + x - 12 = 2x²+ 8x - 10 ( x² + 7x + 2 = 0. Le discriminant
? = 41 est strictement positif donc le trinôme x² + 7x + 2 a deux racines
distinctes à savoir [pic] et [pic]. Ces deux valeurs correspondent aux
abscisses des deux points d'intersection, il faut à présent trouver les
ordonnées respectives. Donc [pic] et [pic]. On trouve ainsi les deux points
d'intersection :
[pic] et [pic].